Transforma la integral / (x2 " y2) dx ] dy a coordenadas polares y

i
R a hR pa2 x2 2
Transforma la integral 0 0
x + y 2 dx dy a coordenadas polares y calcula su valor. Dibuja el área sobre la
cual estás integrando
Solución:
Las coordenadas polares se de…nen como
x = cos
y = sin
(
0; 0
<2 )
El determinante jacobiano es
@x @y
cos
sin
@
@
= cos2 + sin2 = cos2 + sin2 =
=
@x @y
sin
cos
@
@
p
El área de integración es el cuarto de círculo S = (x; y) j 0 < y < a; 0 < a2 x2
y
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
x
Que en coordenadas polares se escribe S = f( ; ) j 0 < < a; 0
< =2g
Y desde luego
x2 + y 2 = 2
Porh tanto,
i
i
R a hR =2 2
R a R pa2 x2 2
R a hR =2 i
x + y 2 dx dy = 0 0
d d = 0 3 0 d d =
0
0
4 a
Ra 3
a4
=
d
=
=
0
2
2 4 0
2 4
Resumiendo
p
h
i
R a R a2 x2 2
1 4
x + y 2 dx dy =
a
0
0
8
1