ControlUVA

Diseño de Sistema de Control para UAV
* Curso:
Sistemas de Control Automático, Universidad de Costa Rica
1st Luis Sergio Yannicelli Vargas, A87086 2nd José López Picado, B43869 3rd Rodrigo Villalta Chaves, B57859
Universidad de Costa Rica
Estudiante de Fı́sica e Ingenierı́a Eléctrica
San José, Costa Rica
[email protected]
Universidad de Costa Rica
Estudiante de Ingenierı́a Eléctrica
San José, Costa Rica
[email protected]
Resumen—En este artı́culo se identifica un modelo de altura
para un UAV a partir de la curva de reacción del proceso ante
una entrada escalón, cuya entrada es el ángulo del elevador. A
patir del modelo obtenido se sintonizan varios controladores de
la familia PID para lograr una efectiva acción de control tanto
en servo control como en control regulatorio.
Index Terms—UAV, PID, MATLAB.
Luego de obtener de ecuaciones de movimiento y asumiendo que la masa y el momento de inercia del UAV es constante
se obtiene el siguiente modelo:
P (s) =
I-A.
I.
I NTRODUCCI ÓN
En la actualidad, ha aumentado el desarrollo de los
vehı́culos aéreos no tripulados (UAV, de sus siglas en inglés).
Especı́ficamente en el área militar, debido a los riesgos
que conlleva involucrar vidas humanas en misiones de alto
riesgo. Además, todo los inconvenientes que pueden traer el
desempeño de un mal piloto, clima, lugar, entre otros.
Debido a los avances tecnológicos se pueden recrear
simulaciones bastantes precisas del modelo, ayudando a los
costos del proyecto. La implementación de un controlador
que lleve a cabo esta tarea debe ser un proceso minucioso y
detallado [1]. Por lo que se procede a generar una serie de
ecuaciones a partir de la siguiente imagen.
Universidad de Costa Rica
Estudiante de Ingenierı́a Eléctrica
San José, Costa Rica
[email protected]
−57,3(s − 24,6)
s3 + 1,82s2 + 0,8281s
(2)
Normalización de señales
Para efectos de este documento se toma como altura máxima
de vuelo 20m, la altura estándar máxima para UAV’s de
baja altitud [1]. Por otro lado la señal de control pude variar
±0,07145rad o en grados ±10o [1]. La señal de control,
realimentada y referencia estarán normalizadas con respecto
a estos valores tope.
El punto de operación del UAV es de 10m, altura para
la que obtenido el modelo lineal de la ecuación 2, según el
articulo suministrado como ayuda [1].
II.
I DENTIFICACI ÓN DEL MODELO
Para poder implementar un proceso de diseño del
controlador se asume el modelo como una caja negra. En
esta consideración lo que se toma en cuenta es únicamente
la información de la entrada y salida del proceso. Por lo
que se debe realizar una identificación del mejor modelo que
describa el proceso para el sistema de control realimentado y
luego proceder a diseñar el controlador.
Al excitar el proceso con un escalón unitario de magnitud
unitaria se obtiene la curva de reacción de la figura 2. Como
se observa en dicha figura, la planta tiene un comportamiento
integrante de orden dos o más, sin aparente respuesta inversa
y con una ganancia elevada.
Figura 1. Designación de los parámetros del UAV [1].
Las variables de interés son la altura en metros y el ángulo
de inclinación de la proa del UAV en radianes.
De forma que se tiene:
H(s)
P (s) =
Θ(s)
(1)
Para la identificación se utiliza dos aproximaciones, una
integrante de orden uno mas tiempo muerto (MIPOMT) y otra
integrante de segundo orden mas tiempo muerto (MISOMT),
esto debido a que como limitante el controlador tiene que ser
de la familia PID y un orden mayor en la planta dificultarı́a
en proceso de sintonización.
Para la identificación del modelo se utilizó un script en
MatLab que realiza una aproximación por ası́ntotas. Con
este resultado se obtuvieron aproximaciones iniciales de los
esto se puede solucionar garantizando al menos un mı́nimo
de robustez. Por todo lo anterior el modelo escogido para
la sintonización es el MISOMT, ya que de los modelos de
segundo orden es el que mejor se ajusta.
Curva de reacción de la planta ante un escalón de magnitud unitaria
3500
3000
2500
y [m]
2000
1500
1000
Respuesta de la planta y los modelos al escalón unitario
1400
500
1200
0
1000
-500
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
800
Figura 2. Curva de reacción de la planta ante un escalón de magnitud unitaria.
y [m]
tiempo [s]
600
Planta
MIPOMT
MISOMT
MISO
400
200
parámetros de los 3 modelos obtenidos, luego se procedio a
variarlos hasta obtener un mejor ajuste en cada modelo.
0
-200
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
tiempo [s]
II-A.
MIPOMT
Figura 3. Respuesta de la planta y los modelos al escalón unitario.
−LS
P (s) =
Parámetro
K
L
Ke
s
(3)
Modelo
1708,05e−2,27s
s
1708,05e−0,59s
s(1,69s+1)
1708,05
s(2,29s+1)
Valor
1708.05
2.24
IAE
ITAE
ISE
2336.61
7916.15
1260075.73
252.72
1361.58
1885.44
7920.95
Cuadro I
7030.16
498163.59
I NDICADORES OBTENIDOS PARA LOS MODELOS IDENTIFICADOS .
II-B.
MISOMT
P (s) =
Ke−LS
s(T s + 1)
Parámetro
K
L
T
II-C.
III.
S INTONIZACI ÓN DEL CONTROLADOR
Valor
1708.05
0.69
1.69
MISO
P (s) =
K
s(T s + 1)
Parámetro
K
T
II-D.
(4)
(5)
Valor
1708.05
2.29
Comparación de los modelos obtenidos
Al someter los modelos a una entrada escalón unitario,
se obtiene el comportamiento dinámico de la figura 3. Tal
y como se esperaba, los modelos de segundo orden captura
mejor la dinámica del proceso real, ya que contiene más
información del mismo.
Por otro lado, al analizar los ı́ndices de error de la tabla I el
resultado es el mismo, los modelos de segundo orden resulta
mejor para modelar la dinámica del UVA. Aún ası́ debido a
la alta ganancia de la planta y a la naturaleza integrante y
a la complejidad que podrı́a acarrear un modelo más exacto,
no se logra disminuir más los ı́ndices de error. Sin embargo
Figura 4. Esquema de control.
El esquema de control general para controlar la altura del
UAV se presenta en la figura 4. En este caso la perturbación
no afecta a la planta alterando la posición angular del
elevador, si no más bien se manifiesta alterando directamente
la altura del vehı́culo no tripulado, debido a un descenso en
la presión o al efecto del viento. Por otro lado para efectos
de este documento el controlador C(s) es un controlador PID
de uno o dos GdL, según corresponda.
Realizando la sustitución del controlador por una de dos
GdL, se puede llegar a la siguiente función de transferencia:
y(s) =
Cr (s)P (s)
1
r(s) +
d(s)
1 + Cy (s)P (s)
1 + Cy (s)P (s)
(6)
Para el caso de un controlador de un gdl se cumple que:
Cr (s) = Cy (s)
(7)
Por otro lado P(s) es el modelo MISOMT obtenido de la
identificación. En este caso el LGR del mismo se muestra
en la figura 5. En donde se observa con claridad un polo en
aproximadamente s = −0,581 y otro en el origen lo que le
da la caracterı́stica integrante.
LGR planta identificada con Tune
0.4
0.3
Imaginary Axis (seconds
-1
)
0.2
0.1
0
Tiempo de asentamiento al dos por ciento menor a 10
segundos.
Error permanente cero.
Y para servo control:
Sobrepaso máximo cercano a cero.
Error permanente cero.
Es posible descartar controladores tipo P y PD, debido
a que ante entradas en perturbación de tipo rampa el error
permanente no es igual a cero. Además se desea cancelar
el polo de la planta, por lo que el algoritmo de control que
mejor se adapta es el PID.
-0.1
-0.2
III-B.
-0.3
-0.4
-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
Real Axis (seconds
-0.2
-1
-0.1
0
0.1
)
Figura 5. LGR del modelo de la planta.
En cuanto a la acción del controlador, para esta planta
será inversa, porque si el ángulo de la proa del avión sube,
la altura aumenta; si el ángulo proa baja la altura baja. Por lo
tanto :
accion = +1
III-A.
(8)
Especificaciones del lazo de control
Los UAV, como todo vehı́culo aéreo, están expuestos a
la imprevisibilidad de la atmósfera terrestre. De hecho los
aviones comerciales poseen sistemas de control que ayudan
a mitigar los efectos que tienen los cambios en velocidad,
dirección y la densidad del aire.
Cabe destacar, que los cambios de velocidad del aire
pueden ser lineales, es decir, en una misma dirección, por
lo que pueden ser modelados como una rampa. Además,
aparecen ”bolsas de aire”que son espacios donde no hay aire,
entonces el avión experimenta una pequeña caı́da debido a
que pierde fuerza de sustentación debido a la ausencia de
fluido; esto se puede modelar como un escalón. También se
debe considerar la turbulencia, que consiste en la formación
de vórtices de aire, que tiene un movimiento rotacional y
estocástico. Este tipo de perturbación no la hemos tomado en
cuenta en las simulaciones, debido a su complejidad en su
modelado.
Por esta razón se desea una rápida acción de control ante
cambios en las perturbaciones. Además se desea que esta
respuesta sea suave, del tipo crı́ticamente amortiguada, ya que
oscilaciones en la respuesta pueden ocasionar que el UAV
se desplome. Además recordando del proceso de modelado
las discrepancias entre el modelo y la planta, es necesario
garantizar un mı́nimo de robustez, por lo cual el M s debe
ser de al menos 2.
En resumen, para control regulatorio se desea:
Sobrepaso máximo cercano a cero.
Diseño I
Se ha utilizado la herramienta Tune de Simulink de
Matlab para poder sintonizar de forma automática el modelo
obtenido anteriormente durante la identificación. Para esto, se
ha construido el diagrama de bloques clásico realimentado de
lazo cerrado. Para el controlador se utiliza el bloque PID, en
el cual se ha utilizado el PID clásico de un grado de libertad.
Con la herramienta tune se logra encontrar los parámetros del
sistema. Esta herramienta despliega una respuesta estimada,
donde se pueden modificar manualmente los parámetros de
la curva. Ası́ se manipularon los parámetros hasta conseguir
una respuesta suave y subamortiguada. Luego, se verifica este
resultado con la salida del lazo cerrado y después de unas
cuantas iteraciones se encontró la siguiente respuesta en la
figura 6:
Los parámetros hallados son los siguientes (tabla III-B):
Parámetros diseño 1
Kp
0.0004581
Ti
0.0573040 s
Td
1.2826271 s
N
10
Cuadro II
PAR ÁMETROS OBTENIDOS PARA DISE ÑO 1 CON HERRAMIENTA T UNE DE
M ATLAB
La herramienta tune, según MathWorks [2], realiza una
aproximación rápida de los parámetros del controlador para
que sea robusto y con un tiempo de respuesta deseado. Este
tiempo es posible realizarlo de forma manual. Primero, la
herramienta identifica la planta y la linealiza inyectando
unos valores de prueba, recogiendo valores de entrada y
salida para distintas frecuencias, estimando ası́ una ganancia
DC, proponiendo un controlador inicial. Después realiza la
estabilización del sistema con múltiples iteraciones y permite
al usuario hacer el ajuste lineal. Con esto es posible exportar
los datos al entorno.
En la imagen 6 se puede observar como el el sistema
se estabiliza rápidamente. Se obtuvo una respuesta
subamortiguada. Tarda aproximadamente unos 30 s.
Posteriormente, se aplica una perturbación en 70 s en
forma de escalón, como se mencionó en la primera sección,
85
2
r(t):escalón
d(t):escalón
d(t):rampa
80
0
70
-1
e [m]
60
-2
55
-3
50
-4
45
-5
40
-6
60
70
80
90
100
110
120
tiempo [s]
-7
50
60
70
80
90
100
110
120
tiempo [s]
Figura 6. Respuesta de la señal realimentada con perturbación y ante cambios
a la entrada.
es cuando el UAV se encuentra con una bolsa de aire y en el
caso de la rampa, es un cambio en la velocidad del viento.
Ante estas perturbaciones tarda aproximadamente unos 25 s
en estabilizarse. Además, se hace un cambio en la referencia
y de igual forma, controlador es capaz de estabilizar la señal
rápidamente.
Con respecto a la acción de control se obtuvo el siguiente
resultado:
Figura 8. Señal de error ante perturbación de rampa, escalón y cambio de
referencia.
1
Fragilidad para planta sintonizada con Tune
L(j )
M S=1.2
0.5
M S=2.0
-1
0
L(j )
L(j )
y%
65
35
50
r(t):escalón
d(t):escalón
d(t):rampa
1
75
-0.5
-1
-1.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
L(j )
Figura 9. Diagrama de Nyquist para verificar fragilidad para diseño 1.
r(t):escalón
d(t):escalón
d(t):rampa
5
0
una salida que se regula rápidamente y suavemente y es no
frágil. Es capaz de resistir cambios en los parámetros de su
controlador.
u%
-5
-10
-15
Para su desempeño se han medido los siguientes parámetros
a partir de la curva:
-20
50
60
70
80
90
100
110
120
tiempo [s]
Figura 7. Esfuerzo de control ante perturbación de rampa, escalón y cambio
de referencia.
En la figura 7, se puede observar como el esfuerzo de
control apenas llega a un 5 % para el escalón y a un 20 %
para la rampa.
Con respecto a la señal de error (en la figura 8), se puede
observar que para el escalón se tiene una variación del 2 % y
para la rampa de un 6 % y reacciona rápidamente.
Ahora, se realiza con la función de fragility rings un
diagrama de Nyquist para verificar la sensibilidad en la figura
9:
Este resultado fue muy satisfactorio, porque muestra que
el controlador es robusto, está dentro de los dos anillos de
fragilidad y se encuentra lejos del anillo interior. Esto se debe
a que durante la sintonización fue necesario bajar la velocidad
de la respuesta para darle estabilidad. Y como resultado dio
Desempeño
Cambios en:
Mp
referencia
2.5 %
escalón
3.5 %
rampa
6.2 %
Cuadro III
ta2 %
5.19 s
5.88 s
8.11 s
TABLA RESUMEN PARA PAR ÁMETROS DE DESEMPE ÑO PARA DISE ÑO 1.
En la tabla III-B se puede observar como los tiempos de
asentamiento son bastante pequeños y además el sobrepaso es
bastante pequeño, para la rampa aparece un 6.2 % que es el
más alto.
Servo
Control
Control
Regulatorio
Mp %
ta2 % [s]
escalón
2.5
5.19
escalón
rampa
3
6.2
5.88
8.11
Otro aspecto importante de destacar, es que se probó que
el controlador funciona tanto para la planta real como para el
modelo obtenido de manera muy similar.
respectivamente, ante los cambios mencionados anteriormente.
Diseño II
Para este diseño se utilizó un controlador PID estándar
de 2 GdL. Se utilizó una metodologı́a heurı́stica para hallar
los parámetros adecuados del controlador y obtener las
caracterı́sticas deseadas para el lazo cerrado. La metodologı́a
consistió el fijar algunos de los parámetros del controlador y
variar los demás hasta lograr la respuesta deseada. El primer
parámetro fijado fue Td , el cual se utilizó para cancelar el polo
del modelo MISOMT, luego se colocó Ti alejado diez veces
de Td , se fijó gamma en cero para que la parte derivativa
solo se aplique a la señal realimentada. Los parámetros libre,
Kp y β se emplearon para ajustar la respuesta variado poco
a poco sus valores hasta dar con una respuesta satisfactoria.
III-C1. Parámetros del controlador: Como resultado del
diseño se obtuvieron los parámetros de la tabla IV
Kp
Ti
Td
0.005
β
17.24 [s]
γ
1.69 [s]
N
Cuadro IV
Respecto a la señal realimentada, se nota un
comportamiento suave y con apenas oscilaciones en la
respuesta, ante perturbaciones de tipo rampa o escalón,
mientras que la respuesta en servo control ante escalones, no
posee oscilación alguna.
65
60
55
y%
III-C.
50
45
0.81
0
10
r(t):escalón
d(t):escalón
d(t):rampa
40
35
30
35
40
45
50
55
60
65
70
tiempo [s]
PAR ÁMETROS DEL CONTROLADOR DEL DISE ÑO II
Figura 11. Respuesta de la señal realimentada a cambios en las entradas.
III-C2. Robustez y desempeño: En cuanto al las caracterı́sticas de desempeño como lo muestra la tabla III-C2 se obtiene valores de sobrepaso máximo y tiempo de asentamiento
muy buenos, que cumplen con las especificaciones de diseño.
Mp %
0
2.8
2.6
r(t)= u(t)
d(t) = u(t)
d(t) = rampa
ta2 s
4.64
6
3.28
Por otro lado, la señal de control es suave ante cambios
en la referencia o ante una entrada rampa en la perturbación,
pero ante entrada escalón en la perturbación se obtiene un
pico, lo cual no es deseable en esta señal, ya que puede
causar un daño en el actuador. Sin embargo en la vida real
un cambio escalón en la altura del UAV no es posible y las
bolsas de aire no se deben consideran como escalones, sino
como rampas de elevada pendiente.
Por otro lado, la robustez se garantiza como se observa
en la figura 10, por lo que la inexactitud del modelo de la
planta se compensa, asegurando la estabilidad en la planta real.
10
r(t):escalón
d(t):escalón
d(t):rampa
8
1
Fragilidad para planta sintonizada con LGR
6
L(j )
u%
M S=1.2
0.5
4
M S=2.0
2
-1
0
L(j )
L(j )
0
-0.5
-2
35
40
45
50
55
60
tiempo [s]
-1
-1.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
Figura 12. Respuesta de la señal de control a cambios en las entradas.
L(j )
Figura 10. Diagrama polar del lazo de control del diseño II.
III-C3. Simulaciones: Se probó el lazo de control
ante cambios en el 10 % de la señal de referencia, para
examinar servo control. En cuanto a la perturbación, esta
se varió 10 % para simular el efecto de una bolsa de aire
y también se aplicó una rampa para simular el efecto del
viento. En las figura 11, 12 y 13, se pueden observar
los cambios en la señal realimentada, de control y de error
Finalmente como se observa en la figura 13, la señal de
error tanto en servo control como en control regulatorio tiende
a cero, cumpliéndose por lo tanto todos los criterios de diseños
impuestos para asegurar una adecuada labor de control.
este modelo por ser mucho más sencillo que el de la planta, ha
permitido realizar todos los cálculos necesarios de una forma
más simple que si se hubiera utilizado la planta real.
2.5
r(t):escalón
d(t):escalón
d(t):rampa
2
1.5
VI.
e [m]
1
Se ha logrado identifica y modelar exitosamente la planta
con un modelo de segundo orden, con un polo en el orı́gen y
retardo para el control de altura de un UAV con un ı́ndice de
error muy bajo.
0.5
0
-0.5
-1
30
40
50
60
70
80
90
100
tiempo [s]
Figura 13. Respuesta de la señal de error a cambios en las entradas.
IV.
V.
M ODELO CONTRA PLANTA
Para poder comprobar que el modelo se aproxima lo suficiente a la planta real, se han calculado los ı́ndice de error
entre las señales, los cuales se muestran en la figura 14 y en
la tabla V:
75
planta
modelo
70
65
y%
60
55
50
45
40
40
Se logró desarrollar dos controladores distintos para control
regulatorio que son capaces de reaccionar rápidamente ante
las perturbaciones y además no son frágiles. Para lazo
cerrado, se tiene un tiempo de asentamiento y un sobrepaso
muy pequeños, es decir, poseen un buen desempeño.
D ISE ÑO Ó PTIMO
De los controladores encontrados, el diseño II ha sido el
que mejor se adapta a la necesidad de este proyecto. La razón
principal por la que se ha elegido es porque es capaz de
reaccionar más rápido ante perturbaciones, su señal de control
es más suave.
35
30
C ONCLUSIONES
50
60
70
80
90
tiempo [s]
Figura 14. Respuesta del modelo y la planta ante cambios en referencia y
perturbación.
IAE
2.414
ITAE
73.23
ISE
0.3814
Cuadro V
I NDICES DE ERROR ENTRE LAS SE ÑALES REALIMENTADAS DE LA PLANTA
Y EL MODELO .
Estos ı́ndices de error son sumamente pequeños, esto quiere
decir que este modelo se asemeja mucho a la realidad, por
esta razón, el controlador ha funcionado correctamente con
la planta real y la del modelo de forma muy similar, además
Se realizaron distintas simulaciones para poder comprobar
todos los datos anteriores con la herramienta Matlab y Simulink y se calcularon los ı́ndices de error para los casos en los
que era pertinente.
R EFERENCIAS
[1] Mohammad Fiuzy, Javad Haddadnia, and Seyed Kamaleddin Mousavi Mashhadi. Designing an optimal pid controller for control the plans
height, based on control of autopilot by using evolutionary algorithms.
Journal of Mathematics and Computer Science, 06:260–271, 05 2013.
[2] Mathworks. Pid controller tuning in simulink. https://la.mathworks.com/
help/slcontrol/gs/automated-tuning-of-simulink-pid-controller-block.
html.