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COMPENDIO3-Calculo de Varias Variables

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TECNOLOGIAS DE LA INFORMACION
CALCULO DE VARIAS VARIABLE
3 créditos
Profesor Autor:
Dr. Adrián Ramón Infante Linares
UNIDAD 3. CALCULO DIFERENCIAL
Titulaciones
•
TECNOLOGIAS DE LA INFORMACION
Semestre
Segundo
Tutorías: El profesor asignado se publicará en el entorno virtual de aprendizaje online.utm.edu.ec), y
sus horarios de conferencias se indicarán en la sección CAFETERÍA VIRTUAL.
PERÍODO MAYO 2020/ AGOSTO 2020
Índice
Tabla de contenido
Unidad 3 Cálculo Diferencial en Varias Variables .................................................................................. 2
Resultado de aprendizaje de la asignatura ............................................................................................. 2
Tema 1. Derivadas Parciales. ................................................................................................................... 3
Campo vectorial y transformación lineal ........................................................................................ 3
Notación con matrices. .................................................................................................................... 6
Diferencial de un campo escalar ....................................................................................................... 9
Derivadas parciales ............................................................................................................................ 11
Derivada de orden superior y derivadas mixtas. ........................................................................ 13
Tema 2. Diferenciación de funciones de varias variables ................................................................... 17
Derivadas direccionales .................................................................................................................... 17
Concepto de Gradiente. ..................................................................................................................... 18
Derivada direccional en ℝ𝟑 ............................................................................................................... 23
Regla de la cadena .............................................................................................................................. 24
Plano tangente a una superficie. ......................................................................................................... 28
Caso superficie dada como una superficie de nivel 𝑭(𝒙, 𝒚, 𝒛) = 𝟎. .................................... 29
Caso superficie dada como un gráfico. ..................................................................................... 30
Tema 3. Extremos de funciones de varias variables ........................................................................... 31
Máximos y mínimos locales. ............................................................................................................ 31
Método de los Multiplicadores de Lagrange ................................................................................ 35
Bibliografía.................................................................................................................................................. 37
1
Unidad 3 Cálculo Diferencial en Varias Variables
Resultado de aprendizaje de la asignatura
El estudiante formado en una carrera de Ciencias Técnicas de la Ingeniería será capaz
de utilizar los fundamentos del cálculo de varias variables a través de modelos
matemáticos prácticos y sencillos para la solución de problemas relacionados con las
distintas áreas de la ingeniería.
Resultado de aprendizaje de la unidad 3:
Aplicar el cálculo diferencial en la modelación matemática de situaciones concretas que
involucran varias variables de problemas tridimensionales y de optimización.
2
Recomendación para la lectura de este compendio
Este compendio contiene una variedad de ejemplos y luego encontrará los ejercicios
propuestos, de idea es que primero lea y comprenda los pasos del ejemplo y pueda
justificar cada uno de ellos con las definiciones y propiedades dadas. Posteriormente, se
resuelve el ejemplo 𝑠𝑖𝑛 mirar los pasos anteriores justificado estos pasos, cuando lo logre
puede resolver los ejercicios de igual forma sin mirar los resueltos. Una vez terminado el
ejercicio revisamos si nuestras justificaciones son la correctas. Esto permite tener un
entrenamiento para resolver problemas.
Tema 1. Derivadas Parciales.
Cuando estudiamos un conjunto nuevo donde tenemos funciones, el interés es definir
continuidad, diferenciabilidad e integrabilidad. En la Unidad 2 presentamos las regiones
en el plano y el espacio de como son los dominios de las funciones de varias variables y
llegamos a la definición de continuidad, que es consecuencia de la definición del límite.
Este límite lo utilizaremos para definir una herramienta muy importante para todo
ingeniero y otras muchas ramas de estudio, como lo son las derivadas parciales que nos
permiten modelar diferentes fenómenos y resultados. Esto se evidencia cuando
observamos las fórmulas que estudiamos en diferentes áreas y vemos que contienen las
derivas parciales como instrumento para realizar sus cálculos. Dejo a la curiosidad del
estudiante que encuentre los diferentes ejemplos que se encuentran en sus libros de
texto en las diferentes áreas de sus estudios.
Para más detalles, ejemplos y ejercicios sobre el tema de la geometría en el espacio se
recomienda revisar los libros que se mencionan en la bibliografía.
Campo vectorial y transformación lineal
Las funciones de varias variables que vamos a estudiar los podemos clasificar en dos
tipos según la dimensión del conjunto donde están sus imágenes, estos son los que tienen
como imagen la recta real que llamaremos campos escalares y los campos vectoriales
cuyas imágenes son vectores de ℝ! .
Definición 1. Sea 𝐷 ⊂ ℝ" , una función 𝑓: 𝐷 → ℝ
se llama campo escalar.
Por ejemplo, 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 11 − 𝑥 # − 𝑦 # − 𝑧 # cuyo dominio es la semi-esfera superior y su
imagen es el intervalo [−1, 1].
Definición 2. Sea 𝐷 ⊂ ℝ" , una función 𝐹⃗ : 𝐷 → ℝ" se llama campo vectorial. Se puede
escribir en la forma
𝐹⃗ (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑓$ (𝑥, 𝑦, 𝑧),
donde los 𝑓% , 𝑖 = 1.2.3,
𝑓# (𝑥, 𝑦, 𝑧),
son funciones escalares,
𝑓" (𝑥, 𝑦, 𝑧))
𝑓% : 𝐷 → ℝ. A las funciones 𝑓% las
llamamos las funciones coordenadas de 𝐹⃗ .
3
Podemos escribir en forma resumida por
𝐹⃗ = (𝑓$ , 𝑓# , 𝑓" ).
Ejemplo 2. Sea
𝑥𝑦
𝐹⃗ (𝑥, 𝑦, 𝑧) = < #
,
𝑥 + 𝑦# + 𝑧#
cos 𝑥𝑦
C
sen 𝑥𝑦 + 2
11 − 𝑥 # − 𝑦 # ,
un campo vectorial, con
𝑓$ (𝑥, 𝑦, 𝑧) =
𝑥𝑦
,
𝑥# + 𝑦# + 𝑧#
𝑓# (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 11 − 𝑥 # − 𝑦 # − 𝑧 # ,
cos 𝑥𝑦
𝑓" (𝑥, 𝑦, 𝑧) =
,
sen 𝑥𝑦 + 2
las respectivas funciones coordenadas. Su dominio es la intersección delos dominios de
𝑓$ , 𝑓# y 𝑓" :
Dom(𝑓$ ) = {(𝑥, 𝑦 , 𝑧) ∈ ℝ" : 𝑥 # + 𝑦 # + 𝑧 # ≠ 0} ,
Dom(𝑓# ) = {(𝑥, 𝑦 , 𝑧) ∈ ℝ" : 0 ≤ 𝑥 # + 𝑦 # + 𝑧 # ≤ 1}
Dom(𝑓" ) = {(𝑥, 𝑦 , 𝑧) ∈ ℝ" : sen 𝑥𝑦 + 2 ≠ 0} = ℝ, observemos que −1 ≤ sen 𝑥𝑦 ≤ 1 y por
tanto, sen 𝑥𝑦 + 2 ≠ 0 para todo 𝑥, 𝑦.
Así que el dominio de 𝐹⃗ es
𝐷 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧): 1 ≥ 𝑥 # + 𝑦 # + 𝑧 # > 0}.
Para saber si un campo vectorial es continua, se deduce de las funciones coordenadas.
Un campo vectorial es continuo si cada una de sus funciones coordenadas es continua,
vamos a presentar este resultado en la siguiente proposición:
Proposición. 4. Sean
𝐹⃗ : 𝐷 → ℝ"
𝐷 ⊂ ℝ" ,
una función
y 𝑎⃗ = (𝑎$ , 𝑎# , 𝑎" ) ∈ 𝐷.
Supongamos que 𝐹⃗ (𝑥⃗) = (𝑓$ (𝑥⃗), 𝑓# (𝑥⃗), 𝑓" (𝑥⃗)), con 𝑥⃗ = (𝑥, 𝑦, 𝑧).
𝐹⃗ es continua en 𝑎⃗ si y sólo si 𝑓% es continua en 𝑎⃗ para 𝑖 = 1, 2, 3.
Ejemplo 3. Sea 𝐹⃗ : ℝ# → ℝ"
𝐹⃗ (𝑥, 𝑦) = <
𝑥𝑦
,
𝑥# + 𝑦#
11 − 𝑥 # − 𝑦 # ,
cos 𝑥𝑦
C
sen 𝑥𝑦 + 2
un campo vectorial. Para estudiar la continuidad, veremos donde es continua cada una
de sus funciones coordenadas. Es decir, como
𝑓$ (𝑥, 𝑦) =
𝑥𝑦
,
𝑥# + 𝑦#
es continua en 𝐷𝑜𝑚(𝑓$ ) = {(𝑥, 𝑦): 𝑥 # + 𝑦 # ≠ 0} = {(𝑥, 𝑦): 𝑥 ≠ 0, 𝑦 ≠ 0} = ℝ# − {(0,0)} .
4
𝑓# (𝑥, 𝑦) = 11 − 𝑥 # − 𝑦 # ,
Es continua en 𝐷𝑜𝑚(𝑓# ) = {(𝑥, 𝑦): 1 − 𝑥 # − 𝑦 # ≥ 0} = {(𝑥, 𝑦): 1 ≥ 𝑥 # + 𝑦 # }, esto es la
circunferencia unidad y su interior.
cos 𝑥𝑦
,
sen 𝑥𝑦 + 2
𝑓" (𝑥, 𝑦, 𝑧) =
como las funciones cos 𝑥𝑦
sen 𝑥𝑦
y
son continuas para todo 𝑥, 𝑦 ;
la función
sen 𝑥𝑦 + 2 > 0, para todo (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ# , tenemos que 𝐷𝑜𝑚(𝑓" ) = ℝ#
El dominio de 𝐹⃗ es
𝐷 = {(𝑥, 𝑦): 1 ≥ 𝑥 # + 𝑦 # > 0}.
Ejercicios 1. Diga donde es continua las siguientes funciones:
!
& '$
a) 𝐹⃗(𝑥, 𝑦, 𝑧) = O&'(') ,
&()
√&'(')
!
& '(
b) 𝐹⃗(𝑥, 𝑦, 𝑧) = < &() ,
,
$')
& ! '( ! ') !
&(')
+$'& ! '( ! ') !
,
P,
&')
&!(!) !
C
c) 𝐹⃗(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 + 𝑦 + 𝑧, 2 + 𝑥 − 𝑦, 𝑧)
d) 𝐹⃗(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (cos(𝑥𝑦𝑧) , sen(𝑥𝑦𝑧) , 𝑧𝑦𝑧)
)
e) 𝐹⃗(𝑥, 𝑦, 𝑧) = Osen O&(P ,
)
,
&(
$')
√&(
P
Entre los campos vectoriales, vamos a estudia un tipo de función muy especial pues tiene
muchas aplicaciones, por ejemplo, se utiliza en la definición de derivadas en varias
variables. Así que entender las propiedades de las transformaciones lineales tendremos
nuestra recompensa futura.
Definición 3. Un campo vectorial 𝑇: ℝ! → ℝ, se le llama transformación lineal si para
todo 𝑢
S⃗, 𝑣⃗ ∈ ℝ! y todo número 𝜆 ∈ ℝ (a 𝜆 se le dice escalar), se cumple:
(a) 𝑇(𝑢
S⃗ + 𝑣⃗) = 𝑇(𝑢
S⃗) + 𝑇(𝑣⃗)
(b) 𝑇(𝜆𝑢
S⃗) = 𝜆𝑇(𝑢
S⃗).
Observación. Las condiciones (a) y (b) los vamos a resumir en una propiedad:
𝑇(𝑢
S⃗ + 𝜆𝑣⃗) = 𝑇(𝑢
S⃗) + 𝜆𝑇(𝑣⃗)
Ejemplo 4.
(i)
Si 𝑇: ℝ → ℝ, las únicas transformaciones lineales en una variable son de la
forma
5
𝑇(𝑥) = 𝑚𝑥
para todo número real 𝑚. Podemos verificar (a) y (b) ya que
𝑇(𝑥$ + 𝜆𝑥# ) = 𝑚(𝑥$ + 𝜆𝑥# ) = 𝑚𝑥$ + 𝜆𝑚𝑥# = 𝑇(𝑥$ ) + 𝜆𝑇(𝑥# ).
(ii)
Si 𝑇: ℝ# → ℝ, es definido por
𝑇(𝑥, 𝑦) = 2𝑥 # + 𝑦
Observamos que
𝑇𝜆(𝑥, 𝑦) = 𝑇(𝜆𝑥, 𝜆𝑦) = 2 (𝜆𝑥)# + 𝜆𝑦 = 𝜆(2𝜆𝑥 # + 𝑦)
Lo que es diferente a 𝜆𝑇(𝑥, 𝑦), por lo que T no es una transformación lineal.
(iii)
Si 𝑇: ℝ# → ℝ# , un ejemplo de transformación lineal es
𝑇(𝑥, 𝑦) = (2𝑥 + 3𝑦, −4𝑥 + 𝑦).
Veamos que es una transformación lineal:
Sean (𝑥$ , 𝑦$ ) y (𝑥# , 𝑦# ) dos vectores de ℝ# y 𝜆 ∈ ℝ un escalar, se cumple que
𝑇W(𝑥$ , 𝑦$ ) + 𝜆(𝑥# , 𝑦# )X = 𝑇(𝑥$ + 𝜆𝑥# , 𝑦$ + 𝜆𝑦# ) =
𝑥
𝑦
= (2(𝑥$ + 𝜆𝑥# ) + 3( 𝑦$ + 𝜆𝑦# ), −4(𝑥$ + 𝜆𝑥# ) + 𝑦$ + 𝜆𝑦# )
= W(2𝑥$ + 3𝑦$ ) + 𝜆(2𝑥# + 3𝑦# ),
(−4𝑥$ + 𝑦$ ) + 𝜆(−4𝑥# + 𝑦# )X
= (2𝑥$ + 3𝑦$ , −4𝑥$ + 𝑦$ ) + 𝜆(2𝑥# + 3𝑦# , −4𝑥# + 𝑦# )
= 𝑇(𝑥$ , 𝑦$ ) + 𝜆𝑇(𝑥# , 𝑦# )
Esto demuestra que 𝑇 es una transformación lineal.
Ejercicio 2. Determine de las siguientes aplicaciones cuales son transformaciones
lineales y cuales no lo son.
(a) 𝑇(𝑥, 𝑦) = (2𝑥 + 𝑦, 3𝑥 − 5𝑦, 6𝑦),
(b) 𝑇(𝑥, 𝑦) = (𝑥 − 𝑦, 𝑥 + 𝑦, 3𝑥),
(c) 𝑇(𝑥, 𝑦) = (𝑥 + 2𝑦, 4𝑥, 3𝑥 + 𝑦 + 1),
(d) 𝑇(𝑥, 𝑦) = (𝑥 − 𝑦, 𝑥 # ),
(e) 𝑇(𝑥, 𝑦) = (𝑥 + 6, 𝑦).
Notación con matrices. Usando la notación matricial, el vector 𝑣⃗ = (𝑎$ , 𝑎# , ⋯ 𝑎! ) se
𝑎$
puede escribir 𝑣⃗ = \ ⋮ ^ , así que la transformación lineal del ejemplo (iii) anterior, se
𝑎!
puede escribir
6
𝑥
2𝑥 + 3𝑦
𝑇 O𝑦 P = <
C.
−4𝑥 + 𝑦
El producto de matrices nos permite escribir una transformación lineal como
𝑥
2𝑥 + 3𝑦
2 3 𝑥
𝑇 O𝑦P = <
C=O
P O P.
−4𝑥 + 𝑦
−4 1 𝑦
Toda transformación lineal 𝑇: ℝ# → ℝ# tienen la forma
𝑥
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦
𝑎
𝑇 O𝑦P = <
C=O
𝑐𝑥 + 𝑑𝑦
𝑐
donde la matriz 𝐴 = O
𝑎
𝑐
𝑥
𝑏 𝑥
P O𝑦P = 𝐴 O𝑦P,
𝑑
𝑏
P, es la matriz asociada a la trasformación lineal 𝑇.
𝑑
Ejemplo 5.
1) Si 𝑇(𝑥, 𝑦) = (3𝑥 + 2𝑦, 5𝑥 ) se puede escribir
3𝑥 + 2𝑦
𝑇(𝑥, 𝑦) = O
P,
5𝑥
o como producto de matrices
𝑇(𝑥, 𝑦) = O
3 2 𝑥
PO P
5 0 𝑦
Si queremos hallar 𝑇(0,1), hacemos
3(0) + 2(1)
3 2 0
2
𝑇(0,1) = O
PO P = <
C = O P,
5(0) + 0(1)
5 0 1
0
Es decir
0
2
𝑇 O P = O P.
1
0
2) Si 𝑇(𝑥, 𝑦) = (4𝑥 + 5𝑦, 6𝑥 + 7𝑦), se escribe
𝑥
4 5 𝑥
𝑇 O𝑦P = O
P O P.
6 7 𝑦
Si queremos hallar 𝑇(2,3), un simple calculo
4(2) + 5(3)
2
23
4 5 2
𝑇O P = O
PO P = <
C = O P.
6(2) + 7(3)
3
6 7 3
33
Ejercicio 3. Escribir las siguientes transformaciones lineales como producto de matrices
y calcule en cada caso 𝑇(1,2):
(a) 𝑇(𝑥, 𝑦) = (2𝑥 − 3𝑦, −𝑥 + 8𝑦),
𝑥
7𝑥 + 8𝑦
(b) 𝑇 O𝑦P = <
C
9𝑥 − 3𝑦
7
𝑥
𝑥
(c) 𝑇 O𝑦P = O𝑥 − 3𝑦P
𝑥
2𝑥
(d) 𝑇 O𝑦P = < C
3𝑦
𝑥
𝑥 + 3𝑦
(e) 𝑇 O𝑦P = <
C
−𝑦
Para formalizar esta definición otras dimensiones, presentaremos los cálculos respectivos
para generalizar la fórmula anterior.
En general toda transformación lineal 𝑇: ℝ! → ℝ, , tiene una matriz asociada
𝑎$$ 𝑎$# ⋯ 𝑎$!
𝑎
𝑎## ⋯ 𝑎#!
𝐴 = f #$
g
⋮
⋮
⋮
⋮
𝑎,$ 𝑎,# ⋯ 𝑎,!
Y la transformación lineal tendría la forma
𝑎$$ 𝑎$#
𝑎$$ ℎ$ + 𝑎$# ℎ# + ⋯ + 𝑎$! ℎ!
ℎ$
𝑎
𝑎##
𝑎 ℎ + 𝑎## ℎ# + ⋯ + 𝑎#! ℎ!
𝑇 \ ⋮ ^ = i #$ $
j = f #$
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
ℎ!
𝑎,$ 𝑎,#
𝑎,$ ℎ$ + 𝑎,# ℎ# + ⋯ + 𝑎,! ℎ!
⋯ 𝑎$!
ℎ$
ℎ$
⋯ 𝑎#!
g\ ⋮ ^ = 𝐴\ ⋮ ^
⋮
⋮
ℎ!
ℎ!
⋯ 𝑎,!
En resumen, una Transformación lineal es una función 𝑇: ℝ! → ℝ, , , que tiene asociada
una matriz 𝐴, y se escribe en la forma
ℎ$
ℎ$
𝑇 \ ⋮ ^ = 𝐴 \ ⋮ ^.
ℎ!
ℎ!
Ejemplo 6.
(i)
Si
5 2
𝐴=O
P
−1 3
define la función 𝑇 <
ℎ$
ℎ
4
C = 𝐴 < $ C. Si queremos encontrar, por ejemplo, 𝑇 O P se evalúa
ℎ#
ℎ#
3
5(4) + 2(3)
4
4
14
5 2 4
𝑇O P = 𝐴O P = O
PO P = <
C=O P
−1(4) + 3(3)
3
3
−1 3 3
5
4
14
Así que 𝑇 O P = O P.
3
5
(ii)
Si
8
1 2 3
𝐴 = \4 5 6 ^
7 8 9
−3
Define una función 𝑇: ℝ → ℝ , podemos hallar 𝑇 \−2^
−4
"
"
1(−3) + 2(−2) + 3(−4)
−3
1 2 3 −3
−19
𝑇 \−2^ = \4 5 6^ \−2^ = f4(−3) + 5(−2) + 6(−4)g = \−46^
−4
7 8 9 −4
−73
7(−3) + 8(−2) + 9(−4)
Ejercicio 4. Encuentre la matriz asociada a cada una de las siguientes transformaciones
lineales:
(a) 𝑇(𝑥, 𝑦) = (2𝑥 + 𝑦, 3𝑥 − 4𝑦, 𝑥 + 𝑦)
(b) 𝑇(𝑥, 𝑦) = (𝑥 + 𝑦, 𝑥 − 𝑦, 𝑦)
(c) 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 + 𝑦 − 2𝑧, 3𝑥 − 4𝑦 + 𝑧, 𝑥 + 𝑦)
(d) 𝑇(𝑥, 𝑦) = (𝑥, 𝑦, 𝑧)
(e) 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (2𝑦 + 𝑧, 3𝑥 − 4𝑧, 𝑥 + 𝑦)
(f) 𝑇(𝑥) = 𝑎𝑥
Ejercicio 5. Sea 𝐴 = O
cos 𝜃
𝜃
ℎ
ℎ
− sen 𝜃
P, con 𝜃 una constante una matriz y 𝑇 < $ C = 𝐴 < $ C
ℎ#
ℎ#
−𝜃
-
-
-
-
una transformación lineal. (cos # = 0, sen # = 1, cos 0 = 1, sen 0 = 0, cos . = sen . =
√#
#
)
ℎ
ℎ
(a) Escriba de forma explícita 𝑇 < $ C. (Es decir realizar el producto de matrices 𝐴 < $ C)
ℎ#
ℎ#
-
(b) Si 𝜃 = , escriba la matriz 𝐴 para ese valor y la transformación 𝑇 <
#
ℎ$
1
C y 𝑇O P
ℎ#
−1
ℎ
1
(c) Si 𝜃 = 0, escriba la matriz 𝐴 para ese valor y la transformación 𝑇 < $ C y 𝑇 O P
ℎ#
−1
-
(d) Si 𝜃 = . , escriba la matriz 𝐴 para ese valor y la transformación 𝑇 <
ℎ$
1
C y 𝑇O P
ℎ#
−1
Diferencial de un campo escalar
Ahora vamos a generalizar la definición de derivada que conocimos en cálculo de una
variable a estas nuevas funciones de varias variables. Primero estudiaremos el caso de
una variable para entender el sentido de la definición en varias variables. Ciertamente
9
podemos ir directamente a los cálculos, pero para saber de dónde nace la definición de
derivada y poder resolver diferentes tipos de ejercicios y aplicaciones.
Vamos a comenzar con caso conocido, Sea 𝑓: ℝ → ℝ una función diferenciable
(derivable), en 𝑥/ ∈ ℝ y sea 𝑎 = 𝑓 0 (𝑥/ ), es decir
𝑓(𝑥/ + ℎ) − 𝑓(𝑥/ )
= 𝑎.
1→/
ℎ
lim
Entonces tenemos
𝑓(𝑥/ + ℎ) − 𝑓(𝑥/ ) − 𝑎ℎ
= 0,
1→/
ℎ
lim
o equivalentemente
|𝑓(𝑥/ + ℎ) − 𝑓(𝑥/ ) − 𝑎ℎ|
= 0.
1→/
|ℎ|
lim
La función 𝑇(ℎ) = 𝑎ℎ es una transformación lineal. Así tenemos el siguiente resultado
Sea 𝑓: ℝ → ℝ una función y sea 𝑥/ ∈ ℝ. 𝑓 es diferenciable en 𝑥/ si y sólo si existe una
transformación lineal 𝑇: ℝ → ℝ tal que
|𝑓(𝑥/ + ℎ) − 𝑓(𝑥/ ) − 𝑇(ℎ)|
= 0.
1→/
|ℎ|
lim
Es decir que 𝑇(ℎ) = 𝑎ℎ, o más explícito 𝑇(ℎ) = 𝑓 0 (𝑥/ )ℎ. (Recuerde que 𝑓 0 (𝑥/ ) es un
número).
En general, una función 𝑓: ℝ! → ℝ es diferenciable SSSS⃗
𝑥/ ∈ ℝ! , si y sólo si existe una
transformación lineal 𝑇: ℝ! → ℝ tal que
S⃗X − 𝑓(SSSS⃗)
S⃗)p
p𝑓W𝑥
SSSS⃗/ + ℎ
𝑥/ − 𝑇(ℎ
= 0.
1→/
S⃗q
qℎ
lim
Observación. Si ℎ ∈ ℝ su norma es el valor absoluto y escribimos |ℎ|, es por eso que
!
S⃗
S⃗
escribimos p𝑓W𝑥
SSSS⃗/ + ℎS⃗X − 𝑓(𝑥
SSSS⃗)
/ − 𝑇(ℎ)p, pero si ℎ ∈ ℝ , le ponemos una flecha ℎ y su
S⃗q. Recordemos que si ℎS⃗ = (ℎ$ , ℎ# , ℎ" ) entonces qℎ
S⃗q = 1ℎ$# + ℎ## + ℎ"# .
norma es qℎ
Para dar explícitamente la matriz asociada a la transformación lineal 𝑇 que es igual a la
derivada, veremos que es una fórmula muy sencilla, y para ello necesitamos dar algunas
definiciones importantes.
10
Derivadas parciales
Vamos a usar los conocimientos de derivadas de una variable, pues derivada parcial es
derivar una función de varias variables con respecto a una de sus variables mientras que
las restantes variables permanecen constante.
Definición 4. Sean 𝐷 ⊂ ℝ# un abierto, 𝑓: 𝐷 → ℝ un campo escalar y (𝑥/ , 𝑦/ ) ∈ 𝐷. La
derivada parcial de 𝑓 con respecto a 𝑥 en (𝑥/ . 𝑦/ ) se define por
𝜕𝑓
𝑓W(𝑥/ , 𝑦/ ) + (𝑡, 0)X − 𝑓(𝑥/ , 𝑦/ )
𝑓W(𝑥/ + 𝑡, 𝑦/ )X − 𝑓(𝑥/ , 𝑦/ )
(𝑥/ , 𝑦/ ) = lim
= lim
3→/
3→/
𝜕𝑥
𝑡
𝑡
en caso de que el límite exista.
Esta derivada se calcula de la siguiente manera: se considera la variable y como constante
y se deriva con respecto a 𝑥 usando las reglas usuales de derivación.
Ejemplo 7. Sea 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 # 𝑦 # + 5𝑦 " , queremos encontrar la derivada parcial de 𝑓 con
respecto a 𝑥 en el punto (𝑥/ , 𝑦/ ) = (3, 4). Tenemos
𝜕𝑓
𝜕(𝑥 # 𝑦 # + 5𝑦 " )
(𝑥, 𝑦) =
= 2𝑥𝑦 # + 0 = 2𝑥𝑦 #
𝜕𝑥
𝜕𝑥
Observemos que
𝜕5𝑦 "
= 0,
𝜕𝑥
esto es debido a que estamos derivando respecto de 𝑥, entonces 𝑦 es constante.
Si ahora nos pide la derivada parcial de 𝑓 en el punto (𝑥/ , 𝑦/ ) = (3, 4), lo que tenemos que
hacer es reemplazar el punto en
45
4&
(𝑥 , 𝑦) = 2𝑥𝑦 # y obtenemos
𝜕𝑓
(3,4) = 2(3)(4)# = 96.
𝜕𝑥
Ejemplo 8. Si 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒 &'( cos 𝑥, queremos encontrar la derivada parcial de 𝑓 con
respecto a 𝑥 en el punto (𝜋, 2).
Primero hay que encontrar la derivada parcial y luego evaluar. Para encontrar la ejemplo
usaremos la regla del producto, [𝑓𝑔]0 = 𝑓 0 𝑔 + 𝑓𝑔′:
𝜕𝑓
𝜕(𝑒 &'( cos 𝑥)
(𝑥, 𝑦) =
= 𝑒 &'( cos 𝑥 + 𝑒 &'( (−𝑠𝑒𝑛 𝑥).
𝜕𝑥
𝜕𝑥
Recordemos que
46 "#$
4&
= 𝑒 &'( ,
4 789 &
4&
= 𝑠𝑒𝑛 𝑥
Si queremos evaluar en (𝑥/ , 𝑦/ ) = (𝜋, 2), lo que tenemos que hacer es reemplazar en
11
𝜕𝑓
(𝜋, 2) = 𝑒 -'# cos 𝜋 + 𝑒 -'# (− sen 𝜋 ) = −𝑒 -'# ,
𝜕𝑥
recuerde que cos 𝜋 = −1 y sen 𝜋 = 0 .
Ejercicio 6. Encuentre las derivadas parciales con respecto de 𝑥 de las siguientes
funciones:
(a)
(b)
(c)
(d)
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 # + 𝑥𝑦 + 𝑦 #
𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑥 + 𝑦) cos 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 𝑦
𝑓(𝑥, 𝑦) = 3𝑥 cos 𝑦 − 2𝑥 ;
𝑓(𝑥. 𝑦) = 𝑥 # + 3𝑥𝑦 # + 4𝑥 # 𝑦 + 3𝑦 #
(e)
𝑓(𝑥, 𝑦) = & ! ( % , recuerde la derivada de un cociente }<~ =
(f)
1 0
789 &
𝑓(𝑥, 𝑦) =
& ! '( !
789 &
1 & <=1<&
(<)!
&'(
+ @6! (
La derivada parcial de 𝑓 con respecto de 𝑥 en el punto (𝑥/ , 𝑦/ ) la podemos interpretar
geométricamente de la siguiente manera: Intersectamos la superficie 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) con el
plano 𝑦 = 𝑦/ y obtenemos la curva señalada en el dibujo, la pendiente de la recta tangente
a esta curva en el punto (𝑥/ , 𝑦/ , 𝑓(𝑥/ , 𝑦/ )) es igual a
45
4&
(𝑥/ , 𝑦/ ).
De forma análoga, vemos que tiene sentido definir la derivada parcial de una función 𝑓
con respecto a la segunda variable 𝑦.
Definición 5. Sean 𝐷 ⊂ ℝ# un abierto, 𝑓: 𝐷 → ℝ un campo escalar y (𝑥/ , 𝑦/ ) ∈ 𝐷. La
derivada parcial de 𝑓 con respecto a 𝑦 en (𝑥/ . 𝑦/ ) se define por
𝜕𝑓
𝑓W(𝑥/ , 𝑦/ ) + (0, 𝑡)X − 𝑓(𝑥/ , 𝑦/ )
𝑓W(𝑥/ , 𝑦/ + 𝑡)X − 𝑓(𝑥/ , 𝑦/ )
(𝑥/ , 𝑦/ ) = lim
= lim
3→/
3→/
𝜕𝑦
𝑡
𝑡
en caso de que el límite exista.
De la definición se deduce que la derivada parcial de 𝑓 con respecto a la segunda variable
es derivar solo la variable 𝑦 mientras que 𝑥 permanece constante. Así que podemos usar
todas las reglas de derivación de una variable: suma, producto, cociente y regla de la
cadena de una variable.
12
Ejemplo 9. Sea 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 # 𝑦 # + 5𝑦 " , queremos encontrar la derivada parcial de 𝑓 con
respecto a 𝑦 en el punto (𝑥/ , 𝑦/ ) = (3, 4). Tenemos
𝜕𝑓
𝜕(𝑥 # 𝑦 # + 5𝑦 " )
(𝑥, 𝑦) =
= 𝑥 # 2𝑦 + 5(3)𝑦 # = 2𝑥 # 𝑦 + 15𝑦 #
𝜕𝑦
𝜕𝑦
Si queremos hallar
45
4&
(3,4), después de hallar la parcial de 𝑓 con respecto a 𝑦,
reemplazamos (𝑥/ , 𝑦/ ) = (3, 4), así que
𝜕𝑓
(3,4) = 2(3)# (4) + 15(4)# = 312.
𝜕𝑥
Ejemplo 10. Si 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒 &'( cos 𝑥, queremos encontrar la derivada parcial de 𝑓 con
respecto a 𝑦 en el punto (𝜋, 2).
Primero hay que encontrar la parcial de 𝑓 con respecto de la segunda variable 𝑦
𝜕𝑓
𝜕 &'(
(𝑥, 𝑦) =
(𝑒
cos 𝑥) = 𝑒 &'( cos 𝑥.
𝜕𝑦
𝜕𝑦
Observemos que
46 "#$
4(
= 𝑒 &'(
y
4 789 &
4(
= 0.
Para encontrar la derivada en el punto (𝑥/ , 𝑦/ ) = (𝜋, 2), reemplazamos
𝜕𝑓
(𝜋, 2) = 𝑒 -'# cos 𝜋 = −𝑒 -'# ,
𝜕𝑦
recuerde que cos 𝜋 = −1 .
Ejercicio 7. Encuentre las derivadas parciales con respecto de 𝑦 de las siguientes
funciones:
(a)
(b)
(c)
(d)
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 # + 𝑥𝑦 + 𝑦 #
𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑥 + 𝑦) cos 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 𝑦
𝑓(𝑥, 𝑦) = 3𝑥 cos 𝑦 − 2𝑥 ;
𝑓(𝑥. 𝑦) = 𝑥 # + 3𝑥𝑦 # + 4𝑥 # 𝑦 + 3𝑦 #
(e)
𝑓(𝑥, 𝑦) = & ! ( %
(f)
789 &
𝑓(𝑥, 𝑦) =
& ! '( !
789 &
1 0
recuerde la derivada de un cociente }<~ =
1 & <=1<&
(<)!
&'(
+ @6! (
Derivada de orden superior y derivadas mixtas.
Si tenemos una función 𝑓: 𝐷 → ℝ, donde 𝐷 ⊂ ℝ# es abierto y 𝑓 tienes derivadas
45
parciales, entonces 4& es una función de 𝐷 a ℝ, por lo tanto también tiene sentido
considerar sus derivadas parciales, veremos que significa derivada parcial de orden
superior.
Veamos la notación que usaremos y la forma natural de definición:
𝜕#𝑓
𝜕 𝜕𝑓
=
< C
#
𝜕𝑥
𝜕𝑥 𝜕𝑥
13
𝜕#𝑓
𝜕 𝜕𝑓
=
< C
#
𝜕𝑦
𝜕𝑦 𝜕𝑦
𝜕#𝑓
𝜕 𝜕𝑓
=
< C
𝜕𝑦𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑥
𝜕#𝑓
𝜕 𝜕𝑓
=
< C
𝜕𝑥𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦
𝜕A𝑓
𝜕 𝜕 𝜕 𝜕 𝜕𝑓
=
i f \ < C^gj
𝜕𝑥 # 𝜕𝑦 " 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑦
Ejemplo 11. Sea 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 # + 3𝑥𝑦 + 𝑦 A , vamos a calcular varias derivadas parciales de
orden superior.
(a) Encontremos las derivadas parciales de orden superior respecto de 𝑥
𝜕𝑓
𝜕 #
(𝑥 + 3𝑥𝑦 + 𝑦 A ) = 2𝑥 + 3𝑦
=
𝜕𝑥 𝜕𝑥
𝜕#𝑓
𝜕
(2𝑥 + 3𝑦) = 2
=
#
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕"𝑓
𝜕
(2) = 0
=
𝜕𝑥 " 𝜕𝑥
(b) Encontremos las derivadas parciales de orden superior respecto de 𝑦
𝜕𝑓
𝜕 #
(𝑥 + 3𝑥𝑦 + 𝑦 A ) = 3𝑥 + 5𝑦 .
=
𝜕𝑦 𝜕𝑦
𝜕#𝑓
𝜕
(3𝑥 + 5𝑦 . ) = 5(4)𝑦 " = 20𝑦 "
=
𝜕𝑦 # 𝜕𝑦
𝜕"𝑓
𝜕
(20𝑦 " ) = 20(3)𝑦 # = 60𝑦 #
=
"
𝜕𝑦
𝜕𝑦
𝜕.𝑓
𝜕
(60𝑦 # ) = 60(2)𝑦 = 120𝑦
=
.
𝜕𝑦
𝜕𝑦
(c) Vamos ahora a encontrar algunas derivadas mixtas:
𝜕#𝑓
𝜕 𝜕 #
𝜕
[2𝑥 + 3𝑦] = 3
=
• (𝑥 + 3𝑥𝑦 + 𝑦 A )€ =
𝜕𝑦𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕#𝑓
𝜕 𝜕 #
𝜕
[3𝑥 + 5𝑦 . ] = 3
=
• (𝑥 + 3𝑥𝑦 + 𝑦 A )€ =
𝜕𝑥𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦
𝜕𝑥
Ejercicio 8. Dado 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 . + 𝑥 " 𝑦 . + 𝑦 B , encuentre las siguientes derivadas de orden
superior:
14
!" "
!# "
!" "
(b) !$"
!" "
(c) !$!#
!" "
(d) !#!$
!# "
(e) !$!#"
!# "
(f) !#!$"
!# "
(g)
!#!$!#
(a)
Ejercicio 9. Dado 𝑓(𝑥, 𝑦) = cos(𝑥𝑦) + 𝑥 " sen 𝑦, encuentre las siguientes derivadas de
orden superior:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
!" "
!# "
!" "
!$ "
!" "
!$!#
!" "
!#!$
!# "
!$!# "
!# "
!#!$ "
!# "
!#!$!#
Un hecho importante que observamos al calcular derivadas mixtas es la igualdad entre
ellas. Por ejemplo si las derivadas de primer y segundo orden de 𝑓 son continuas,
entonces
𝜕#𝑓
𝜕#𝑓
=
.
𝜕𝑦𝜕𝑥 𝜕𝑥𝜕𝑦
Caso 𝒏 = 𝟑. En el caso de funciones de tres variables, también definimos las derivadas
parciales y su cálculo se hace de forma análoga al de dos variables.
Si 𝐷 ⊂ ℝ" un abierto, 𝑓: 𝐷 → ℝ un campo escalar y (𝑥/ , 𝑦/ , 𝑧/ ) ∈ 𝐷. Podemos definir las
derivadas parciales
𝜕𝑓
(𝑥 , 𝑦 , 𝑧 ),
𝜕𝑥 / / /
𝜕𝑓
(𝑥 , 𝑦 , 𝑧 ),
𝜕𝑦 / / /
𝜕𝑓
(𝑥 , 𝑦 , 𝑧 ),
𝜕𝑧 / / /
15
Ejemplo 12. Sea 𝑓(𝑥. 𝑦. 𝑧) = 𝑥 # + 𝑥𝑦 # 𝑧 + 𝑦𝑧 " .
(a) Parciales de primer orden:
𝜕𝑓
𝜕 #
[𝑥 + 𝑥𝑦 # 𝑧 + 𝑦𝑧 " ] = 0 + 2𝑥 + 𝑦 # 𝑧 = 2𝑥 + 𝑦 # 𝑧
(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑓
𝜕 #
[𝑥 + 𝑥𝑦 # 𝑧 + 𝑦𝑧 " ] = 0 + 𝑥2𝑦𝑧 + 𝑧 " = 2𝑥𝑦𝑧 + 𝑧 "
(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
𝜕𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝑓
𝜕
(𝑥, 𝑦, 𝑧) = [𝑥 # + 𝑥𝑦 # 𝑧 + 𝑦𝑧 " ] = 0 + 𝑥𝑦 # + 𝑦3𝑧 # = 𝑥𝑦 # + 3𝑦𝑧 #
𝜕𝑧
𝜕𝑧
(b) Parciales de segundo y tercer orden y mixtas
𝜕#𝑓
𝜕 𝜕 #
𝜕
[𝑥 + 𝑥𝑦 # 𝑧 + 𝑦𝑧 " ] =
[2𝑥 + 𝑦 # 𝑧] = 2
(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
#
𝜕𝑥
𝜕𝑥 𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕#𝑓
𝜕 𝜕 #
𝜕
[𝑥 + 𝑥𝑦 # 𝑧 + 𝑦𝑧 " ] =
[𝑥𝑦 # + 3𝑦𝑧 # ] = 6𝑦𝑧
(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
#
𝜕𝑧
𝜕𝑧 𝜕𝑧
𝜕𝑧
𝜕"𝑓
𝜕 𝜕
𝜕
[𝑥 # + 𝑥𝑦 # 𝑧 + 𝑦𝑧 " ] =
[6𝑦𝑧] = 6𝑧
(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
#
#
𝜕𝑦𝜕𝑧
𝜕𝑦 𝜕𝑧
𝜕𝑦
𝜕"𝑓
𝜕𝑦 𝜕 𝜕 #
𝜕 𝜕
𝜕
[𝑥 + 𝑥𝑦 # 𝑧 + 𝑦𝑧 " ] =
[2𝑥 + 𝑦 # 𝑧] = [2𝑦𝑧] = 2𝑦
(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
𝜕𝑧𝜕𝑦𝜕𝑥
𝜕𝑧 𝜕𝑦 𝜕𝑥
𝜕𝑧 𝜕𝑦
𝜕𝑧
Ejemplo 13. Sea 𝑓(𝑥. 𝑦. 𝑧) = 𝑦(𝑥 # + 𝑥𝑦 # + cos 𝑧). Tenemos
(a)
𝜕𝑓
(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑦(2𝑥 + 𝑦 # )
𝜕𝑥
𝜕#𝑓
𝜕
[𝑦(2𝑥 + 𝑦 # )] = (2𝑥 + 𝑦 # ) + 𝑦(0 + 2𝑦) = 2𝑥 + 3𝑦 #
(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
𝜕𝑦𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕"𝑓
𝜕
[2𝑥 + 3𝑦 # ] = 0
(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
𝜕𝑧𝜕𝑦𝜕𝑥
𝜕𝑧
(b)
𝜕𝑓
𝜕
[𝑦(𝑥 # + 𝑥𝑦 # + cos 𝑧)] = (𝑥 # + 𝑥𝑦 # + cos 𝑧) + 𝑦(2𝑥𝑦)
(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
𝜕𝑦
𝜕𝑦
𝜕#𝑓
𝜕
(𝑥, 𝑦, 𝑧) = [(𝑥 # + 𝑥𝑦 # + cos 𝑧) + 𝑦(2𝑥𝑦)] = − sen 𝑧
𝜕𝑧𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝜕"𝑓
𝜕
[− sen 𝑧] = 0
(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
𝜕𝑥𝜕𝑧𝜕𝑦
𝜕𝑥
16
(c)
𝜕𝑓
𝜕
[𝑦(𝑥 # + 𝑥𝑦 # + cos 𝑧)] = [𝑦(0 + 0 − sen 𝑧)] = −𝑦 sen 𝑧.
(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
𝜕𝑧
𝜕𝑧
𝜕#𝑓
𝜕
[−𝑦 sen 𝑧 ] = − sen 𝑧
(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
𝜕𝑦𝜕𝑧
𝜕𝑦
𝜕"𝑓
𝜕
[− sen 𝑧 ] = 0
(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
𝜕𝑥𝜕𝑦𝜕𝑧
𝜕𝑥
Ejercicio 10. Dada la función 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 " 𝑦𝑧 # + 𝑥𝑦 " 𝑧 . + 𝑥 # 𝑦 . 𝑧, encuentre las
siguientes derivadas parciales:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
!# "
!%!$!#
!# "
!%!# "
!# "
!% " !#
!$ "
!% " !$!#
!$ "
!%!$ " !#
Ejercicios 11. Dada la función 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 # 𝑦 " cos 𝑧 + 𝑥𝑦, encuentre las siguientes
derivadas parciales:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
!# "
!%!$!#
!# "
!%!# "
!# "
!% " !#
!$ "
!% " !$!#
!$ "
!%!$ " !#
Tema 2. Diferenciación de funciones de varias variables
Derivadas direccionales
Las derivadas parciales son el diferencial en la dirección de los ejes de coordenadas. Un
problema natural al calcular derivadas parciales es ver en que otras direcciones se puede
encontrar la diferencial de una función. La repuesta la encontramos con el estudio de las
derivadas direccionales.
17
Definición 6. Sean 𝐷 ⊂ ℝ# un abierto, 𝑓: 𝐷 → ℝ un campo escalar, 𝑣⃗ ∈ ℝ# un vector de
norma 1 (‖𝑣⃗‖ = 1) y (𝑥/ , 𝑦/ ) ∈ 𝐷. La derivada direccional del campo escalar 𝑓 en
dirección del vector 𝑣⃗ en el punto (𝑥/ . 𝑦/ ) es
𝑓W(𝑥/ , 𝑦/ ) + 𝑡𝑣⃗X − 𝑓(𝑥/ , 𝑦/ )
3→/
𝑡
𝐷CD⃗ 𝑓(𝑥/ , 𝑦/ ) = lim
siempre que el límite exista.
La definición de 𝐷CD⃗ 𝑓(𝑥/ , 𝑦/ ) mide la variación de 𝑓 en la dirección del vector 𝑣⃗ en el
punto (𝑥/ , 𝑦/ ).
No vamos a presentar un ejemplo de cómo calcular una derivada direccional ahora, pues
presentaremos una fórmula que nos permite encontrar derivadas direccionales con una
fórmula muy simple. Para ello necesitamos de la definición del vector gradiente de una
función. El vector gradiente posee mucha información de la función y tiene muchas
aplicaciones, desde hallar una derivada direccional a encontrar el vector de máximo
crecimiento para una función y mucho más.
Concepto de Gradiente.
Caso 𝑛 = 2.
Definición 7. Sea 𝐷 ⊂ ℝ# un abierto y supongamos que 𝑓: 𝐷 → ℝ, una función y (𝑥/ , 𝑦/ ) ∈
𝐷. El gradiente de 𝑓 en (𝑥/ , 𝑦/ ) es
𝛻𝑓(𝑥/ , 𝑦/ ) = <
𝜕𝑓
(𝑥 , 𝑦 ),
𝜕𝑥 / /
𝜕𝑓
(𝑥 , 𝑦 )C,
𝜕𝑦 / /
en caso de que las derivadas parciales existan.
El símbolo 𝛻 que aparece en el gradiente se llama nabla.
Ejemplo 14. Queremos encontrar el gradiente de la función
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 # 𝑦 + 𝑥 # + 2𝑦 "
En el punto (𝑥/ , 𝑦/ ) = (2, 3)
Primero encontramos el gradiente de 𝑓, y luego evaluamos en el punto (2, 3).
𝜕𝑓
𝜕 #
[𝑥 𝑦 + 𝑥 # + 2𝑦 " ] = 2𝑥𝑦 + 2𝑥
=
𝜕𝑥 𝜕𝑥
𝜕𝑓
𝜕 #
[𝑥 𝑦 + 𝑥 # + 2𝑦 " ] = 𝑥 # + 6𝑦 #
=
𝜕𝑦 𝜕𝑦
Así que el gradiente es
𝜕𝑓 𝜕𝑦
𝛻𝑓(𝑥, 𝑦) = < , C = (2𝑥𝑦 + 2𝑥, 𝑥 # + 6𝑦 # )
𝜕𝑥 𝜕𝑦
18
Solo falta evaluar el gradiente en el punto (2, 3), para esto reemplazamos los valores
𝑥 = 2, 𝑦 = 3:
𝛻𝑓(2, 3) = (2(2)3 + 2(2), (2)# + 6(3)# ) = (20, 58).
Ejercicio 12. Encuentre el gradiente de la función dada en el punto indicado:
(a)
(b)
(c)
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 # 𝑦 " + 2𝑥𝑦 " , en el punto (1, −1),
𝑓(𝑥, 𝑦) = cos 𝑥 + sen 𝑦, en el punto (0, 0),
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 # sen 𝑦, en el punto (2, 𝜋),
(d)
𝑓(𝑥, 𝑦) = cos 𝑥 sen 𝑦 , en el punto O0, # P
(e)
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 # 𝑦 " +
-
.&
(
, en el punto (1, −1).
Con esta definición, nos permite obtener una fórmula para encontrar la derivada
direccional.
Teorema. Sean 𝐷 ⊂ ℝ# un abierto, (𝑥/ , 𝑦/ ) ∈ 𝐷
diferenciable en (𝑥/ , 𝑦/ ) entones
45
(a) Existe las derivadas parciales 4& (𝑥/ , 𝑦/ ) y
45
4(
y
𝑓: 𝐷 → ℝ una función. Si 𝑓 es
(𝑥/ , 𝑦/ ).
(b) La derivada direccional, 𝐷CD⃗ 𝑓(𝑥/ , 𝑦/ ), existe para todo 𝑣⃗ ∈ ℝ# de norma uno y
𝐷CD⃗ 𝑓(𝑥/ , 𝑦/ ) = ⟨𝛻𝑓(𝑥/ , 𝑦/ ), 𝑣⃗⟩.
Ejemplo 1.15. Sea 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑥 # 𝑦 + 𝑦 # , encuentre la derivada de 𝑓 en la dirección del
vector 𝑣⃗ = (2,3) en el punto 𝐴(−1, 2).
Paso1. Primero vamos a verificar si el vector 𝑣⃗ es de norma 1.
‖𝑣⃗‖ = 12# + 3# = √25 = 5
El vector 𝑣⃗ no tiene norma 1. Vamos a buscar un vector 𝑢
S⃗ de norma 1con la misma
dirección y sentido que el vector 𝑣⃗
𝑢
S⃗ =
𝑣⃗
(2,3) 1
=
= (2,3) (𝑢
S⃗ 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎 1)
‖𝑣⃗‖
5
5
Paso 2. Vamos a encontrar el vector gradiente de 𝑓
𝜕𝑓
𝜕
[2𝑥 # 𝑦 + 𝑦 # ] = 4𝑥𝑦
=
𝜕𝑥 𝜕𝑥
𝜕𝑓
𝜕
[2𝑥 # 𝑦 + 𝑦 # ] = 2𝑥 # + 2𝑦
=
𝜕𝑦 𝜕𝑦
Así que el gradiente de 𝑓 es
19
𝛻𝑓 = (4𝑥𝑦, 2𝑥 # + 2𝑦)
Que evaluada en el punto (−1, 2), obtenemos
𝛻𝑓(−1, 2) = W4(−1)2, 2(−1)# + 2(2)X = (−8, 6)
Así que el vector gradiente buscado es 𝛻𝑓(−1, 2) = (−8, 6).
Paso 3. Vamos a encontrar la derivada direccional 𝐷CD⃗ 𝑓(−1, 2), con la fórmula
1
1
𝐷CD⃗ 𝑓(−1, 2) = ⟨𝛻𝑓(−1, 2), 𝑢
S⃗⟩ = ⟨(−8, −6), (2,3)⟩ = 1(−8 − 2)# + (−6 − 3)#
5
5
1
1
= √100 + 81 = √181.
5
5
Así que la derivada de 𝑓 en la dirección del vector 𝑣⃗ = (2,3) en el punto 𝐴(−1, 2) es
1
𝐷CD⃗ 𝑓(−1, 2) = ⟨𝛻𝑓(−1, 2), 𝑢
S⃗⟩ = √181.
5
Ejercicio 13. Sea 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 " 𝑦 + 𝑥𝑦 + 2, encuentre la derivada de 𝑓 en la dirección del
vector 𝑣⃗ = (2,3) en el punto 𝐴(1, −2).
Ejercicio 14. Sea 𝑓(𝑥, 𝑦) = 4𝑥𝑦 # + 5𝑥𝑦, encuentre la derivada de 𝑓 en la dirección del
vector 𝑣⃗ = (3, −1) en el punto 𝐴(−1, 4).
Ejercicio 15. Sea 𝑓(𝑥, 𝑦) = ycos 𝑥, encuentre la derivada de 𝑓 en la dirección del vector
𝑣⃗ = (2,3) en el punto 𝐴(0, 𝜋).
Caso 𝑛 = 3. Vamos a definir la derivada parcial para funciones de ℝ" en ℝ, y también
definiremos el vector gradiente para estas funciones, para dar una fórmula que nos
permita encontrar la derivada direccional sin usar límite para este caso.
Definición 8. Sean 𝐷 ⊂ ℝ" un abierto, 𝑓: → ℝ un campo escalar. La derivada parcial de
𝑓 con respecto a 𝑥 en el punto (𝑥/ , 𝑦/ , 𝑧/ ) ∈ 𝐷 se define por
𝜕𝑓
𝑓W(𝑥/ , 𝑦/ , 𝑧/ ) + (𝑡, 0,0)X − 𝑓(𝑥/ , 𝑦/ , 𝑧/ )
(𝑥/ , 𝑦/ , 𝑧/ ) = lim
3→/
𝜕𝑥
𝑡
𝑓(𝑥/ + 𝑡, 𝑦/ , 𝑧/ ) − 𝑓(𝑥/ , 𝑦/ , 𝑧/ )
3→/
𝑡
= lim
Siempre que el límite exista.
La derivada parcial de 𝑓 con respecto a 𝑦 en el punto (𝑥/ , 𝑦/ , 𝑧/ ) ∈ 𝐷 se define por
𝜕𝑓
𝑓W(𝑥/ , 𝑦/ , 𝑧/ ) + (0, 𝑡, 0)X − 𝑓(𝑥/ , 𝑦/ , 𝑧/ )
(𝑥/ , 𝑦/ , 𝑧/ ) = lim
3→/
𝜕𝑦
𝑡
20
𝑓(𝑥/ , 𝑦/ + 𝑡, 𝑧/ ) − 𝑓(𝑥/ , 𝑦/ , 𝑧/ )
3→/
𝑡
= lim
Siempre que el límite exista.
La derivada parcial de 𝑓 con respecto a 𝑧 en el punto (𝑥/ , 𝑦/ , 𝑧/ ) ∈ 𝐷 se define por
𝜕𝑓
𝑓W(𝑥/ , 𝑦/ , 𝑧/ ) + (0,0, 𝑡)X − 𝑓(𝑥/ , 𝑦/ , 𝑧/ )
(𝑥/ , 𝑦/ , 𝑧/ ) = lim
3→/
𝜕𝑧
𝑡
𝑓(𝑥/ , 𝑦/ , 𝑧/ + 𝑡) − 𝑓(𝑥/ , 𝑦/ , 𝑧/ )
3→/
𝑡
= lim
Siempre que el límite exista.
Ejemplo 16. Sea 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 # + 𝑦 " + 𝑧 . + 𝑥𝑦𝑧, encontraremos las derivadas de primer
orden:
𝜕𝑓
𝜕 #
[𝑥 + 𝑦 " + 𝑧 . + 𝑥𝑦𝑧] = 2𝑥 + 0 + 0 + 𝑦𝑧 = 2𝑥 + 𝑦𝑧,
=
𝜕𝑥 𝜕𝑥
𝜕𝑓
𝜕 #
[𝑥 + 𝑦 " + 𝑧 . + 𝑥𝑦𝑧] = 0 + 3𝑦 # + 0 + 𝑥𝑧 = 3𝑦 # + 𝑥𝑧,
=
𝜕𝑦 𝜕𝑦
𝜕𝑓
𝜕 #
[𝑥 + 𝑦 " + 𝑧 . + 𝑥𝑦𝑧] = 0 + 0 + 4𝑧 " + 𝑥𝑦.
=
𝜕𝑧 𝜕𝑧
Encontremos algunas derivas de segundo orden y mixtas:
𝜕#𝑓
𝜕
[2𝑥 + 𝑦𝑧] = 2,
=
#
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕#𝑓
𝜕
[2𝑥 + 𝑦𝑧] = 𝑧
=
𝜕𝑦𝜕𝑥 𝜕𝑦
𝜕#𝑓
𝜕
= [2𝑥 + 𝑦𝑧] = 𝑦
𝜕𝑧𝜕𝑥 𝜕𝑧
Encontremos algunas derivadas triples:
𝜕"𝑓
𝜕
[2] = 0,
=
#
𝜕𝑧𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕"𝑓
𝜕
= [𝑧] = 1,
𝜕𝑧𝜕𝑦𝜕𝑥 𝜕𝑧
𝜕"𝑓
𝜕
[𝑦] = 1.
=
𝜕𝑦𝜕𝑧𝜕𝑥 𝜕𝑦
Ejercicio 16. Si 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑦 # 𝑧 + 𝑥 # 𝑦 + 𝑥𝑦 " + cos 𝑧, encuentre las siguientes derivadas
parciales:
21
(a)
(b)
(c)
(d)
!! "
!#!$!%
!" "
!#!$!% #
!# "
!#!$ # !%
!" "
!# # !$!%
Vector gradiente. Sean 𝐷 ⊂ ℝ" un abierto, 𝑓: → ℝ un campo escalar. Supongamos que
todas las derivadas parciales existen. Definimos el vector gradiente de 𝑓 en el punto
(𝑥/ , 𝑦/ , 𝑧/ ) ∈ 𝐷 por
𝛻𝑓(𝑥/ , 𝑦/ , 𝑧/ ) = ‰
𝜕𝑓(𝑥/ , 𝑦/ , 𝑧/ ) 𝜕𝑓(𝑥/ , 𝑦/ , 𝑧/ ) 𝜕𝑓(𝑥/ , 𝑦/ , 𝑧/ )
𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝜕𝑓
,
,
Š = < , , C‹
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 (&
' ,(' ,)' )
Ejemplo 17. Si queremos encontrar vector gradiente de 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 " 𝑦 . 𝑧 # en el punto
(123),
𝛻𝑓(1,2,3) = <
𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝜕𝑓
, , C‹
= (3𝑥 # 𝑦 . 𝑧 # , 𝑥 " 4𝑦 " 𝑧 # , 𝑥 " 𝑦 . 2𝑧)|($,#,")
𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 ($,#,")
= (3(1)# (2). (3)# , (1)" 4(2)" (3)# , (1)" (2). 2(3)) = (432, 288, 96)
Podemos usar la notación matricial
𝜕𝑓
⎛𝜕𝑥⎞’
3𝑥 # 𝑦 . 𝑧 #
1
432
𝜕𝑓
"
" #
⎜
⎟
𝛻𝑓 \2^ = ⎜ ⎟
= f𝑥 4𝑦 𝑧 g“
= \288^.
⎜𝜕𝑦⎟’
$
" .
3
96
𝑥 𝑦 2𝑧 G#H
𝜕𝑓
"
⎝ 𝜕𝑧 ⎠ G$#H
"
Ejercicio 17. Encuentre el gradiente de las siguientes funciones en los puntos indicados:
(a)
(b)
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2𝑥 # + 3𝑥𝑦 # + 5𝑥𝑦 # 𝑧 " , en el punto (−1, 2, −2),
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2𝑥𝑦 # + 5𝑥𝑧 " + 𝑦𝑧, en el punto (0, 2, −1),
(c)
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 sen(𝑦𝑧) , en el punto O−1, # , 𝜋P,
$
(d)
(e)
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 ln(𝑦𝑧) , en el punto (−2, 𝑒, 𝑒). Recuerde que ln(𝑒 # ) = 2 ln 𝑒 = 2,
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦 # + 𝑦𝑒 ) , en el punto (2,4, 0),
(f)
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
&'$
()
$ $
, en el punto O1, # , .P.
22
Derivada direccional en ℝ𝟑
Como una aplicación del vector gradiente estudiemos la derivada direccional para
funciones 𝑓: ℝ" → ℝ. La derivada direccional, que se puede definir de igual manera que
en caso bidimensional, se pude calcular con la fórmula que presentamos en el siguiente
teorema.
Teorema. Sea 𝐷 ⊂ ℝ" un abierto y 𝑓: 𝐷 → ℝ una función. Si 𝑓 es diferenciable en
(𝑥/ , 𝑦/ , 𝑧/ ) entonces
45
(a) Existen las derivadas parciales 4& (𝑥/ , 𝑦/ , 𝑧/ ),
45
4(
(𝑥/ , 𝑦/ , 𝑧/ ) y
45
4)
(𝑥/ , 𝑦/ , 𝑧/ ).
(b) Existe la derivada direccional, 𝐷CD⃗ 𝑓(𝑥/ , 𝑦/ , 𝑧/ ), para todo 𝑣⃗ ∈ ℝ" de norma uno
(‖𝑣⃗‖ = 1) y
𝐷CD⃗ 𝑓(𝑥/ , 𝑦/ , 𝑧/ ) = ⟨∇f(x/ , y/ , z/ ), 𝑣⃗⟩.
Ejemplo 18. Dada la función 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 # 𝑦 + 𝑦𝑧 # + 𝑦 # 𝑧. Encuentre la derivada
direccional de 𝑓 , en la dirección del vector 𝑣⃗ = (2, 0, 4) en el punto 𝐴(2,5, 7).
Paso1. Encontrar la norma de 𝑣⃗ :
‖𝑣⃗‖ = ‖(2, 0, 4)‖12# + 0 + 4# = √25 = 5
Un vector de norma 1 con la misma dirección y sentido que el vector 𝑣⃗ es
𝑢
S⃗ =
1
1
𝑣⃗ = (2, 0, 4).
‖𝑣⃗‖
5
Paso 2. Encontrar el vector gradiente de 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 # 𝑦 + 𝑦𝑧 # + 𝑦 # 𝑧
en el punto 𝐴(2,5, 7).
𝛻𝑓 = <
y lo evaluamos
𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝜕𝑓
, , C = (2𝑥𝑦, 𝑥 # + 𝑧 # + 2𝑦𝑧, 2𝑦𝑧 + 𝑦 # ),
𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧
Evaluamos en el punto 𝐴(2,5, 7)
𝛻𝑓(2, 5, 7) = (2𝑥𝑦, 𝑥 # + 𝑧 # + 2𝑦𝑧, 2𝑦𝑧 + 𝑦 # ) = (2(2)5, 2# + 7# + 2(5) , 2(5)7 + 5# ).
Así que
𝛻𝑓(2, 5, 7) = (20, 63, 95 )
$
$
Paso 3. Encontremos la derivada direccional, 𝑢
S⃗ = ‖CD⃗‖ 𝑣⃗ = A (2, 0, 4),
𝐷CD⃗ 𝑓(2, 5, 7) = ⟨∇f(2, 5, 7), 𝑢
S⃗⟩ =
1
1
⟨(20, 63, 95 ), (2, 0, 4)⟩ = (40 + 0 + 380) .
5
5
Así que la solución es
1
𝐷CD⃗ 𝑓(2, 5, 7) = (420) = 84.
5
23
Ejercicio 18. En los siguientes ejercicios encuentre la derivada direccional de la función
𝑓, en dirección del vector 𝑣⃗ en el punto 𝐴, en cada caso:
(a) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 # 𝑦 # 𝑧 + 𝑧 # en dirección 𝑣⃗ = (0, −2, 4) en el punto 𝐴(1, 1, 3),
(b) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 # 𝑦 # + 𝑦𝑧 + 𝑥 en dirección 𝑣⃗ = (1, −2, 1) en el punto 𝐴(2, 1, 5),
-
(c)
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 # 𝑦 # cos 𝑧 en dirección 𝑣⃗ = (3, 2, 4) en el punto 𝐴 O1, 1, # P,
(d)
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 # cos 𝑦𝑧 en dirección 𝑣⃗ = (1, 4, 2) en el punto 𝐴 O5, 1, # P,
(e)
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = sen(𝑥𝑦𝑧) en dirección 𝑣⃗ = (3, 2, 1) en el punto 𝐴 O1, 1, # P.
-
-
Dirección de máximo crecimiento
De la definición de derivada direccional podemos deducir que 𝐷CD⃗ 𝑓(𝑥/ , 𝑦/ , 𝑧/ ) mide el
crecimiento de 𝑓 en el punto (𝑥/ , 𝑦/ , 𝑧/ )en la dirección del vector 𝑣⃗.
Teorema. Sea 𝑓: ℝ" → ℝ diferenciable en (𝑥/ , 𝑦/ , 𝑧/ ). Si
𝛻𝑓(𝑥/ , 𝑦/ , 𝑧/ ) ≠ 0 entonces
)
𝛻𝑓(𝑥/ , 𝑦/ , 𝑧/ es un vector que apunta en la dirección de máximo crecimiento de 𝑓.
Condición suficiente de diferenciabilidad
Teorema. Sean 𝐷 ⊂ ℝ" un abierto, 𝑓: 𝐷 → ℝ una función y W𝑥/ , 𝑦/, 𝑧/ X ∈ 𝐷. Si todas las
derivadas parciales de 𝑓 existen y son continuas en un entorno de W𝑥/ , 𝑦/, 𝑧/ X, entonces
𝑓 es diferenciable en W𝑥/ , 𝑦/, 𝑧/ X.
Ejemplo 19. Con este teorema podemos deducir que todos los polinomios son
diferenciables en todo punto, por ejemplo si 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 # + 𝑥𝑦 + 𝑦 # + 𝑧 # sus derivadas
parciales de primer orden son
𝜕𝑓
= 2𝑥 + 𝑦,
𝜕𝑥
𝜕𝑓
= 𝑥 + 2𝑦,
𝜕𝑦
𝜕𝑓
= 2𝑧.
𝜕𝑧
Las derivadas parciales son continuas en todo punto y por el teorema tenemos que 𝑓 es
diferenciable en todo ℝ" .
Regla de la cadena
La regla de la cadena que conocemos en una variable se extiende a varias variables,
iniciamos con la regla de la cadena para la composición de un campo escalar con una
trayectoria (Una trayectoria es una función 𝛼: (𝑎, 𝑏) → ℝ! continua).
24
Teorema (Regla de la cadena). Sean 𝐷 ⊂ ℝ! un abierto y 𝑓: 𝐷 → ℝ una función. Sea
𝛼: (𝑎, 𝑏) → ℝ! una función y sea 𝑡 ∈ (𝑎, 𝑏) tal que 𝛼(𝑡) ∈ 𝐷. Supongamos que :
(a) 𝛼 es diferenciable en 𝑡.
(b) 𝑓 es diferenciable en 𝛼(𝑡).
Entonces 𝑓 ∘ 𝛼 es diferenciable en 𝑡 y se tiene
(𝑓 ∘ 𝛼 )0 (𝑡) = ⟨𝛻𝑓W𝛼(𝑡)X, 𝛼′(𝑡)⟩.
Esta regla de derivación es muy importante, así que debemos adquirir destreza operativa.
Caso1. Sea 𝑓: ℝ" → ℝ y 𝛼: ℝ → ℝ" . La función 𝛼 está dada por tres funciones
coordenadas 𝛼(𝑡) = (𝛼$ (𝑡), 𝛼# (𝑡), 𝛼" (𝑡)) donde 𝛼% : ℝ → ℝ, 𝑖 = 1, 2, 3 .
(𝑓 ∘ 𝛼)0 (𝑡) = ⟨𝛻𝑓W𝛼(𝑡)X, 𝛼 0 (𝑡)⟩
𝜕𝑓
= ⟨\ (𝛼(𝑡)),
𝜕𝑥
=
𝜕𝑓
(𝛼(𝑡)),
𝜕𝑦
𝜕𝑓
(𝛼(𝑡))^ , (𝛼$0 (𝑡), 𝛼#0 (𝑡), 𝛼" (𝑡) )⟩
𝜕𝑧
𝜕𝑓
𝜕𝑓
𝜕𝑓
(𝛼(𝑡))𝛼$0 (𝑡) +
(𝛼(𝑡))𝛼#0 (𝑡) +
(𝛼(𝑡))𝛼"0 (𝑡).
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
Ejemplo 20. Sea 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 # 𝑦 " 𝑧 . y sea 𝛼(𝑡) = (2𝑡, 3𝑡, 𝑡 # ), 0 ≤ 𝑡 ≤ 1. Encuentre la
derivada de 𝑓 ∘ 𝛼.
Vamos hacer los cálculos en detalle, como 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 # 𝑦 " 𝑧 . y 𝛼(𝑡) = (2𝑡, 3𝑡, 𝑡 # ),
𝜕𝑓
𝜕 # " .
𝜕𝑓
𝜕𝑓
(𝑥 𝑦 𝑧 ) = 2𝑥𝑦 " 𝑧 . ⇒
(2𝑡, 3𝑡, 𝑡 # ) = 2(2𝑡)(3𝑡)" (𝑡 # ). = 108𝑡 $# ,
=
W𝛼(𝑡)X =
𝜕𝑥 𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑓
𝜕 # " .
𝜕𝑓
𝜕𝑓
(𝑥 𝑦 𝑧 ) = 𝑥 # 3𝑦 # 𝑧 . ⇒
(2𝑡, 3𝑡, 𝑡 # ) = (2𝑡)# 3(3𝑡)# (𝑡 # ). = 108𝑡 $# ,
=
W𝛼(𝑡)X =
𝜕𝑦 𝜕𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝑓
𝜕 # " .
𝜕𝑓
𝜕𝑓
(𝑥 𝑦 𝑧 ) = 𝑥 # 𝑦 " 4𝑧 " ⇒
(2𝑡, 3𝑡, 𝑡 # ) = (2𝑡)# (3𝑡)" 4(𝑡 # )" = 432𝑡 $$ ,
=
W𝛼(𝑡)X =
𝜕𝑧 𝜕𝑧
𝜕𝑧
𝜕𝑥
𝛼$ (𝑡) = 2𝑡 ⇒ 𝛼$0 (𝑡) = 2,
𝛼# (𝑡) = 3𝑡 ⇒ 𝛼#0 (𝑡) = 3,
𝛼" (𝑡) = 𝑡 # ⇒ 𝛼"0 (𝑡) = 2𝑡,
Sabemos que
(𝑓 ∘ 𝛼)0 (𝑡) =
𝜕𝑓
𝜕𝑓
𝜕𝑓
(𝛼(𝑡))𝛼$0 (𝑡) +
(𝛼(𝑡))𝛼#0 (𝑡) +
(𝛼(𝑡))𝛼"0 (𝑡).
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
(𝑓 ∘ 𝛼)0 (𝑡) = 108𝑡 $# 2 + 108𝑡 $# 3 + 432𝑡 $$ 2𝑡.
⇒ (𝑓 ∘ 𝛼)0 (𝑡) = 216𝑡 $# + 324𝑡 $# + 864𝑡 $# ⇒ (𝑓 ∘ 𝛼)0 (𝑡) = 1404𝑡 $#
25
Usualmente se usa la siguiente notación: 𝑤 = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧), donde 𝑥(𝑡) = 𝛼$ (𝑡),
y
𝑧 = 𝛼" (𝑡). Quedando la fórmula de la derivada de forma más simple
𝑦 = 𝛼# (𝑡)
𝑑𝑤 𝜕𝑤 𝑑𝑥 𝜕𝑤 𝑑𝑦 𝜕𝑤 𝑑𝑧
=
+
+
𝑑𝑡
𝜕𝑥 𝑑𝑡 𝜕𝑦 𝑑𝑡 𝜕𝑧 𝑑𝑡
El ejemplo anterior con esta nueva notación, queda
Sea 𝑤 = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 # 𝑦 " 𝑧 . y sea 𝑥(𝑡) = 2𝑡, 𝑦(𝑡) = 3𝑡, 𝑧(𝑡) = 𝑡 # , con 0 ≤ 𝑡 ≤ 1.
𝑑𝑤 𝜕(𝑥 # 𝑦 " 𝑧 . ) 𝑑(2𝑡) 𝜕(𝑥 # 𝑦 " 𝑧 . ) 𝑑(3𝑡) 𝜕(𝑥 # 𝑦 " 𝑧 . ) 𝑑(𝑡 # )
=
+
+
𝑑𝑡
𝜕𝑥
𝑑𝑡
𝜕𝑦
𝑑𝑡
𝜕𝑧
𝑑𝑡
⇒
𝑑𝑤
= (2𝑥𝑦 " 𝑧 . )(2) + (𝑥 # 3𝑦 # 𝑧 . )(3) + (𝑥 # 𝑦 " 4𝑧 " )(2𝑡)
𝑑𝑡
Ahora reemplazamos 𝑥 = 2𝑡, 𝑦 = 3𝑡, 𝑧 = 𝑡 #
𝑑𝑤
= (2(2𝑡)(3𝑡)" (𝑡 # ). )(2) + ((2𝑡)# 3(3𝑡)# (𝑡 # ). )(3) + ((2𝑡)# (3𝑡)" 4(𝑡 # )" )(2𝑡) = 1404𝑡 $#
𝑑𝑡
Así que
JK
J3
= 1404𝑡 $# .
Ejemplo 21. Sea 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 # 𝑦 + 𝑦 # 𝑧 y sea 𝑥 = 𝑡 # , 𝑦 = 3𝑡, 𝑧 = 𝑡 # ,
Encuentre
J5
J3
0 ≤ 𝑡 ≤ 1.
.
𝑑𝑓 𝜕𝑓 𝑑𝑥 𝜕𝑓 𝑑𝑦 𝜕𝑓 𝑑𝑧
=
+
+
𝑑𝑡 𝜕𝑥 𝑑𝑡 𝜕𝑦 𝑑𝑡 𝜕𝑧 𝑑𝑡
Reemplazamos, 𝑓 = 𝑥 # 𝑦 + 𝑦 # 𝑧 ,
𝑥 = 𝑡#,
𝑦 = 3𝑡,
𝑧 = 𝑡#:
𝑑𝑓 𝜕(𝑥 # 𝑦 + 𝑦 # 𝑧 ) 𝑑(𝑡 # ) 𝜕(𝑥 # 𝑦 + 𝑦 # 𝑧 ) 𝑑(3) 𝜕(𝑥 # 𝑦 + 𝑦 # 𝑧) 𝑑(𝑡 # )
=
+
+
𝑑𝑡
𝜕𝑥
𝑑𝑡
𝜕𝑦
𝑑𝑡
𝜕𝑧
𝑑𝑡
⇒
⇒
𝑑𝑓
= (2𝑥𝑦 )(2𝑡) + (𝑥 # + 2𝑦𝑧 )(3𝑦) + (𝑦 # )(2𝑡)
𝑑𝑡
𝑑𝑓
= (2(𝑡 # )(3𝑡) )(2𝑡) + ((𝑡 # )# + 2(3𝑡)(𝑡 # ) )(3) + ((𝑡 # )# )(2𝑡)
𝑑𝑡
⇒
𝑑𝑓
= 12𝑡 . + 3𝑡 . + 18𝑡 " + 2𝑡 A .
𝑑𝑡
Así que
𝑑𝑓
= 2𝑡 A + 15𝑡 . + 18𝑡 " .
𝑑𝑡
Ejercicio 19. Encuentre
(a)
(b)
J5
J3
en cada uno de los siguientes casos:
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦𝑧, con 𝑥 = 2𝑡 + 1, 𝑦 = 3𝑡, 𝑧 = 1 − 𝑡, 1 ≤ 𝑡 ≤ 4,
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2𝑥 + 3𝑦 + 4𝑧, con 𝑥 = 3 − 2𝑡, 𝑦 = 3𝑡 + 1, 𝑧 = 𝑡 + 1,
0 ≤ 𝑡 ≤ 5,
26
$
$
(c)
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = cos(𝑥𝑦𝑧) , con 𝑥 = 2𝑡 " , 𝑦 = 3 ,
(d)
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 11 − 𝑥 # − 𝑦 # , con 𝑥 = cos 𝑡, 𝑦 = sen 𝑡,
(e)
𝑓(𝑥, 𝑦) =
(f)
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 11 − 𝑥 # − 𝑦 # , con 𝑥 = cos 𝑡, 𝑦 = sen 𝑡,
$
+& ! '( !
𝑧 = 3,
1 ≤ 𝑡 ≤ 4,
-
𝑧 = 𝑡,
0 ≤ 𝑡 ≤ #,
-
, con 𝑥 = cos 𝑡, 𝑦 = sen 𝑡,
0 ≤ 𝑡 ≤ #,
-
0 ≤ 𝑡 ≤ #,
(g) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 11 − 𝑥 # − 𝑦 # − 𝑧 # , con 𝑥 = t cos 𝑡, 𝑦 = t sen 𝑡,
(h)
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 1𝑥 # + 𝑦 # + 𝑧 # , con 𝑥 = cos 𝑡, 𝑦 = sen 𝑡,
(i)
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = ln(𝑥 # + 𝑦 # ) + 𝑧 # , con 𝑥 = cos 𝑡, 𝑦 = sen 𝑡,
(j)
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑒 &'(') , con 𝑥 = 3𝑡, 𝑦 = 𝑡 + 1,
𝑧 = 𝑡,
𝑧 = 𝑡,
𝑧 = 𝑡 − 2,
𝑧 = 𝑡,
-
0 ≤ 𝑡 ≤ #,
-
0 ≤ 𝑡 ≤ #,
-
0 ≤ 𝑡 ≤ #,
0 ≤ 𝑡 ≤ 1,
Caso 2. Si 𝑓: ℝ" → ℝ
y 𝑔: ℝ → ℝ" entonces 𝑓 ∘ 𝑔 ∶ ℝ# → ℝ. Vamos a calcular las
derivadas parciales de 𝑓 ∘ 𝑔:
Vamos a denotar las variables 𝑓 = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) y 𝑔 = 𝑔(𝑠, 𝑡) = (𝑔$ (𝑠, 𝑡), 𝑔# (𝑠, 𝑡), 𝑔" (𝑠, 𝑡)).
Observemos que (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑠, 𝑡) = 𝑓W𝑔(𝑠, 𝑡)X = 𝑓W𝑔$ (𝑠, 𝑡), 𝑔# (𝑠, 𝑡), 𝑔" (𝑠, 𝑡)X, es decir que las
variables de 𝑓 ∘ 𝑔 son (𝑠, 𝑡) y también 𝑥 = 𝑔$ (𝑠, 𝑡),
𝑦 = 𝑔# (𝑠, 𝑡),
𝑧 = 𝑔" (𝑠, 𝑡):
𝜕
𝜕𝑓 𝜕𝑥 𝜕𝑓 𝜕𝑦 𝜕𝑓 𝜕𝑧
(𝑓 ∘ 𝑔) =
+
+
𝜕𝑠
𝜕𝑥 𝜕𝑠 𝜕𝑦 𝜕𝑠 𝜕𝑧 𝜕𝑠
𝜕
𝜕𝑓 𝜕𝑥 𝜕𝑓 𝜕𝑦 𝜕𝑓 𝜕𝑧
(𝑓 ∘ 𝑔) =
+
+
.
𝜕𝑡
𝜕𝑥 𝜕𝑡 𝜕𝑦 𝜕𝑡 𝜕𝑧 𝜕𝑡
Ejemplo 22. Sea 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 " − 𝑦 "
45
43
con 𝑥 = 𝑠𝑡,
𝑦 = 𝑠 − 𝑡, y queremos hallar
45
[email protected]
y
.
Primero escribimos la fórmula que vamos a usar,
𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝜕𝑥 𝜕𝑓 𝜕𝑦
=
+
𝜕𝑠 𝜕𝑥 𝜕𝑠 𝜕𝑦 𝜕𝑠
Así que
𝜕𝑓 𝜕(𝑥 " − 𝑦 " ) 𝜕(𝑠𝑡) 𝜕(𝑥 " − 𝑦 " ) 𝜕(𝑠 − 𝑡)
=
+
𝜕𝑠
𝜕𝑥
𝜕𝑠
𝜕𝑦
𝜕𝑠
⇒
𝜕𝑓
𝜕𝑓
= (3𝑥 # )(𝑡) + (−3𝑦 # )(1) ⇒
= (3(𝑠𝑡)# )𝑡 + (−3(𝑠 − 𝑡)# )(1)
𝜕𝑠
𝜕𝑠
Por lo tanto
𝜕𝑓
= 3𝑠 # 𝑡 " − 3(𝑠 − 𝑡)# .
𝜕𝑠
27
Ahora vamos a encontrar la derivada parcial de 𝑓 con respecto a 𝑡,
iniciamos escribiendo la fórmula que vamos a usar,
45
43
. Como siempre,
𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝜕𝑥 𝜕𝑓 𝜕𝑦
=
+
𝜕𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑡 𝜕𝑦 𝜕𝑡
Así que
𝜕𝑓 𝜕(𝑥 " − 𝑦 " ) 𝜕(𝑠𝑡) 𝜕(𝑥 " − 𝑦 " ) 𝜕(𝑠 − 𝑡)
=
+
𝜕𝑡
𝜕𝑥
𝜕𝑡
𝜕𝑦
𝜕𝑡
⇒
𝜕𝑓
𝜕𝑓
= (3𝑥 # )(𝑠) + (−3𝑦 # )(−1) ⇒
= (3(𝑠𝑡)# )𝑠 + (−3(𝑠 − 𝑡)# )(−1)
𝜕𝑠
𝜕𝑠
Por lo tanto
𝜕𝑓
= 3𝑠 " 𝑡 # + 3(𝑠 − 𝑡)# .
𝜕𝑠
Ejercicio 20. En los siguientes ejercicios encuentre las derivadas parciales
indicadas:
(a) Si 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦 # + 𝑥 # 𝑦, con 𝑥 = 𝑠𝑡, 𝑦 = 2𝑠 + 3𝑡, encuentre
45
[email protected]
(b) Si 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 # + 𝑦 # − 1, con 𝑥 = 𝑠 cos 𝑡, 𝑦 = 𝑠 sen 𝑡, encuentre
𝑦
45
[email protected]
(c) Si 𝑓(𝑥, 𝑦) = 1𝑥 # + 𝑦 # − 1, con 𝑥 = 𝑠 cos 𝑡, 𝑦 = 𝑠 sen 𝑡, encuentre
45
43
.
𝑦
45
[email protected]
45
43
𝑦
.
45
43
.
(d) Si 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 # + 𝑦 # + 𝑧 # − 1, con 𝑥 = 𝑠 cos 𝑡, 𝑦 = 𝑠 sen 𝑡, 𝑧 = 𝑡 encuentre
45
[email protected]
𝑦
45
43
.
(e) Si 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 # + 𝑦 # + 𝑧 # − 1, con 𝑥 = 𝑠 cos 𝑡, 𝑦 = 𝑠 sen 𝑡, 𝑧 = 𝑡 encuentre
45
[email protected]
𝑦
45
43
.
(f) Si 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 # + 𝑦 # + 𝑧 # , con 𝑥 = (cos 𝑠) sen 𝑡, 𝑦 = (sen 𝑠) sen 𝑡, 𝑧 = cos 𝑡
encuentre
45
[email protected]
𝑦
45
43
.
Plano tangente a una superficie.
Hemos estudiado dos tipos de superficies en la Unidad 2, las que están dadas con
un conjunto de nivel y como el gráfico de un campo escalar. Veremos como son los
planos tangentes a estas superficies.
En la unidad 2 estudiamos el plano en el espacio y vimos que la ecuación del plano
que pasa por el punto 𝑃/ (𝑥/ , 𝑦/ , 𝑧/ ) y normal al vector 𝑛S⃗ = (𝑎, 𝑏, 𝑐) es
𝑎(𝑥 − 𝑥/ ) + 𝑏(𝑦 − 𝑦/ ) + 𝑐(𝑧 − 𝑧/ ) = 0
Y la ecuación general del plano es
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑦 = 𝑑.
28
Caso superficie dada como una superficie de nivel 𝑭(𝒙, 𝒚, 𝒛) = 𝟎.
Sea 𝐹: ℝ" → ℝ una función tal que existen sus derivadas parciales y son
continuas. Sea
𝑆 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧): 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0}
El plano tangente a la superficie 𝑆 dada como conjunto de nivel, en el punto
(𝑥/ , 𝑦/ . 𝑧/ ) tiene ecuación:
𝜕𝐹
𝜕𝐹
𝜕𝐹
(𝑥/ , 𝑦/ . 𝑧/ ) + (𝑦 − 𝑦/ )
(𝑥/ , 𝑦/ . 𝑧/ ) + (𝑧 − 𝑧/ )
(𝑥 , 𝑦 . 𝑧 ) = 0
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧 / / /
Es decir que el vector normal al plano el gradiente de 𝐹 en (𝑥/ , 𝑦/ . 𝑧/ ) siempre
que no sea nulo, 𝛻𝐹(𝑥/ , 𝑦/ . 𝑧/ ) ≠ (0,0,0).
(𝑥 − 𝑥/ )
Ejemplo 24. Sea 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 # + 𝑦 # + 𝑧 # − 1 una función y queremos
encontrar el plano tangente a la superficie
𝑆 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧): 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0} = {(𝑥, 𝑦, 𝑧): 𝑥 # + 𝑦 # + 𝑧 # = 1}
$ $
en el punto O# , # ,
$
P.
√#
Lo primero que necesitamos son las derivadas parciales de 𝐹 y evaluarlo en el
$ $
punto O# , # ,
$
√#
P
𝜕𝐹 𝜕(𝑥 # + 𝑦 # + 𝑧 # − 1)
𝜕𝐹 1 1 1
1
=
= 2𝑥 ⇒
< , , C = 2< C = 1
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑥 2 2 √2
2
#
#
#
𝜕𝐹 𝜕(𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 1)
𝜕𝐹 1 1 1
1
=
= 2𝑥 ⇒
< , , C = 2< C = 1
𝜕𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝑦 2 2 √2
2
#
#
#
𝜕𝐹 𝜕(𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 1)
𝜕𝐹 1 1 1
1
2√2
=
= 2𝑥 ⇒
< , , C = 2< C =
# = √2
𝜕𝑧
𝜕𝑧
𝜕𝑧 2 2 √2
√2
W√2X
$ $
Así que el vector normal al plano es 𝑛S⃗ = W1,1, √2X , y como contiene al punto O# , # ,
plano tangente tiene ecuación
$
P el
√#
1
1
1
1 <𝑥 − C + 1 <𝑦 − C + √2 <𝑧 − C = 0
2
2
√2
Es decir
𝑥+𝑦+
1
1 1
1
1
1
𝑧− − −
=0⇒𝑥+𝑦+
=1−
2 2 √2
√2
√2
√2
Plano tangente a la superficie 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0, en el punto 𝑃!
29
Ejercicio 21. Para cada función 𝐹: ℝ" → ℝ dada, encuentre el plano tangente a la
superficie 𝑆 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧): 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0} en el punto indicado:
(a)
(b)
𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 # + 𝑦 # − 𝑧, en el punto (1, 1, 2),
𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 # + 𝑦 # − 𝑧 # , en el punto (4, 3, 5).
Caso superficie dada como un gráfico.
Sea 𝑓: ℝ# → ℝ una función tal que sus derivadas parciales existe y son continuas,
entonces el gráfico de 𝑓 define una superficie en ℝ" ,
𝐺𝑟𝑎𝑓(𝑓) = {(𝑥, 𝑦, 𝑧): 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦)}
La ecuación del plano tangente a la superficie 𝐺𝑟𝑎𝑓(𝑓) en el punto (𝑥/ , 𝑦/ , 𝑧/ ), con 𝑧/ =
𝑓(𝑥/ , 𝑦/ ), es
𝑧 = 𝑓(𝑥/ , 𝑦L ) + (𝑥 − 𝑥/ )
𝜕𝑓
𝜕𝑓
(𝑥/ , 𝑦/ ) + (𝑦 − 𝑦/ ) (𝑥/ , 𝑦/ ).
𝜕𝑥
𝜕𝑦
45
45
En este caso el vector normal al plano es 𝑛S⃗ = O4& (𝑥/ , 𝑦/ ), 4( (𝑥/ , 𝑦/ ), −1P.
Ejemplo 25. Queremos encontrar la ecuación del plano tangente a la superficie 𝑧 = 3𝑥 # +
2𝑦 # − 11, en el punto (2, 1, 3).
Siempre que resolvemos un problema, lo primero que debemos hacer es buscar la fórmula
que se utilizará (si es el caso).
La ecuación del plano es
𝑧 = 𝑓(𝑥/ , 𝑦L ) + (𝑥 − 𝑥/ )
𝜕𝑓
𝜕𝑓
(𝑥/ , 𝑦/ ) + (𝑦 − 𝑦/ ) (𝑥/ , 𝑦/ ).
𝜕𝑥
𝜕𝑦
Así que necesitamos las derivadas parciales de 𝑓(𝑥, 𝑦) = 3𝑥 # + 2𝑦 # − 11, y evaluar en
𝑥 = 2, 𝑦 = 1, 𝑧 = 3
𝜕𝑓 𝜕(3𝑥 # + 2𝑦 # − 11)
𝜕𝑓
=
= 6𝑥 ⇒
(2, 1) = 6(2) = 12
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑓 𝜕(3𝑥 # + 2𝑦 # − 11)
𝜕𝑓
=
= 4𝑦 ⇒
(2, 1) = 4(1) = 4
𝜕𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝑦
Así que reemplazando en la ecuación (𝑧 = 𝑓(1,2) = 3)
𝑧 = 𝑓(2,1) + (𝑥 − 2)
𝜕𝑓
𝜕𝑓
(2, 1) + (𝑦 − 1) (2,1).
𝜕𝑥
𝜕𝑦
Obtenemos
𝑧 = 3 + (𝑥 − 2)12 + (𝑦 − 1)4,
La ecuación del plano tangente a la superficie 𝑧 = 3𝑥 # + 2𝑦 # − 11, en el punto (2, 1, 3)
30
𝑧 = 3 + 12𝑥 − 24 − 4𝑦 − 4
ó
12𝑥 − 4𝑦 − 𝑧 = 25.
Ejercicio 22. Hallar la ecuación del plano tangente a la superficie dada en el punto
indicado:
(a) 𝑧 = 𝑥 # + 2𝑦 # + 1
(b) 𝑧 = 𝑥 # + 3𝑦 # − 4
(c) 𝑧 = 𝑥 # + 3𝑦 # − 4
(d) 𝑧 = 𝑥 " + 𝑥𝑦 − 𝑦 #
en
en
en
en
(2, −1, 6),
(1, 1,0),
(1, 1,0),
(2,3, 5),
Tema 3. Extremos de funciones de varias variables
Máximos y mínimos. Criterio del Hessiano en dos variables. Método de Multiplicadores de
Lagrange.
Máximos y mínimos locales.
Definición 9. Sea 𝐷 ⊂ ℝ# un abierto y 𝑓: 𝐷 → ℝ una función y 𝑥⃗/ ∈ 𝐷. Diremos que 𝑥⃗/ es
un punto crítico para 𝑓 cuando 𝛻𝑓(𝑥⃗/ ) = S⃗
0.
Ejemplo 26. Si queremos encontrar los puntos críticos de la función
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 # + 8𝑦 # − 𝑥 − 𝑦
Lo primero que haremos es encontrar el gradiente de 𝑓:
𝛻𝑓 = (2𝑥 − 1, 16𝑦 − 1)
Y resolvemos el sistema
1
𝑥=
2𝑥 − 1 = 0
2
¢
⇒£
16𝑦 − 1 = 0
1
𝑦=
16
$
$
El punto Crítico de 𝑓 es O# , $BP.
Ejercicio 23. Encuentre los puntos Críticos de las siguientes funciones:
(a)
(b)
(c)
𝑓(𝑥, 𝑦) = 3𝑥 " − 2𝑦 # − 𝑥 + 4𝑦
𝑓(𝑥, 𝑦) = 13𝑥 " − 2𝑦 # − 𝑥 + 4𝑦
𝑓(𝑥, 𝑦) = 3𝑥 # − 2𝑦 # − 𝑥𝑦 + 𝑥
Definición 10. Sea 𝐷 ⊂ ℝ# un abierto y 𝑓: 𝐷 → ℝ una función y 𝑥⃗/ ∈ 𝐷. Diremos que 𝑓
alcanza un máximo local en 𝑥⃗/ si existe un abierto 𝑉 ⊂ 𝐷 tal que 𝑥⃗/ ∈ 𝑉 y 𝑓(𝑥⃗/ ) ≥ 𝑓(𝑥⃗)
para todo 𝑥⃗ ∈ 𝑉.
31
Definición 11. Sea 𝐷 ⊂ ℝ# un abierto y 𝑓: 𝐷 → ℝ una función y 𝑥⃗/ ∈ 𝐷. Diremos que 𝑓
alcanza un mínimo local en 𝑥⃗/ si existe un abierto 𝑉 ⊂ 𝐷 tal que 𝑥⃗/ ∈ 𝑉 y 𝑓(𝑥⃗/ ) ≤ 𝑓(𝑥⃗)
para todo 𝑥⃗ ∈ 𝑉.
Proposición. Si 𝑓 es diferenciable en 𝑥⃗/ y 𝑓 alcanza un máximo o un mínimo local en 𝑥⃗/
S⃗.
entonces 𝛻𝑓(𝑥⃗/ ) = 0
Definición 12. Un punto crítico en el que 𝑓 no alcanza ni máximo ni mínimo se llama punto
de ensilladura para 𝑓.
Hasta ahora sólo sabemos dónde están los posibles máximos o mínimos, necesitamos de
un criterio que me permita clasificar los puntos críticos. Usaremos en el caso de dos
variables el criterio del Hessiano para este fin. Daremos la definición de matriz hessiana
y luego presentaremos el criterio.
Consideremos la matriz
𝐴(&,() = ¥
𝑓&& (𝑥, 𝑦)
𝑓&( (𝑥, 𝑦)
𝑓&( (𝑥, 𝑦)
¦
𝑓(( (𝑥, 𝑦)
Y su determinante
#
𝛥(𝑥, 𝑦) = det 𝐴(&,() = 𝑓&& (𝑥, 𝑦)𝑓(( (𝑥, 𝑦) − O𝑓&( (𝑥, 𝑦)P .
Teorema. (criterio del hessiano). Sea 𝐷 ⊂ ℝ# un abierto y 𝑓: 𝐷 → ℝ una función de clase
𝐶 # . Sea (𝑥/ , 𝑦/ ) ∈ 𝐷 un punto crítico de 𝑓 y sea
#
𝛥(𝑥/ , 𝑦/ ) = 𝑓&& (𝑥/ , 𝑦/ )𝑓(( (𝑥/ , 𝑦/ ) − O𝑓&( (𝑥/ , 𝑦/ )P .
a)
b)
c)
d)
Si 𝑓&& (𝑥/ , 𝑦/ ) > 0 y 𝛥(𝑥/ , 𝑦/ ) > 0 entonces en (𝑥/ , 𝑦/ ) se alcanza un mínimo.
Si 𝑓&& (𝑥/ , 𝑦/ ) < 0 y 𝛥(𝑥/ , 𝑦/ ) > 0 entonces en (𝑥/ , 𝑦/ ) se alcanza un máximo.
Si 𝛥(𝑥/ , 𝑦/ ) < 0 entonces en (𝑥/ , 𝑦/ ) es un punto de ensilladura.
Si 𝛥(𝑥/ , 𝑦/ ) > 0 el criterio no da información.
Ejemplo 27. Sea
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 # + 𝑦 #
Buscamos su gradiente
𝛻𝑓(𝑥, 𝑦) = (2𝑥, 2𝑦)
Buscamos los punto crítico de 𝑓
𝛻𝑓(𝑥, 𝑦) = (0,0) ⇒ (2𝑥, 2𝑦) = (0,0) ⇒ 𝑥 = 0, 𝑦 = 0
Así que el punto crítico es (0,0).
32
Buscamos las derivadas de segundo orden de 𝑓 y las evaluamos en (0,0)
𝜕#𝑓
(0.0) = 2,
𝜕𝑥 #
𝜕#𝑓
(0.0) = 2,
𝜕𝑦 #
𝜕#𝑓
(0.0) = 0.
𝜕𝑥𝜕𝑦
Reemplazando en la fórmula
#
𝛥(0,0) = 𝑓&& (0, 0)𝑓(( (0,0) − O𝑓&( (0,0)P ⇒ 2(2) − 0 = 4 > 0.
Como estamos en la condición:
•
𝑓&& (0, 0) > 0 y 𝛥(0,0) > 0 entonces 𝑓 en (0,0) se alcanza un mínimo.
Ejemplo 28. Estudiemos la función
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦.
Tenemos que el gradiente es
𝛻𝑓(𝑥, 𝑦) = (2𝑥, 2𝑦)
Así que 𝛻𝑓(𝑥, 𝑦) = (0, 0) si (2𝑥, 2𝑦) = (0,0), es decir 𝑥 = 0, 𝑦 = 0. El punto crítico es
(0, 0). Encontraremos y evaluaremos las derivadas de segundo orden en (0,0):
𝜕#𝑓
(0.0) = 0,
𝜕𝑥 #
𝜕#𝑓
(0.0) = 0,
𝜕𝑦 #
𝜕#𝑓
(0.0) = 0.
𝜕𝑥𝜕𝑦
Reemplazando en la fórmula
#
𝛥(0,0) = 𝑓&& (0, 0)𝑓(( (0,0) − O𝑓&( (0,0)P ⇒ 0 − 1 = −1 < 0.
•
𝛥(0,0) < 0 entonces 𝑓 en (0,0) tiene un punto de Silla.
Ejemplo 29. Estudiemos la función
𝑓(𝑥, 𝑦) = 1 − 𝑦 # .
Buscamos su gradiente
33
𝛻𝑓(𝑥, 𝑦) = (0, −2𝑦)
Buscamos los punto crítico de 𝑓
𝛻𝑓(𝑥, 𝑦) = (0,0) ⇒ (0, 2𝑦) = (0,0) ⇒ 𝑦 = 0.
Para cualquier valor de 𝑦. Así que los puntos críticos son de la forma (𝑥, .0).
Buscamos las derivadas de segundo orden de 𝑓 y las evaluamos en (𝑥, 0)
𝜕#𝑓
(𝑥, 0) = 0,
𝜕𝑥 #
𝜕#𝑓
(𝑥. 0) = −2,
𝜕𝑦 #
𝜕#𝑓
(𝑥. 0) = 0.
𝜕𝑥𝜕𝑦
Reemplazando en la fórmula y obtenemos 𝛥(𝑥, 0) = 0, el criterio no es aplicable.
Hay que hacer un estudio directo de la función.
Ejemplo 30. Consideremos la función
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 " − 3𝑥𝑦 #
Buscamos su gradiente
𝛻𝑓(𝑥, 𝑦) = (3𝑥 # − 3𝑦 # , −6𝑥𝑦).
Buscamos los punto crítico de 𝑓
𝛻𝑓(𝑥, 𝑦) = (0,0) ⇒ (3𝑥 # − 3𝑥𝑦 # , −6𝑥𝑦) = (0,0)
¢
3𝑥 # − 3𝑦 # = 0
⇒ 𝑥 = 0, 𝑦 = 0
−6𝑥𝑦 = 0
Así que el punto crítico es (0, 0).
Buscamos las derivadas parciales de segundo orden
𝜕#𝑓
𝜕#𝑓
(𝑥,
(0,0) = 0,
𝑦)
=
6𝑥
⇒
𝜕𝑥 #
𝜕𝑥 #
𝜕#𝑓
𝜕#𝑓
(𝑥,
(0,0) = 0,
𝑦)
=
−6𝑥
⇒
𝜕𝑦 #
𝜕𝑦 #
𝜕#𝑓
𝜕#𝑓
(𝑥, 𝑦) = −6𝑦 ⇒
(0,0) = 0.
𝜕𝑥𝜕𝑦
𝜕𝑥𝜕𝑦
El criterio del hessiano no da información en este caso. Estudiamos la función
directamente y vemos que 𝑓 posee un punto de ensilladura en (0,0).
34
Ejercicio 24. Hallar los puntos críticos de las superficies y clasificar estos puntos, que
tienen las siguientes ecuaciones cartesianas:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
𝑧 = 𝑥 # + (𝑦 − 1)# ,
𝑧 = 𝑥 " − 3𝑥𝑦 # + 𝑦 " ,
𝑧 = 𝑥 # + (𝑦 − 1)# ,
𝑧 = 𝑥 # − (𝑦 − 1)# ,
𝑧 = 𝑥# − 𝑦#,
𝑧 = 𝑥 # − 𝑥𝑦 + 𝑦 # ,
Método de los Multiplicadores de Lagrange
Este método es para encontrar los puntos máximos o mínimos cuando se encuentra en la
frontera de la superficie. Estos problemas los encontramos cuando queremos hallar los
máximos y mínimos de 𝑓(𝑥, 𝑦) sujeta a la restricción 𝑔(𝑥, 𝑦) = 0.
Supongamos que 𝑔(𝑥, 𝑦) = 0 define una curva 𝐶 en el plano y que alcanza un máximo o
un mínimo en (𝑥/ , 𝑦/ ) ∈ 𝐶.
Sea 𝛼: [𝑎, 𝑏] → ℝ# , una trayectoria diferenciable de una parte de 𝐶 que contiene a (𝑥/ , 𝑦/ ).
Sea 𝑡/ ∈ (𝑎, 𝑏) tal que 𝛼(𝑡/ ) = (𝑥/ , 𝑦/ ) entonces 𝑓 ∘ 𝛼 tiene un máximo o un mínimo en
𝑡/ . Por lo tanto
0 = (𝑓 ∘ 𝛼)0 (𝑡/ ) = ⟨𝛻𝑓W𝛼(𝑡/ )X, 𝛼′(𝑡/ )⟩ = ⟨ 𝛻𝑓(𝑥/ , 𝑦/ ), 𝛼′(𝑡/ )⟩.
Es decir, 𝛻𝑓(𝑥/ , 𝑦/ ) 𝑦 𝛼′(𝑡/ ) son ortogonales. Por otro lado sabemos que 𝛻𝑔(𝑥/ , 𝑦/ ) es
ortogonal a 𝐶. Así que, 𝛻𝑓(𝑥/ , 𝑦/ ) y 𝛻𝑔(𝑥/ , 𝑦/ ) están en la misma recta. Esto es, existe
𝜆 ∈ ℝ tal que
𝛻𝑓(𝑥/ , 𝑦/ ) = 𝜆𝛻𝑔(𝑥/ , 𝑦/ ).
Ejemplo 31. De entre todos los rectángulos de perímetro cuatro ¿Cuál tiene área
máxima? Para resolver el problema, consideramos las funciones
1) La que calcula el área de un rectángulo de lados 𝑥, 𝑦
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦
2) Como el perímetro es 2𝑥 + 2𝑦 = 4, la función restricción es
𝑔(𝑥, 𝑦) = 2𝑥 + 2𝑦 − 4
Entonces
𝛻𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑦, 𝑥)
𝛻𝑔(𝑥, 𝑦) = (2, 2)
Debemos hallar los puntos (𝑥, 𝑦) tales que
𝛻𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝜆𝛻𝑔(𝑥, 𝑦) ⇒ (𝑥, 𝑦) = 𝜆(2, 2) ⇒ 𝑥 = 2𝜆, 𝑦 = 2𝜆,
Así que 𝑥 = 𝑦, por tanto
𝑔(𝑥, 𝑦) = 0 ⇒ 𝑔(𝑥, 𝑥) = 0 ⇒ 2𝑥 + 2𝑥 − 4 = 0 ⇒ 4𝑥 − 4 = 0 ⇒ 𝑥 = 1
35
De donde 𝑦 = 𝑥 = 1.
Conclusión: entre todos los rectángulos de perímetro cuatro el cuadrado de lado uno es
el de mayor área.
Ejercicio 25.
(a) Encuentre los valores extremos de 𝑧 = 𝑥𝑦 con la condición 𝑥 + 𝑦 = 1.
(b) Hallar la distancias máxima y mínima desde el origen a la curva
5𝑥 # + 6𝑥𝑦 + 5𝑦 # = 8.
(c) Encuentre los valores extremos de 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 con la condición 𝑥 # + 𝑦 # = 1.
(d) Encuentre los valores extremos de 𝑧 = 𝑥 # + 𝑦 # con la condición 𝑥 + 𝑦 = 1.
(e) Encuentre los valores extremos de 𝑧 = cos # 𝑥 + cos # 𝑦 con la condición 𝑥 + 𝑦 = . .
36
Bibliografía
• Edwards, B. y Larson, R. (2010) Cálculo, McGraw-Hill.
• Stewart, J. (2008) Cálculo de varias variables Parte 2, Cengage Learning.
• Wright, W. y Zill, G. (2011) Cálculo de varias variables, McGraw Hill.
.
37
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