Problemas de Matrices y Sistemas Lineales

Problemas de Matrices y
Sistemas Lineales
Natalia Boal
Francisco José Gaspar
Marı́a Luisa Sein-Echaluce
Universidad de Zaragoza
1. Demuestra que si una matriz A ∈ Mn (K) es idempotente (A2 = A), entonces la
matriz B = I − A también es idempotente y además AB = BA = O.
2. Demuestra que si A es regular y simétrica, también lo es A−1 .
3. Sea A ∈ Mn (K) idempotente. Prueba que si B = 2A − I entonces B 2 = I.
4. Sea A ∈ Mm×n (K). Demuestra que las matrices (AAt ) y (At A) son siempre
simétricas.
5. Demuestra que si A ∈ Mn (K) verifica la relación A2 − A − I = O entonces A es
inversible. Calcula su inversa.
6. Dada A ∈ Mn (K). Prueba que
A2 = I ⇔ (I − A)(I + A) = O.
La matriz A se dice involutiva.
7. Sea A ∈ Mn (K). Se llama traza de A y se denota por Tr(A) a la suma de los
elementos de la diagonal principal de A. Demuestra:
(a) Tr(A + B) = Tr(A) + Tr(B),
(b) Tr(AB) = Tr(BA),
(c) Tr(λA) = λTr(A),
∀A, B ∈ Mn (K).
∀A, B ∈ Mn (K).
∀A ∈ Mn (K), ∀λ ∈ K.
8. Razona si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:
(a) La suma de matrices triangulares es una matriz triangular.
(b) Sean A, B ∈ Mn (K), entonces
• AA0 es simétrica.
1
•
•
•
•
•
•
(A + B)2 = A2 + AB + B 2 .
(A + B)(A − B) = A2 − B 2 .
rang (A + B) = rang A + rang B.
Si A y B son regulares entonces A + B también es regular.
Si AX = BX para todo X ∈ Mn×1 (K) se cumple A = B.
Si AC1 = AC2 entonces C1 = C2 .
9. Demuestra que la matriz


1 1 1


A= 1 1 1 
1 1 1
satisface la relación An = 3n−1 A para todo n ∈ IN.
10. Para la matriz




A=
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0





calcula
(a) An para todo n ∈ IN.
(b) (A + I4 )98 .
11. Calcula el rango de las siguientes matrices y en el caso de ser inversibles calcula su
inversa.


a) A = 


c) A = 


e) A = 


1
−1
−2
1
−2
0
0
−1
1
2

0 2
1 0 
.
1 1 
2 0
−4 2 
.
1 1
−1 2 1
1
3 1
−1 −3 6
−2 −4 1

3
4
2
0



.

12. Discute los siguientes sistemas de ecuaciones lineales.







9
8 1 4
x1




a)  5 −2 4   x2  =  6 
.
x3
1
1 1 0



2
1 1

2 0 
b) A =  4
.
−3 −1 1

1 2 3


d) A =  2 1 3  .
3 2 1


1 2 3 0
 2 4 3 2 

f) A = 

.
 3 2 1 3 
6 8 7 5

6
6 −1 3
x1




0   x2  =  −10 
b)  −6 8
.
x3
4
2 −5 −1
2





1 1
1
x1
1




c)  3 −4 0   x2  =  5 
.
7 −1 −3
x3
8





1 −1 1
x1
3




2 −1   x2  =  5 
d)  5
.
−3 −4 3
x3
1
13. Halla la factorización LU (si existe) de las siguientes matrices A. En caso de no
existir tal factorización razona si es posible encontrar una reordenación B = P A de
las filas de A tal que B sı́ admita factorización LU .

a) A = 





c) A = 

1
2 0
−2 −4 2 
.
0
1 1
2 −1 4 0
4 −1 5 1
−2 2 −2 3
0
3 −9 4

b) A = 





.




d) A = 
5
5
−4
3
−1
0
0

2 1
−6 2 
.
2 1

1 0 0
2 0 0 

.
1 1 3 
0 0 1
14. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales aplicando el método de eliminación de Gauss y utilizando la factorización LU de la matriz de coeficientes A (o
es su caso la matriz reordenada). Compara los dos procedimientos de resolución.












1
2 0
x1
3




a)  −2 −4 2   x2  =  −4 
.
0
1 1
x3
2
5
2 1
x1
12





b)  5 −6 2   x2  =  −1  .
−4 2 1
x3
3


c) 


3
−1
0
0
1
2
1
0
0
0
1
0
0
0
3
1





x1
x2
x3
x4




=


1
−5
1
−1



.

15. Discute en función del parámetro a ∈ IR el sistema
a x + y + z = 1,
x + a y + z = 1,
x + y + a z = 1.
Resuelve en los casos en los que sea posible.
3