Po Po Po Po

Tema 4
Series numericas
4.1 Denicion y propiedades
Denicion 4.1. Sea f n g una sucesion de numeros reales o complejos formamos una
a
nueva sucesion fSn g tal que
S1
S2
S3
n
S
=
=
=
..
.
=
..
.
a1
+ a2
a1 + a2 + a3
a1
a1
+ a2 + : : : + an
Se denomina serie al par de sucesiones (fan g fSng). A los elementos de fan g se les
denomina terminos, mientras que a los elementos de fSn g se les llama sumas parciales.
Se dene entonces la suma
a1
que se nota
1
X
n=1
a
n
+ a2 + a3 + : : : an + : : : = nlim
!1 Sn = a1 + a2 + a3 + : : : an + : : : = nlim
!1 Sn :
Pueden, como sabemos, ocurrir tres cosas, que limn!1 Sn 2 R, que limn!1 Sn = 1 o
que limn!1 Sn no exista. En el primer caso diremos que la serie converge, en el segundo
que diverge y en el tercero que oscila.
Algunos autores llaman sumables a los dos primeros y no sumable el tercero, otros no
distinguen entre los dos ultimos llamandoles a ambos divergentes, nosotros adoptaremos
el criterio se~nalado.
Proposicion 4.1. (AsociatividadPde1 la suma de terminos)
Si en una serie convergente n=1 n (divergente) se agrupanPlos terminos sin cam0
biarlos de orden, segun una ley cualquiera, la serie que resulta 1
n=1 n es convergente
a
a
(divergente). Si es convergente la suma de la nueva serie coincide con la de la serie
original.
Proposicion 4.2. P
(Intercalacion y supresion de un numero nito de terminos)
1
Si en una serie n=1 an se intercalan (suprimen) un numero nito de terminos, cuya
suma sea B , la nueva serie tiene el mismo caracter que la primera, y si esta era convergente
y de suma S , la nueva serie tiene por suma S + B (S ; B ).
Proposicion 4.3. (El producto por una constante es distributivo respecto de la suma
innita)
P
Sea 2 R o C, 6= 0, y sea 1
n=1 n una serie, entonces:
a
i)
ii)
iii)
P1
n=1
P1
n=1
P1
P1 (
n=1
P
1
n es divergente )
n=1 (
P
es oscilante ) 1 (
n
a
es convergente )
a
a
a
n=1 an
n=1
convergente y se cumple que
1
X
n=1
n)
n)
a
Proposici
de series)
P on 4.4.es (suma
P
Si 1
convergente
y 1
n=1 n
n=1
a
n ) es convergente y
b
P1
n=1 (an ) = es oscilante.
1
X
(an + bn ) =
n=1 an .
es divergente.
es convergente, entonces
n
P1
n=1
n+
a
1
X
n=1
P1
n=1 (an
+ bn ) es
n
b :
4.2 Condicion necesaria para la convergencia
Teorema
on necesaria pero no suciente para la convergencia)
P 4.1. (condici
Sea 1
una serie convergente, entonces
n=1 an
lim a
n!1 n
= 0:
4.3 Divergencia de la armonica. Serie geometrica
1 1
X
Proposicion 4.5. La serie
n=1
n
es divergente a +1.
Proposici
on 4.6. (serie geometrica)
P
1
Sea n=1 1 n;1 , con 1 2 R, entonces se cumplen:
P
n;1 =
i) Si j j 1 entonces 1
1 (1 ; ).
n=1 1
P
n;1 es divergente.
ii) Si 1, entonces la serie 1
n=1 1
P
n;1 es oscilante.
iii) Si ;1, entonces la serie 1
n=1 1
a r
r
a r
<
a r
r
a =
r
a r
r
a r
4.4 Series de terminos no negativos: criterio de comparacion, criterio
de la ra
z y del cociente
Proposicion 4.7. La serie P1 con 0, 8 2 N, es convergente, si y solo si, la
n=1 an
a
n
n
sucesion fSn g de las sumas parciales esta acotada superiormente.
TeoremaP4.2.
(criterio
on)
P1 de comparaci
Sean 1
y
tales
que
n
n
n n 0, 8 2 N, y existe 0 2 N (frecuentemente
n=1
n=1
a
b
a b
n
n
1) tal que 8n n0 , se cumple an bn , entonces se verica:
P b es convergente ) P1 a es convergente.
i) 1
n=1 n
n=1 n
P a es divergente ) P1 b es divergente.
ii) 1
n=1 n
n=1 n
P
P
Denicion 4.2. Dadas 1n=1 an y 1n=1 bn tales que an bn P01, 8n 2 N, si existe n0 2 N
tal
n0 , se cumple an bn se dice que la serie
P1queb 8,no tambi
P1 an=1. an es minorante de la
e
n
que
esta
u
ltima
es
mayorante
de
la
n
n=1
n=1 n
2
CorolarioP14.1. (criterio
de comparacion en el l
mite)
P
1
Sean n=1 n y n=1 n series de terminos positivos, y tales que
a
b
an
= c 6= 0 (c 2 R)
lim
n!1 b
n
entonces ambas convergen o divergen simultaneamente.
Teorema
4.3. (criterio del cociente o de D'Alembert, 1768)
P
1
Sea n=1 an una serie tal que an 0 8n 2 N, y sea
8 L < 1 la serie converge,
<
an+1
lim
=
L
entonces
si
serie diverge,
n!1 an
: LL >= 11 lael criterio
no decide.
Teorema
4.4. (criterio de Cauchy o de la ra
z, 1821)
P
1
Sea n=1 an , con an 0, y sea
8 L < 1 la serie converge,
<
p
n a = L entonces si
serie diverge,
lim
n
n!1
: LL >= 11 lael criterio
no decide.
Teorema
de Raabe-Duhamel, 1832)
P 4.5.a (criterio
Sea 1
con
an 0, y sea
n
n=1
8 L > 1 la serie converge,
an+1 <
=
L entonces si
serie diverge,
lim
n
1
;
n!1
: LL >= 11 lael criterio
an
no decide.
4.5 Serie armonica generalizada. Criterio de Pringsheim
Denicion 4.3.
Llamaremos serie armonica generalizada de exponente 2 R, a la serie
Proposicion 4.8.1 (convergencia de la armonica generalizada)
Sea la serie
X
n=1
1
X
1.
n=1 n
1 , se cumplen:
n
i) Si 1, entonces la serie es divergente.
ii) Si > 1, entonces la serie es convergente.
Teorema
de Pringsheim)
P 4.6.a (criterio
Sea 1
con
a
0, 8n 2 N, se cumplen los siguientes apartados:
n
n
n=1
P a es
i) Si existe 2 R, > 1 tal que lim n!1 n an < +1, entonces la serie 1
n=1 n
convergente.
P a es divergente.
ii) Si existe un 1 tal que lim n!1 n an > 0, entonces la serie 1
n=1 n
iii) Si no existe un que satisfaga i) o ii), entonces el criterio no decide.
Denicion 4.4. Llamaremos series alternadas a aquellas que tienen los termino alternativamente positivos y negativos, o si se preere a aquellas cuyo termino n-esimo puede
escribirse como an = (;1)n+1 jan j o an = (;1)njan j.
3
4.6 Series alternadas. Criterio de Leibnitz
Teorema 4.7. (criterio dePLeibnitz,
1784)
1
Si una serie alternada
, cumple la condicion
n=1 an
ja1 j > ja2j > ja3 j > : : : > jan j > jan+1 j > : : :
entonces se verica
lim a = 0 ()
n!1 n
1
X
n=1
n
a
converge.
4.7 Convergencia absoluta y condicional
Denicion 4.5. Sea la serie P1 , si converge P1
n=1 an
n=1 jan j diremos que la primera es
una serie absolutamente convergente. De una serie que converja, pero no lo haga absolutamente (como la armonica alternada) diremos que es condicionalmente convergente.
Teorema 4.8. (de la convergencia absoluta)
1
X
n=1
jan j es convergente =)
1
X
n=1
n
a
es convergente.
Referencias
1] Emanuel Fischer, Intermediate Real Analysis, Spriger-Verlag, 1980.
2] Miguel de Guzman y Baldomero Rubio, Analisis Matematico (numeros reales, sucesiones y series), Ediciones Piramide, Madrid 1990.
3] Konrad Knopp, Innite Sequences and Series, Dover Publications Inc., New York
1956.
4] Konrad Knopp, Theory and application of innite series, Dover Publications, Inc.,
1947, 1951, 1990.
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