Problemas de Matrices y
Sistemas Lineales
Natalia Boal
Francisco José Gaspar
Marı́a Luisa Sein-Echaluce
Universidad de Zaragoza
1. Demuestra que si una matriz A ∈ Mn (K) es idempotente (A2 = A), entonces la
matriz B = I − A también es idempotente y además AB = BA = O.
2. Demuestra que si A es regular y simétrica, también lo es A−1 .
3. Sea A ∈ Mn (K) idempotente. Prueba que si B = 2A − I entonces B 2 = I.
4. Sea A ∈ Mm×n (K). Demuestra que las matrices (AAt ) y (At A) son siempre
simétricas.
5. Demuestra que si A ∈ Mn (K) verifica la relación A2 − A − I = O entonces A es
inversible. Calcula su inversa.
6. Dada A ∈ Mn (K). Prueba que
A2 = I ⇔ (I − A)(I + A) = O.
La matriz A se dice involutiva.
7. Sea A ∈ Mn (K). Se llama traza de A y se denota por Tr(A) a la suma de los
elementos de la diagonal principal de A. Demuestra:
(a) Tr(A + B) = Tr(A) + Tr(B),
(b) Tr(AB) = Tr(BA),
(c) Tr(λA) = λTr(A),
∀A, B ∈ Mn (K).
∀A, B ∈ Mn (K).
∀A ∈ Mn (K), ∀λ ∈ K.
8. Razona si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:
(a) La suma de matrices triangulares es una matriz triangular.
(b) Sean A, B ∈ Mn (K), entonces
• AA0 es simétrica.
1
•
•
•
•
•
•
(A + B)2 = A2 + AB + B 2 .
(A + B)(A − B) = A2 − B 2 .
rang (A + B) = rang A + rang B.
Si A y B son regulares entonces A + B también es regular.
Si AX = BX para todo X ∈ Mn×1 (K) se cumple A = B.
Si AC1 = AC2 entonces C1 = C2 .
9. Demuestra que la matriz
1 1 1
A= 1 1 1
1 1 1
satisface la relación An = 3n−1 A para todo n ∈ IN.
10. Para la matriz
A=
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
calcula
(a) An para todo n ∈ IN.
(b) (A + I4 )98 .
11. Calcula el rango de las siguientes matrices y en el caso de ser inversibles calcula su
inversa.
a) A =
c) A =
e) A =
1
−1
−2
1
−2
0
0
−1
1
2
0 2
1 0
.
1 1
2 0
−4 2
.
1 1
−1 2 1
1
3 1
−1 −3 6
−2 −4 1
3
4
2
0
.
12. Discute los siguientes sistemas de ecuaciones lineales.
9
8 1 4
x1
a) 5 −2 4 x2 = 6
.
x3
1
1 1 0
2
1 1
2 0
b) A = 4
.
−3 −1 1
1 2 3
d) A = 2 1 3 .
3 2 1
1 2 3 0
2 4 3 2
f) A =
.
3 2 1 3
6 8 7 5
6
6 −1 3
x1
0 x2 = −10
b) −6 8
.
x3
4
2 −5 −1
2
1 1
1
x1
1
c) 3 −4 0 x2 = 5
.
7 −1 −3
x3
8
1 −1 1
x1
3
2 −1 x2 = 5
d) 5
.
−3 −4 3
x3
1
13. Halla la factorización LU (si existe) de las siguientes matrices A. En caso de no
existir tal factorización razona si es posible encontrar una reordenación B = P A de
las filas de A tal que B sı́ admita factorización LU .
a) A =
c) A =
1
2 0
−2 −4 2
.
0
1 1
2 −1 4 0
4 −1 5 1
−2 2 −2 3
0
3 −9 4
b) A =
.
d) A =
5
5
−4
3
−1
0
0
2 1
−6 2
.
2 1
1 0 0
2 0 0
.
1 1 3
0 0 1
14. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales aplicando el método de eliminación de Gauss y utilizando la factorización LU de la matriz de coeficientes A (o
es su caso la matriz reordenada). Compara los dos procedimientos de resolución.
1
2 0
x1
3
a) −2 −4 2 x2 = −4
.
0
1 1
x3
2
5
2 1
x1
12
b) 5 −6 2 x2 = −1 .
−4 2 1
x3
3
c)
3
−1
0
0
1
2
1
0
0
0
1
0
0
0
3
1
x1
x2
x3
x4
=
1
−5
1
−1
.
15. Discute en función del parámetro a ∈ IR el sistema
a x + y + z = 1,
x + a y + z = 1,
x + y + a z = 1.
Resuelve en los casos en los que sea posible.
3
0
