Distancia entre dos puntos a) Coordenadas ortogonales: Sean los

Distancia entre dos puntos
a) Coordenadas ortogonales:
Sean los puntos dados P(x, y) y P'(x', y'). Trasladamos el sistema
paralelamente a si mismo eligiendo como nuevo origen el punto P'. Designando
las coordenadas de P en el nuevo sistema (X', Y') por (X, Y), las fórmulas de
traslación son:
Y’
Y
P
Q’
Q
X
O
P’
R
X’
x = X + x', y = Y + y'
La distancia PP' = d se obtiene por la fórmula
d² = X² + Y²
ahora, reemplazando x e y por sus valores, tenemos:
d² = (x – x')² + (y – y')²
Esta fórmula entrega dos valores iguales y de signos contrarios para la
distancia PP'= d, pero, tratándose solamente del valor absoluto de esta
distancia, su valor se afecta solo del signo positivo.
b) Coordendas oblicuas
Si el sistema de coordenadas es oblicuo, y ω es su ángulo de coordenadas,
procedemos como en el caso anterior, pero en virtud de (A) la distancia PP’, se
obtiene con la fórmula:
d² = x² + y² + 2xycosω
reemplazando x e y por sus valores, tenemos
d² = (x – x')² + (y – y')² + 2(x – x')( y – y')
c) Coordenadas polares
Sí P y P’ se dan por sus coordenadas polares (r,ϕ) y (r’,ϕ’), sustituimos en la
fórmula hallada para la distancia en coordenadas rectangulares, sus valores:
x =rcosϕ, y = rsinϕ
x’ =r’cosϕ’, y= r’sinϕ’
reemplazando, obtenemos
d² = (rcosϕ - r’cosϕ’)² + (rsinϕ - r’sinϕ’ )²
lo que conduce a
d² = r² + r’² - 2rr’cos(ϕ’ - ϕ)
Superficie de un triángulo
a) el triángulo tiene uno de sus vértices en el origen del sistema de
coordenadas
Designando por ∆ la superficie del triángulo POP’, tiene la superficie
2∆ = OPOP’ sinP’OP
El ángulo P’OP es un ángulo cóncavo y por esto su seno es siempre positivo.
Sustituyendo en la fórmula anterior OP = r , OP’ =r’ , <P’OP = ϕ’ - ϕ, nuestra
fórmula se convierte en:
2∆ = rr’ sin(ϕ - ϕ’)
fórmula que expresa la superficie del triángulo y da un valor positivo para esta
área.
Sean ahora (x, y), (x´,y’ ) las coordenadas ortogonales de los vértices P y
P´respectivamente.
La fórmula hallada anteriormente se puede escribir:
2∆ = r’ sinϕ’ rcosϕ - r’cosϕ’ rsinϕ
reemplazando las coordenadas polares por las ortogonales, tenemos
2∆ = y’x – x’y
Sí (x,y) y (x’, y’) son las coordenadas oblicuas de los puntos P y P’ y ω el ángulo
de coordenadas, sustituyendo en la fórmula
2∆ = rr’sin(ϕ - ϕ’) = r'sinϕ'rcosϕ - r'cosϕ'rsinϕ
los valores
rcosϕ = ycosω + x
rsinϕ = ysinω
tenemos
2∆ = y'sinω(ycosω + x) - (y'cosω + x')ysinω
2∆ = y'ysinωcosω + xy'sinω - y'ysinωcosω -x'ysinω
2∆ = xy'sinω - x'ysinω
2∆ = (xy' - x'y)sinω