CONVERGENCIA DE SERIES 2

Antonio Cipriano Santiago Zaragoza
Departamento de Matemáticas
Mayo de 1999
CRITERIOS DE CONVERGENCIA PARA SERIES
Series de términos cualesquiera
Condición necesaria de convergencia: Sea
gente. Entonces fan g ! 0:
P
an una serie de números reales conver-
Criterio general de convergencia o criterio de Cauchy: Sea
reales. Son equivalentes:
i)
P
P
an una serie de números
an es convergente
ii) 8" > 0, 9m 2 N : si n
m y h 2 N es arbitrario, entonces
jan+1 + an+2 + ::: + an+h j < "
P
P
Test de comparación: Sean Pan y
bn series de números reales.
Supongamos que
P
jan j bn ; 8n 2 N y que la serie
bn es convergente. Entonces,
an es convergente y se
veri…ca que
+1
+1
X
X
an
bn
n=1
P
n=1
En particular,
si
an es una serie de números reales y
P
serie
an es convergente y se tiene que
+1
X
an
n=1
+1
X
n=1
P
jan j es convergente, entonces la
jan j
Series de términos positivos
Criterio de comparación por paso al límite: Sean fan g ; fbn g
i) Supongamos que
n
an
bn
o
! L 2 R+ : Entonces
X
an convergente ,
X
bn convergente
R+ :
n
ii) Si
iii) Si
an
bn
n
o
an
bn
!0y
o
P
bn es convergente, entonces
! +1 y
P
n!+1
p
n
ii) Si lim
n!+1
P
an = L > 1 )
p
n
an es convergente.
an es convergente, entonces
Criterio de la raíz o de Cauchy: Sea an
i) Si lim
P
0:
P
bn es convergente
an no converge
n 1
an = L < 1 )
P
an converge
n 1
Criterio de Kummer: Sean an ; bn
0:
i) Si 9" > 0; y 9p 2 N : para n
convergente
bn+1 an+1
an
p se tiene que bn
ii) Si9p 2 N tal que,
P para n p, se tiene bn
entonces la serie
an tampoco converge.
bn+1 an+1
an
0 y la serie
Criterio del cociente o de D’Alembert: Sea an > 0:
an+1
n!+1 an
i) Si lim
=L>1)
an+1
n!+1 an
ii) Si lim
P
an no converge
n 1
=L<1)
P
an converge
n 1
Criterio de Raabe: Sea an
i) Si lim n 1
n!+1
ii) Si lim n 1
n!+1
an+1
an
an+1
an
0:
P
=L>1)
an converge
n 1
=L<1)
P
an no converge
n 1
Criterio nk an o de Pringsheim: Sea an
i) Si lim nk an = L > 0 entonces:
n!+1
iii) Si lim nk an = +1 y k
n!+1
an converge, k > 1
n 1
ii) Si lim nk an = 0 y k > 1 )
n!+1
P
0:
P
an converge
n 1
1)
P
n 1
an no converge
"; entonces
P
1
bn
P
an es
no es convergente,
Criterio de condensación: Sea fan g & con an 0. Entonces,
X
X
an converge ,
2n a2n converge
f (n)
k
n!+1 n
Criterio: Si lim
= L > 0 entonces:
P
1
n
f
n 1
converge , k > 1
Criterio (Caso particular del criterio de Pringsheim): Sea an = f n1
0; 8n 2 N
0
2
y tal que fP
es derivable en 0 con f (0) = f (0) = 0: Supongamos que f 2 C (I) con 0 2 I:
Entonces,
f n1 converge.
n 1
Criterio integral: Sea f : [1; +1[ ! R una función positiva y decreciente y, para cada n 2
R +1
P
an y la integral impropia de Riemann 1 f (n) dn
N sea an = f (n). Entonces, la serie
tienen el mismo carácter.
Casos particulares:
i) Series armónicas o de Riemann:
X 1
converge , k > 1
nk
n 1
ii) Sea k 2 N …jo. Entonces:
X
n 1
iii) Serie geométrica:
nk j j converge ,
X
n 1
en cuyo caso
<1
xn converge , jxj < 1
+1
X
xn =
n=1
1
1
x
iv) Serie aritmético-geométrica:
Sea
an+1
P
an una serie aritmético-geométrica (es decir, an = [a1 + (n 1) d] rn 1 donde d =
an y r = an+1
son la diferencia y la razón, respectivamente). Entonces:
an
+1
X
n=1
[a1 + (n
1) d] rn
1
=
a1
1
r
+
rd
(1 r)2
8r 2 ] 1; 1[
v) Serie hipergeométrica
Sea
P
an una serie hipergeométrica (es decir,
X
en cuyo caso
an+1
an
=
an converge , C
+1
X
an =
n=1
An+B
An+C
B
con A; B; C 2 R). Se tiene que
A
0
R:
P
Ca1
C B A
Series de términos cualesquiera
Criterios de Dirichlet y de Abel: Sean fan g ; fbn g
i) Criterio de Dirichlet
Si la sucesión de sumas parciales de
es convergente.
P
jbn+1
bn j es convergente.
an está acotada y fbn g ! 0, entonces la serie
ii) Criterio de Abel
Si la serie
P
an es convergente, también lo es la serie
Criterio de Leibniz: Si fxn g & 0, la serie
P
P
an b n :
( 1)n+1 xn es convergente.
P
an b n