Cálculo 1 Primero de Matemáticas Hoja 7

Curso 2007-2008
Cálculo 1
Primero de Matemáticas
Hoja 7
1.- Estudiar la convergencia de las siguientes series:
(1)
(4)
(7)
X 10k
k!
X
k
2k + 1
1
√
1+ k
(13)
X
k2
ek + 1
(16)
X
(3)
(5)
X n!
100n
(6)
k2 + 2
2 k 3 + 6 k − 20
√
X 2k + k
√
(11)
k3 + 2 k
X 2k k!
(14)
kk
X
1
(17)
3
n log n(log(log n)) 2
X (k!)2
(20)
(2 k)!
X log n
(23)
n2
X √
(26)
( n n − 1)n
(8)
k2
X
X 1
k 2k
k
X (log k)2
(10)
(2)
1
1
2
n (log n)
k
X
k
(19)
k + 10
X n!
(22)
nn
X√
√
(25)
( n+1− n )
X
X 1
kk
X (log k)2
k
X 2 k
(9)
k
3
(12)
(15)
X k!
104 k
X n!
(n + 2)!
1
(18)
X
(21)
X
45
1 + 100−n
(24)
X
1
(log n)n
(27)
X
√
k3
−2
1
2log n
2.- Describir la convergencia de la serie
∞
X
an n!
n=1
nn
,
según los valores de a > 0.
3.- Una oruga avanza por una cuerda elástica de 100 metros de largo a una velocidad de 1
m/h. Cada hora, alguien estira 100 metros la cuerda de forma homogénea. ¿Llegará alguna
vez la oruga al final de la cuerda?.
4.- Dos locomotoras se desplazan en lı́nea recta, en sentido contrario, a 30 km/h partiendo
de dos puntos a una distancia de 180 km. Una paloma sale de uno de los puntos a 60 km/h
en dirección a la locomotora que viene en sentido opuesto. Cuando llega a la misma, gira
y se dirige hacia la otra locomotora, y va repitiendo el proceso indefinidamente. ¿Cuántos
kilómetros habrá recorrido hasta el fatal desenlace? ¿Cuántos en cada sentido?.
1
5.- Calcular las siguientes sumas:
∞
X
∞ X
1
1
√ −√
,
n
n
+
1
n=3
n=2
∞
X
2
,
n (n + 2)
n=2
3n + 1
.
n (n + 1) (n + 2)
6.- Decidir razonadamente si son ciertas las siguientes afirmaciones:
(a) Si lı́m an = 0, entonces
∞
X
(−1)n an es convergente.
n=1
(b) Si para todo n, an > 0 y lı́m an = 0, entonces
∞
X
(−1)n an es convergente.
n=1
(c) Si para todo n, an ≥ an+1 > 0 y lı́m an = 0, entonces
∞
X
(−2)n an es convergente.
n=1
(d) Existe una sucesión {an } tal que para todo n, an ≥ an+1 > 0, lı́m an = 0 y
n=1
es convergente.
7.- Probar que la serie
∞
X
n+1
(−1)
n=1
(1 + n1 )n
n
es convergente pero no absolutamente convergente.
8.- Estudiar la convergencia absoluta y condicional de las siguientes series:
∞
X
∞
X
kk
(−1) k ,
3 k!
k=1
k
∞
X
1
(−1)
,
k log k
k=1
k
2
∞
X
(−1)k
√ .
k
k=1
(−n)n an