Junio 2008 1.2
Anuncio
Matemáticas II Junio 2008 Problema 1.2. Sean I y A las matrices cuadradas siguientes: 1 0 , I = 0 1 29 17 A = − 10 − 17 Se pide calcular, escribiendo explícitamente las operaciones necesarias: a) Las matrices A2 y A3. (1,8 puntos). b) Los números reales α y β para los que se verifica (I + A)3 = α I + β A. (1,8 puntos). Solución: a) Cálculo de A2 29 17 29 17 . 17 − 29 . 10 17 . 29 − 29 . 17 − 1 0 17 = = A2 = A . A = − 10 − 17 − 10 − 17 − 10 . 17 + 17 . 10 − 10 . 29 + 17 . 17 0 − 1 Hemos obtenido que A2 = – I Cálculo de A3 A3 = A2 . A = – I . A = – A 29 − 17 − 29 17 = A3 = − A = − 17 − 10 − 17 10 b) Utilizaremos los resultados del anterior apartado A2 = – I y A3 = – A (I + A)3 = (I + A)2 (I + A) (I + A)2 = (I + A) (I + A) = I .I + I . A + A.I + A. A = I + A + A + A 2 = I + 2 A − I = 2 A (I + A)3 = 2 A(I + A) = 2 AI + 2 AA = 2 A + 2 A 2 = 2 A − 2 I = −2 I + 2 A por lo que α = −2 y β =2
