SERIES INFINITAS DE TÉRMINOS POSITIVOS

SERIES INFINITAS DE TÉRMINOS POSITIVOS
Teorema (I).
Una serie infinita de términos positivos es convergente si y sólo si su sucesión de
sumas parciales tiene una cota superior.
Teorema (II). PRUEBA DE COMPARACIÓN
Sea la serie
una serie de términos positivos:
(i)
Si
es una serie de términos positivos que se sabe que es
convergente y
para todo entero positivo entonces
es convergente.
(ii)
Si
es una serie de términos positivos que se sabe que es
divergente y
para todo entero positivo entonces
es divergente.
Ejemplo: Determinar si la serie infinita
es convergente o
divergente.
Veamos los elementos de la serie:
La serie geométrica:
Es convergente porque
Como
entonces la serie
es convergente.
Teorema (III). PRUEBA DE COMPARACIÓN DEL LÍMITE
Sean
dos series de términos positivos:
entonces ambas series convergen o divergen.
converge, entonces
converge.
diverge, entonces
diverge.
Ejemplo: Verifique por el Teorema de Comparación del límite si
es
convergente.
Sabemos que la serie geométrica
Por lo tanto la serie
converge, entonces:
también es convergente.
Teorema (IV). PRUEBA DE LA INTEGRAL
Sea una función que es continua, decreciente y de valores positivos para toda
Entonces, la serie infinita:
Es convergente si la integral impropia
existe,
Y es divergente si
Ejemplo: Utilice la prueba de la integral para demostrar que la serie
y converge si
.
La serie
es
positivos para
de la integral:
Si
SI
Si
, entonces
. Además es decreciente para
diverge si
es continua y tiene valores
. Entonces aplicamos la prueba
la serie diverge en p=1
,
SIEMPRE QUE
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