Algebra Lineal I
2022-1
EXAMEN 1
Instrucciones: En todos los problemas hay que justificar las respuestas.
1. La traza de una matriz cuadrada es la suma de los elementos de la diagonal. Si A ∈ Mn×n (F ),
entonces tr A = A1 1 +A2 2 +· · ·+An n . Demuestre que W = {A ∈ Mn×n : tr A = 0} es subespacio
de Mn×n (F ).
(2 puntos)
2. Proponga una base para V = M2×2 (F) y demuestre que en efecto lo es.
(1 punto)
3. Demuestre que β = {x2 + 3x − 2, 2x2 + 5x − 3, −x2 − 4x + 4} es base de P2 (R).
(1 punto)
4. Sea G = {(1, 1, 1), (1, −1, 1), (1, −5, 1), (2, 0, −2)}. Construya un subconjunto β ⊆ G que sea base
de R3 .
(2 puntos)
5. Sea V un espacio vectorial y W1 , W2 6 V . Definimos W1 + W2 como
W1 + W2 = {u + v : u ∈ W1 , v ∈ W2 }.
Demuestre que hW1 ∪ W2 i = W1 + W2 .
(2 puntos)
6. Sea V un espacio vectorial y A1 ⊆ A2 ⊆ V . Demuestre o dé un contraejemplo:
Si A2 es linealmente dependiente entonces A1 también lo es.
Si A2 es linealmente independiente entonces A1 también lo es.
(2 puntos)
Examen 1
Octubre 2021
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