Teorema de Cauchy

Teorema de Cauchy-Hadamard.
“Para toda serie de potencias, existe un r / 0 ≤ r ≤ ∞ (radio de convergencia) tal que:
- Si |x| < r, la serie es absolutamente convergente.
- Si |x| > r, la serie no es convergente.”
D: Vimos en series numéricas que la convergencia absoluta
a la incondicional,
Pes equivalente
n
por lo que aplicamos el criterio de la raı́z n-ésima a
|an x |.
p
p
• lı́m n |an xn | = lı́m n |an | |x| = l |x|. Si l 6= 0 y l 6= ∞, se cumple:
n→∞
n→∞
P
P
- Si |x| < 1 =⇒ l |x| < 1 =⇒
|an xn | convergente =⇒
an xn convergente.
l
p
p
- Si |x| > 1 =⇒ l |x| > 1 =⇒ lı́m n |an xn | > 1 =⇒ ∃n0 / n |an xn | > 1 ∀n ≥ n0 =⇒
l
n→∞
|an xn | > 1 ∀n ≥ n0 , por lo que no se cumple la cond. necesaria de convergencia.
• Si l = 0 =⇒ l |x| < 1 ∀x =⇒ r = ∞.
• Si l = ∞ =⇒ l |x| < 1 sólo en x = 0 =⇒ r = 0.
• Es decir,pcomprobamos que existe un r que cumple la condición del enunciado. Si
l = lı́m n |an | = ∞, r es nulo; si l es nulo, r vale ∞. En los restantes casos, r = 1 .
l
n→∞
Notas:
a) Para |x| = r, el teorema no afirma nada, por lo que la serie puede ser convergente o no.
b) Se dice que α es un lı́mite de oscilación de {αn } si en todo entorno de α hay infinitos
elementos de {αn }. Esto puede ocurrir, por ejemplo, si αn no tiene una expresión única,
sino que es distinto para términos pares e impares.
p
La sucesión n |an | no tiene por qué tener lı́mite, pero siempre tendrá algún lı́mite de
oscilación, finito o infinito (Teorema de Bolzano-Weierstrass para sucesiones). En ese
p
caso tomaremos r = 1 , siendo l = lı́m n |an | (lı́mite superior de oscilación).
l
n→∞
an+1 a c) Otra forma de calcular l es como lı́m an+1
,
pues,
si
existe
lı́m
an , entonces
n
n→∞
n→∞
p
lı́m n |an | existe y vale lo mismo.
n→∞
d) A partir del teorema, resulta que el campo de convergencia C de las series de potencias
adopta siempre una de estas cuatro formas: (−r, r), (−r, r], [−r, r), [−r, r].
Ejemplos propuestos (con solución). Calcular el campo de convergencia de:
P
P xn
1
1
2
3 3
3 4
n
; C = R. 3) 2x+2x +2 x +2 x +. . . ; C = − 2 , 2 .
1)
n!x ; C = {0} . 2)
n!