TRIGONOMETRÍA

TRIGONOMETRÍA
1. CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA
360º → 2𝜋 𝑟𝑎𝑑
45º →
45 ∙ 2
𝜋
𝜋 𝑟𝑎𝑑 = 0,25𝜋 𝑟𝑎𝑑 = 𝑟𝑎𝑑
360
4
sin
45º + 360º = 405º →
405 ∙ 2
9𝜋
𝜋 𝑟𝑎𝑑 = 2,25𝜋 𝑟𝑎𝑑 =
𝑟𝑎𝑑
360
4
sin
405º + 360º = 765º →
𝜋
= 0,707
4
9𝜋
= 0,707
4
765 ∙ 2
17𝜋
𝜋 𝑟𝑎𝑑 = 4,25𝜋 𝑟𝑎𝑑 =
𝑟𝑎𝑑
360
4
sin
17𝜋
= 0,707
4
𝜋
sin ( + 2𝜋) = 0,707
4
1
𝜋
sin ( + 4𝜋) = 0,707
4
𝜋
sin ( + 6𝜋) = 0,707
4
𝜋
sin ( + 2𝑘𝜋) = 0,707 𝑐𝑜𝑛 𝑘 ∈ 𝑍
4
2. GRÁFICA DE SENO
Para todos los ángulos que dentro de la circunferencia tienen la misma posición
gráfica, el valor del seno (y del coseno) es el mismo.
𝜋
sin ( ) = 0,866
3
𝜋
7𝜋
+ 2𝜋 =
3
3
sin (
7𝜋
) = 0,866
3
3. SIGNOS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
2
4. VALORES CORRIENTES
3
5. EJEMPLOS
a)
sin 𝑥 =
1
2
1
𝑥 = 𝑎𝑟𝑐 sin ( )
2
𝑥1 =
𝑥2 = (
𝜋
+ 2𝑘𝜋,
6
5𝜋
) + 2𝑘𝜋,
6
𝜋 5𝜋
𝜋− =
6
6
4
𝑘∈𝑍
𝑘∈𝑍
b)
cos(2𝑥) =
3
2
3
2𝑥 = 𝑎𝑟𝑐 cos ( )
2
No podes hacerlo porque sabemos que tanto el seno como el coseno tiene una
amplitud de 1, o sea varía entre 1 y -1. Por lo tanto al ser 3/2 mayor que 1, no lo
reconoce.
𝑆𝑜𝑙: ∄𝑥
cos(2𝑥) =
3
2
cos 2 𝑥 − sin2 𝑥 =
3
2
3
1 − sin2 𝑥 − sin2 𝑥 =
2
3
1 − 2 sin2 𝑥 =
2
1
2 sin2 𝑥 = −
2
1
sin2 𝑥 = −
4
5
c)
cos 2 𝑥 − sin2 𝑥 = 1
(1 − sin2 𝑥) − sin2 𝑥 = 1
1 − 2 sin2 𝑥 = 1
2 sin2 𝑥 = 0
sin2 𝑥 = 0
sin 𝑥 = 0
𝑥1 = 0 + 2𝑘𝜋,
𝑘∈𝑍
𝑥2 = 𝜋 + 2𝑘𝜋,
𝑥2 = (2𝑘 + 1)𝜋,
𝑘∈𝑍
𝑘∈𝑍
d)
cos 2 𝑥 + sin2 𝑥 = 1
1 − sin2 𝑥 + sin2 𝑥 = 1
1=1
𝑠𝑜𝑙: ∀𝑥 ∈ 𝑅
Para todo valor de x que pertenece a los reales
e)
sin(2𝑥) = 2 sin(2𝑥) cos(𝑥)
2 sin 𝑥 cos 𝑥 = 2 ∙ 2 sin 𝑥 cos 𝑥 ∙ cos 𝑥
2 sin 𝑥 cos 𝑥 = 4 sin 𝑥 cos 𝑥 ∙ cos 𝑥
2 = 4 cos 𝑥
cos 𝑥 =
1
2
𝑥1 =
𝜋
+ 2𝑘𝜋,
3
𝑘∈𝑍
𝑥2 =
5𝜋
+ 2𝑘𝜋,
3
𝑘∈𝑍
6
f)
𝜋
√2
(cos 𝑥 − sin 𝑥)
cos (𝑥 + ) =
4
2
𝜋
𝜋 √2
√2
cos 𝑥 ∙ cos − sin 𝑥 ∙ sin =
cos 𝑥 −
sin 𝑥
4
4
2
2
cos 𝑥 ∙
√2
√2 √2
√2
− sin 𝑥 ∙
=
cos 𝑥 −
sin 𝑥
2
2
2
2
√2
√2
√2
√2
cos 𝑥 −
sin 𝑥 =
cos 𝑥 −
sin 𝑥
2
2
2
2
0=0
𝑠𝑜𝑙: ∀𝑥 ∈ 𝑅
7