Sucesiones y series numéricas

SUCESIONES
Diremos que {an} es convergente si lim an = L (finito)
nð
Si {an}y {bn}son convergentes tales que
lim an = L lim bn = M ; Entonces:
nð nð
{an} (ð,*,/){bn}= L(ð,*,/) M
Si lim -|an| = 0 ð lim -an= 0
nð nð
Dada {an} diremos que C ð R es una cota superior de {an} si C an; B ð R es una cota inferior si B ð an . Toda
sucesión acotada, monótona (creciente o decreciente) y continua es convergente, ya que tiende a su cota.
SERIES NUMÉRICAS
Diremos que una serie ðan es convergente si lim ðan = L (finito)
ð nð
Series Geométricas (ðKrn−1; K,r ð R)
n=1
La serie geométrica converge si -|r-|<1 y converge a
k
Sn= −−−−−−−−
1−r
Si ðan y ðbn son convergentes a A y B respectivamente entonces:
ðan ð ðbn= A ð ð
Si ðC*an ; C=cte. ð C*ðan = C*A
El carácter de convergencia de una serie no cambia si se le suprimen los n primeros términos.
Si dos series coinciden a partir de un término n, las dos tienen el mismo carácter.
Dada ðan convergente ð lim an = 0
1
nð
ð
ðððnp es convergente para p>1.
n=1
CRITERIO DE LA INTEGRAL
Sea yðð(x) una función continua, positiva y decreciente en [1, +ð) y tal que ð(n)= an entonces:
+ð +ð
ðð(x)dx y ðan tienen el mismo carácter.
1 n=1
CRITERIO DE COMPARACIÓN
ðan y
ðbn de términos positivos.
Si ðan ð ðbn ð si ðbn converge se tendrá que ðan converge. Y si ðan diverge entonces ðbn diverge.
COMPARACIÓN AL LÍMITE (para series de términos positivos)
Si ð lim an/bn = L (finito, positivo) anð L*bn
nð
Entonces si an converge bn converge y viceversa.
Si lim an/bn = 0 si bn converge an converge.
nð
Si lim an/bn = +ð si bn diverge an diverge.
nð
ðð
SERIES ALTERNAS (ð(ðððn+1 an ó ð(ðððn an )
n=1 n=1
Criterio Para Series Alternas.
Si lim an =0 y { an } es decreciente, entonces la serie es convergente.
2
nð
CONVERGENCIA ABSOLUTA
Dada ðan de términos de cualquier signo.
ð-|an-| converge ð ðan es convergente y diremos que ðan converge absolutamente.
Si ð-|an--| diverge y -ðan converge, diremos que an converge condicionalmente.
CRITERIO DE LA RAZÓN
Si lim |an+1|/|an|= L; L<1 la serie converge absolutamente.
nð
Si L=1 no se puede concluir. Si L>1 la serie diverge.
CRITERIO DE LA RAÍZ
Si lim (|an|ðððn=L; L<1 la serie converge absolutamente.
nð
Si L=1 no se puede concluir; si L>1 la serie diverge.
ESTIMACIÓN DEL RESTO
Criterio de la Integral.
Resto(Rn)=S−Sn=an+1 + an+2+ an+3+...
+ð +ð
ðð(x)dx ð Rnð ðð(x)dx
n+1 n
Para Series Alternas
|Rn
|ð
|an+1
|<error
ðð
SERIES DE POTENCIA (ðCn(x−a)n; serie de potencia centrada en a)
3
n=0
ð
ðxn =1/(1−x) ð |x|<1
n=0
ð
ðxn/n!= ex
n=0
Si una serie de potencia es convergente para x=x1 ð converge absolutamente para cualquier valor de x tal que
|x|<|x1|.
Si una serie de potencia es divergente para x=x2 ð también es divergente para cualquier valor de x tal que
|x|>|x2|.
SERIE DE TAYLOR
Cn=ðn(a)/n! De lo que se obtiene:
ð
ð(x)= ððn(a)(x−a)n/n!; si a=0 entonces se habla de serie de Mc. Laurin.
n=0
4