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Métodos Numéricos
Curso 2008
En un cable coaxial formado por un conductor interno de radio
Obligatorio 1
rin  1 y conductor externo de radio
rext  2 (estando estos valores en unas unidades de longitud adecuadas), por ciertas causas ocurre que el
potencial eléctrico en los conductores interno y externo se comporta de las siguientes formas:
(I)
Vin    V0 cos  4 
(II)
Vext    V0 cos  4 
Donde en unidades acordes, se considera
Vin    V0 cos  4 
Vext    V0 cos  4 
V0  1 . Si el potencial eléctrico ( u ) en la región comprendida
entre ambos conductores (  ) satisface la ecuación de Laplace ( u  0 [1] en  ), determinar para
ambos casos (I y II) la distribución del mismo en el dominio del problema mediante los dos métodos que
se detallan a continuación.
rin
rext
Ω
1) La idea de esta parte es aplicar el método de las diferencias finitas [2] en coordenadas polares
para resolver el problema.
a) Determine la forma de la ecuación de Laplace en coordenadas polares [3].
b) Considerando una discretización [4] apropiada de la derivada escriba una expresión
aproximada del Laplaciano en un punto de coordenadas
 x,   .
c)
Explique como modelar este problema mediante un sistema de ecuaciones cuyas incógnitas
sean los valores del potencial eléctrico en puntos pertenecientes al dominio.
d) Justifique a partir de las características de la matriz del sistema obtenido en la parte anterior
que método numérico resultaría conveniente aplicar para su resolución.
e) Determine la distribución de u en por lo menos 200 puntos distribuidos de forma uniforme
en todo el dominio del problema.
2) Ahora resolveremos el mismo problema pero con otra técnica, que se clasifica como un método
de colocación [5]. Para esto utilizaremos el hecho de que cualquier solución a la ecuación
diferencial que modela el problema se puede escribir como una combinación lineal de las
siguientes funciones:
n
n


1, r sin   , r cos   ,..., r sin  n  , r cos  n  ,...



1
1
n
n
ln(r ), r sin   , r cos   ,..., r sin  n  , r cos  n  ,...


a)
Verifique que las funciones anteriores realmente satisfacen la ecuación diferencial, y escriba
la solución al problema como una serie truncada de N términos dejándola planteada en
función de parámetros incógnita que multipliquen a las funciones anteriores.
b) Considere una partición de 32 puntos interiores y 32 puntos exteriores equi-espaciados para
la frontera del problema.
c) Plantee las condiciones que deben cumplir los términos de la serie para que se satisfagan las
condiciones de frontera en los puntos seleccionados de la frontera.
[1] http://pt.wikipedia.org/wiki/Laplaciano
[2] http://en.wikipedia.org/wiki/Finite_difference_method
[3] http://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_polares
[4] http://en.wikipedia.org/wiki/Discretization
[5] http://en.wikipedia.org/wiki/Collocation_method
d) Escriba estas condiciones en la forma de un sistema de ecuaciones.
e) Resuelva el sistema anterior, determinando de esta forma una estimación para la solución
del problema. Justifique la elección del método seleccionado para resolver el mismo. Para el
caso (I) pruebe que la solución obtenida es exacta.
f) A partir de la solución obtenida en e), evalúe la distribución del potencial eléctrico en por lo
menos 200 puntos distribuidos de forma uniforme en el dominio del problema.
3) Comente los resultados obtenidos comparando ambos métodos y analizando las ventajas y
desventajas de cada uno.