Junio 2008 1.2

Matemáticas II
Junio 2008
Problema 1.2. Sean I y A las matrices cuadradas siguientes:
1 0
 ,
I = 
0 1
29 
 17

A = 
 − 10 − 17 
Se pide calcular, escribiendo explícitamente las operaciones necesarias:
a) Las matrices A2 y A3. (1,8 puntos).
b) Los números reales α y β para los que se verifica (I + A)3 = α I + β A.
(1,8 puntos).
Solución:
a)
Cálculo de A2
29   17
29   17 . 17 − 29 . 10 17 . 29 − 29 . 17   − 1 0 
 17
 
 = 
 = 

A2 = A . A = 
 − 10 − 17   − 10 − 17   − 10 . 17 + 17 . 10 − 10 . 29 + 17 . 17   0 − 1
Hemos obtenido que A2 = – I
Cálculo de A3
A3 = A2 . A = – I . A = – A
29   − 17 − 29 
 17
 = 

A3 = − A = −
17 
 − 10 − 17   10
b) Utilizaremos los resultados del anterior apartado A2 = – I y
A3 = – A
(I + A)3 = (I + A)2 (I + A)
(I + A)2 = (I + A) (I + A) = I .I + I . A + A.I + A. A = I + A + A + A 2 = I + 2 A − I = 2 A
(I + A)3 = 2 A(I + A) = 2 AI + 2 AA = 2 A + 2 A 2 = 2 A − 2 I = −2 I + 2 A
por lo que α = −2
y β =2