Criterios de convergencia para series de números reales

Antonio Cipriano Santiago Zaragoza
Departamento de Matemáticas
Mayo de 1999
CRITERIOS DE CONVERGENCIA PARA SERIES
Series de términos cualesquiera
Condición necesaria de convergencia: Sea
gente. Entonces fan g ! 0:
P
an una serie de números reales conver-
Criterio general de convergencia o criterio de Cauchy: Sea
reales. Son equivalentes:
i)
P
P
an una serie de números
an es convergente
ii) 8" > 0, 9m 2 N : si n
m y h 2 N es arbitrario, entonces
jan+1 + an+2 + ::: + an+h j < "
P
P
Test de comparación: Sean Pan y
bn series de números reales.
Supongamos que
P
jan j bn ; 8n 2 N y que la serie
bn es convergente. Entonces,
an es convergente y se
veri…ca que
+1
+1
X
X
an
bn
n=1
P
n=1
En particular,
si
an es una serie de números reales y
P
serie
an es convergente y se tiene que
+1
X
an
n=1
+1
X
n=1
P
jan j es convergente, entonces la
jan j
Series de términos positivos
Criterio de comparación por paso al límite: Sean fan g ; fbn g
i) Supongamos que
n
an
bn
o
! L 2 R+ : Entonces
X
an convergente ,
X
bn convergente
R+ :
n
ii) Si
iii) Si
an
bn
n
o
an
bn
!0y
o
P
bn es convergente, entonces
! +1 y
P
n!+1
p
n
ii) Si lim
n!+1
P
an = L > 1 )
p
n
an es convergente.
an es convergente, entonces
Criterio de la raíz o de Cauchy: Sea an
i) Si lim
P
0:
P
bn es convergente
an no converge
n 1
an = L < 1 )
P
an converge
n 1
Criterio de Kummer: Sean an ; bn
0:
i) Si 9" > 0; y 9p 2 N : para n
convergente
bn+1 an+1
an
p se tiene que bn
ii) Si9p 2 N tal que,
P para n p, se tiene bn
entonces la serie
an tampoco converge.
bn+1 an+1
an
0 y la serie
Criterio del cociente o de D’Alembert: Sea an > 0:
an+1
n!+1 an
i) Si lim
=L>1)
an+1
n!+1 an
ii) Si lim
P
an no converge
n 1
=L<1)
P
an converge
n 1
Criterio de Raabe: Sea an
i) Si lim n 1
n!+1
ii) Si lim n 1
n!+1
an+1
an
an+1
an
0:
P
=L>1)
an converge
n 1
=L<1)
P
an no converge
n 1
Criterio nk an o de Pringsheim: Sea an
i) Si lim nk an = L > 0 entonces:
n!+1
iii) Si lim nk an = +1 y k
n!+1
an converge, k > 1
n 1
ii) Si lim nk an = 0 y k > 1 )
n!+1
P
0:
P
an converge
n 1
1)
P
n 1
an no converge
"; entonces
P
1
bn
P
an es
no es convergente,
Criterio de condensación: Sea fan g & con an 0. Entonces,
X
X
an converge ,
2n a2n converge
f (n)
k
n!+1 n
Criterio: Si lim
= L > 0 entonces:
P
1
n
f
n 1
converge , k > 1
Criterio (Caso particular del criterio de Pringsheim): Sea an = f n1
0; 8n 2 N
0
2
y tal que fP
es derivable en 0 con f (0) = f (0) = 0: Supongamos que f 2 C (I) con 0 2 I:
Entonces,
f n1 converge.
n 1
Criterio integral: Sea f : [1; +1[ ! R una función positiva y decreciente y, para cada n 2
R +1
P
an y la integral impropia de Riemann 1 f (n) dn
N sea an = f (n). Entonces, la serie
tienen el mismo carácter.
Casos particulares:
i) Series armónicas o de Riemann:
X 1
converge , k > 1
nk
n 1
ii) Sea k 2 N …jo. Entonces:
X
n 1
iii) Serie geométrica:
nk j j converge ,
X
n 1
en cuyo caso
<1
xn converge , jxj < 1
+1
X
xn =
n=1
1
1
x
iv) Serie aritmético-geométrica:
Sea
an+1
P
an una serie aritmético-geométrica (es decir, an = [a1 + (n 1) d] rn 1 donde d =
an y r = an+1
son la diferencia y la razón, respectivamente). Entonces:
an
+1
X
n=1
[a1 + (n
1) d] rn
1
=
a1
1
r
+
rd
(1 r)2
8r 2 ] 1; 1[
v) Serie hipergeométrica
Sea
P
an una serie hipergeométrica (es decir,
X
en cuyo caso
an+1
an
=
an converge , C
+1
X
an =
n=1
An+B
An+C
B
con A; B; C 2 R). Se tiene que
A
0
R:
P
Ca1
C B A
Series de términos cualesquiera
Criterios de Dirichlet y de Abel: Sean fan g ; fbn g
i) Criterio de Dirichlet
Si la sucesión de sumas parciales de
es convergente.
P
jbn+1
bn j es convergente.
an está acotada y fbn g ! 0, entonces la serie
ii) Criterio de Abel
Si la serie
P
an es convergente, también lo es la serie
Criterio de Leibniz: Si fxn g & 0, la serie
P
P
an b n :
( 1)n+1 xn es convergente.
P
an b n