B.- Integración múltiple.

B.- Integración múltiple.
§B.1. Integración doble (1001); §B.2. Integración triple (1002); §B.3. Cambio de variable
en una integral múltiple (1003)
§B.1. Integración doble.- Imaginemos que deseamos efectuar la integración
I
⌠⌠ f(x,y) dx dy
⌡⌡D
[B.1]
sobre el dominio S indicado en la Figura B.1, siendo f(x,y) una función arbitraria de
las variables x e y definida en el dominio S. Para efectuar la integración, separaremos
la integral doble en dos integrales simples sobre las variables x e y, respectivamente.
Los límites de integración de cada una de esas dos integrales simples serán las
siguientes.
Los límites de integración para la variable x serán x1 y x2, tal cono se ilustra en
la Figura B.1. Para la variable y tendremos en cuenta que para todo valor de x,
perteneciente al intervalo [x1,x2], la variable y varía entre las coordenadas de las
curvas (1) y (2) que delimitan el dominio de
integración S por abajo y por arriba, respectivamente. Puesto que las ecuaciones de esas curvas
son y=ψ1(x) e y=ψ2(x), escribiremos
x2
I
ψ2(x)
⌠ dx ⌠ f(x,y) dy
⌡x
⌡ψ (x)
1
[B.2]
1
La segunda de las integrales indicadas en
se ejecuta considerando la variable x como
si fuese constante; entonces, el resultado de esta
integración con respecto a la variable y, que
[B.2]
Manuel R. Ortega Girón
Figura B.1
1001
1002
Apéndice. B.- Integración múltiple.
será una función de x, será el integrando de la primera integral. La primera integral
se efectuará entre los límites x1 y x2; su resultado, será un numero real que representa
el valor de la integral doble considerada.
Puesto que dxdy representa el elemento de área en el plano cartesiano Oxy, el
área del dominio S vendrá dada por
S
⌠⌠ dx dy
⌡⌡S
[B.3]
§B.2. Integración triple.- Ahora, supongamos que queremos realizar la integral
I
⌠⌠⌠ f(x,y,z,) dx dy dz
⌡⌡⌡V
[B.4]
extendida al dominio V considerado en la Figura B.2, cuya proyección sobre el plano
Oxy es el dominio plano S. Cuando la variable x toma valores en el intervalo [x1,x2],
la variable y varía entre las ordenadas y=ψ1(x) e y=ψ2(x) definidas por las curvas que
delimitan el dominio plano S. Por otra parte, para cada punto (x,y) perteneciente al
dominio S, la variable z varía entre z=φ1(x,y) y z2=φ(x,y), correspondiendo estas
funciones a las superficies que delimitan al dominio V por abajo y por arriba,
respectivamente, como se ilustra en la Figura B.2.
Procediendo de forma análoga a como hicimos en el caso de la integral doble,
separaremos la integral triple en tres integrales simples; i.e.,
x2
I
ψ2(x)
φ 2(x,y)
⌠ dx ⌠ dy ⌠
f(x,y,z) dx dy dz
⌡x
⌡ψ (x)
⌡φ (x,1)
1
1
[B.5]
1
Los cálculos comienzan por la tercera integral, en la que se consideran las
variables x e y como si fuesen constantes. De este modo resultará una función de la
variables x e y que será el integrando de la
segunda integral. Resolveremos esta segunda
integral, sobre la variable y, considerando la
variable x como si fuese constante. El resultado
será una función de la variable x que será el
integrando de la primera integral. Finalmente, la
integración de ésta integral dará como resultado
un número real que es el valor de la integral
triple considerada.
Teniendo en cuenta que dxdydz representa
el volumen elemental en coordenadas cartesianas xyz, el volumen del dominio V vendrá dado
por
Figura B.2
V
⌠⌠⌠ dx dy dz
⌡⌡⌡V
[B.6]
§B.3.- Cambio de variable en una integral múltiple.
1003
§B.3. Cambio de variable en una integral múltiple.- Frecuentemente será
conveniente la utilización de coordenadas cilíndricas, esféricas,... en lugar de las
coordenadas cartesianas, por lo que el elemento de área dxdy o el elemento de
volumen dxdydz deberán ser expresados en el tipo de coordenadas elegido (vide
Apéndice D). A continuación, procederemos en la forma que hemos establecido en
los apartados anteriores, una vez que hayamos expresado el integrando en las
coordenadas apropiadas.
De una forma completamente general, si se desea efectuar la integral
I
⌠⌠...⌠ f(x ,x ,...x ) dx dx ...dx
1
2
n
⌡⌡ ⌡D 1 2 n
[B.7]
extendida al dominio D de un hiperespacio de n dimensiones (x1, x2,... xn), e interesa
la utilización de otras coordenadas (y1, y2,... yn), a fin de facilitar la integración,
conociéndose las relaciones existentes entre unas y otras coordenadas, que vendrán
expresadas por n ecuaciones de la forma:
yi
yi (x1, x2, ... xn)
con i
1,2,...n
[B.8]
se demuestra que entre los elementos de "volumen" dVx=dx1dx2...dxn y
dVy=dy1dy2...dyn existe la relación:
dVx
[B.9]
J dVy
siendo J el jacobiano de la transformación, que viene dado por
J
⎛
⎜ ∂y1/∂x1 ∂y1/∂x2
⎜
⎜ ∂y2/∂x1 ∂y2/∂x2
⎜
⎜
⎜
⎜ ∂y /∂x ∂y /∂x
n
2
⎝ n 1
⎞
∂y1/∂xn ⎟
⎟
∂y2/∂xn ⎟
⎟
⎟
⎟
∂yn/∂xn ⎟⎠
[B.10]