Índice

Análisis y Métodos numéricos (Grado en Informática)
TEMA 4: SERIES DE NÚMEROS REALES
Índice
1.- ¿Qué es una serie?
2.- Series convergentes. (Condición imprescindible para que una serie converja.)
P 1
3.nα es convergente si α > 1, divergente en otro caso.
4.- Estudio del carácter de las series (sólo con términos positivos): ¿Es convergente o no?
5.- Determinar la suma de algunos tipos de series.
CRITERIOS (SERIES DE TÉRMINOS POSITIVOS)
Nombre del criterio
Comparación en el límite
Producto o de Pringsheim
Cociente o de D’Alembert
Raabe
Raíz
a) L ∈ R+
el mismo carácter
tienen
P
P
b
convergente
⇒P an convergente
n
P
b)
L
=
0
an divergente ⇒ bnP
divergente
lı́m abnn = L
P
a
convergente
⇒
n
P
P bn convergente
c) L = +∞
b
divergente
⇒
an divergente
n
P
α > 1 ⇒ P an convergente
a) L ∈ R+
α ≤ 1P
⇒ an divergente
α
lı́m n an = L
b)L = 0, α > 1 ⇒ aP
n convergente
c) L = +∞,Pα ≤ 1 ⇒ bn divergente
a) L < 1 ⇒ an convergente
b)L = 1 DUDOSO
=
L
lı́m aan+1
P
n
c) L > 1 ⇒ an divergente
P
a) β < 1 ⇒P an divergente
an+1
lı́m n 1 − an = β b)β > 1 ⇒ an convergente
c) βP
= 1 DUDOSO
a) L < 1 ⇒P an convergente
√
lı́m n an = L b)L > 1 ⇒ an divergente
c) L = 1 DUDOSO
¿ Qué aplicar? Sólo algunas indicaciones.
• Si el término general tiene factoriales −→ criterio del cociente.
• Si el término general tiene potencias n-ésimas −→ criterio de la raíz.
Orden
P
% lı́m an 6= 0 ⇒ P an no convergente
♠ Criterio de la no convergencia
& lı́m an = 0 ⇒
an DUDOSO
♠ Criterio de comparación (Pringsheim).
♠ Criterio del cociente.
♠ Criterio de la raíz
Ejemplos
3
X √
1
n
(Criterio
de
comparación)
II)
(Criterio de Pringsheim)
n
2
2 −5
n +1
X
X n2
1
IV)
(Criterio de Raabe)
III)
(Criterio
del
cociente
)
n
(2n
+
1)(2n
+ 3)
2
X 1
V)
(Criterio de la Raíz)
(ln n)n
I)
X
Ejercicios
Estudiar el carácter de las siguientes series
X
X
X (n!)2 · 4n
X nn
X √n ln n
−n2
2.
(1 − e−1/n )2 3.
4.
n
·
e
1.
5.
2
(2n)!
en +1
n2 + 1
X
X
X n + 1 n
1
nπ
√
7.
6.
cos2n
8.
5+ n
2n + 4
n
X 1 · 3 · 5 · · · (2n + 1)
X n!
10.
9.
2 · 4 · 6 · · · (2n + 2)
n2 2n
Análisis y Métodos numéricos (Grado en Informática)
Suma de algunos tipos de series
Sumar una serie es hallar el límite de las sumas parciales de la sucesión que la ‘la
genera’. Las técnicas son totalmente diferentes al cálculo de límites de sucesiones.
Tipo
Forma
Suma
X P olinomio
Algebraica
X
Telescópicas
X
Aritmético-geométricas
X
Hipergeométricas
descomponer en fracciones simples
P olinomio
an , an = bn − bn+1
an · gn
an+1
αn + β
=
an
αn + γ
an ,
b1 − lı́m bn
∞
X
a1 g1 + dG
g2
, G=
gn =
1−r
1−r
n=2
α + β ≥ γ Serie no convergente
−a1 γ
α+β <γ
α+β−γ
Ejemplos
Sumar las siguientes series, en el caso de que sean convergentes
IV)
X
X
X 3n − 2
1
3n + 4
X
1
II)
I)
III)
n(n + 1)
n3 + 3n2 + 2n
2n
(3n − 2)(3n + 1)
Ejercicios
1.-
X 3n+1 + 2n+1
6n
√
5.9.-
√
n+1− n
√
n2 + n
2.-
n≥2
6.-
ln
X
h
1+
1
n
n i
n · ln n · ln(n + 1)n+1
4n − 1
2n
1
n(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4)(n + 5)
3.-
X (n − 1)!
n≥1
7.-
(n + p)!
1
4n2 − 1
1
4.ln 1 − 2
n
n≥2
X
8.-
n
3n