Universidad Industrial de Santander Escuela de Matemáticas ÁLGEBRA LINEAL I 19 de junio de 2024 Nombre: Segundo examen Tema: Matrices Profesor: Iván Moreno Villamil Grupo: F3 Código: INSTRUCCIONES: Conteste de manera ordenada y apoye sus respuestas con las justificaciones adecuadas. No se permite el préstamo de borradores, calculadora, lápiz, lapicero, etc. El profesor no responderá preguntas, porque parte de la evaluación es la comprensión de los enunciados. No se permite el uso de ningún dispositivo electrónico durante el examen. 1. (1.5 puntos) Demostrar que a−b−c 2a 2a 2b b−c−a 2b 2c 2c c−a−b = (a + b + c)3 2. (1.0 puntos) cos(x) sen(x) 0 Demuestre que la matriz A = −sen(x) cos(x) 0 es invertible. Calcule su inversa. 0 0 1 3. (1.5 puntos) Una matriz cuadrada es llamada idempotente si A2 = A. (a) Demuestre que si A es idempotente entonces In − A es idempotente. (b) Demuestre que si A es idempotente entonces 2A − In es invertible y es su propia inversa. (c) Si A es idempotente, ¿cuáles son los posibles valores para det A ? 4. (1.5 puntos) Resuelva dos de los siguientes items. (a) Sean A y B dos matrices antisimétricas de n × n. Demuestre que A + B es antisimétrica. (b) Sea A una matriz de n × n. Demuestre que la matriz 1/2 (A + At ) es simétrica. (c) Sea A una matriz de n × n. Demuestre que la matriz 1/2 (A − At ) es antisimétrica. (d) Si A y B son matrices simétricas entonces (AB)T = BA
