Determinar la Carga Total Contenida en un Plano

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Determinar la Carga Total Contenida en un Plano
Problema # 2
Un plano, que coincide con el plano xy, tiene carga distribuida superficialmente, con
densidad
en que
a)
b)
es una constante positiva.
Determine la carga total contenida en el plano
Encuentre el campo eléctrico que la distribución anterior produce en un
punto de coordenadas (0, 0, d)
Solución Problema 2.
a)
Se pide determinar la carga total del plano,
Para evaluar esta integral usamos coordenadas polares planas
entonces
Notamos de inmediato que el integrando se puede escribir como:
con esto, la integral es inmediata,
,
Entonces, la carga total es
b)
El campo eléctrico en la posición 0,0,d) se puede escribir como:
donde
de
,y
. Reemplazando todo esto en la expresión
, y usando coordenadas polares planas tenemos
Es inmediato ver que las integrales angulares se anulan,
, mientras que
lo cual se tiene
en que el integrando es una derivada exacta, pues
por lo tanto,
entonces
finalmente, el campo eléctrico es
, con
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