Práctico 8

Análisis Matemático II
2016, FaMAF - UNC
Práctico 8
1. Determinar la suma de las siguientes series.
∞
X
(a)
10−n + 9−n .
∞
X
2n+3 + 3n
(b)
.
n
6
n=1
n=1
2. Sea k ∈ N. Demostrar que la serie
∞
P
an converge si y sólo si la serie
n=1
∞
P
an converge.
n=k
3. Decidir si las siguientes series son convergentes o divergentes.
∞
∞
∞
X
X
X
2n + 3
3n2 − 2
n2
.
(b)
.
(c)
.
(a)
n3 + 1
n4 + 7n
5n2 + 1
n=1
n=1
n=1
4. (a) Sea {an } una sucesión de enteros tales que 0 ≤ an ≤ 9. Demostrar que
∞
X
an 10−n
n=1
existe y es un número entre 0 y 1 (que se denota comúnmente por 0, a1 a2 a3 a4 . . . ).
(b) Escribir cada uno de los números decimales periódicos siguientes como una fracción o como suma de dos fracciones.
(i) 0, 2525252525 . . .
(ii) 0, 41283283283283 . . .
5. Decidir si las siguientes series son convergentes o divergentes.
∞
∞
∞
X
X
X
1
1
sen4 (n)
√
√
(a)
.
(b)
.
(c)
.
3
3
2
2
2
n
n −1
n +1
n=1
n=2
n=1
(e)
∞
X
n=2
(i)
1
.
log n
∞
X
3n n!
n=1
nn
(f)
∞
X
n=2
.
(j)
∞
X
1
.
n log n
(g)
∞
X
n=2
sen(1/n).
(k)
n=1
∞
X
1
.
log(n!)
(d)
(h)
∞
X
n2
n=1
∞
X
n=1
n!
.
2n n!
.
nn
sen(n).
n=1
Sugerencias: En (f) usar el criterio de la integral. En (g) comparar n! con nn y usar
(f). En (j) usar una función lineal menor que sen en (0, π/2). Para (k) mostrar que
sen(n) no tiende a cero para n → ∞.
6. Decidir si las siguientes series son convergentes. Justificar.
1 2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
1
(a) 1 − + − + − + − + · · ·
(b) 1 − + − + −
+ ···
2 3 3 4 4 5 5
3 5 7 9 11
7. Determinar en cada caso si la serie es convergente y si es absolutamente convergente.
∞
∞
∞
X
X
X
n
(−1)n
(−1)n
√
(a)
(−1)n
(b)
(c)
.
n
n
+
1
log(n
+
2)
n
n=1
n=1
n=1
8. Decidir si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justificar.
∞
∞
P
P
(a) Si
an no es absolutamente convergente, entonces
an no es convergente.
(b) Si
(c) Si
n=1
∞
P
n=1
∞
P
an y
∞
P
n=1
(an + bn ) son convergentes, entonces
n=1
∞
P
bn es convergente.
n=1
an es convergente y an ≥ 0 para todo n, entonces
n=1
∞
P
n=1
1
a2n es convergente.