RECUPERACIÓN ÁLGEBRA Abril 2010 1

MATEMÁTICAS II
RECUPERACIÓN ÁLGEBRA
Abril 2010
⎛−3 1 ⎞
⎟⎟ y B = A − kI , donde k es una
1. Se consideran las matrices A = ⎜⎜
⎝ 2 − 1⎠
constante e I la matriz identidad de orden 2.
a) Determina los valores de k para los que B no tiene inversa. (0,75 ptos)
b) Calcula B −1 para k = 1
2
(0,75 ptos)
c) Determina las constantes α, β para que se cumpla A + αA = βI (1,5 p)
⎛1 1 1 ⎞
⎛1 0 ⎞
⎜
⎜
⎟
⎟
⎛ − 2 0 − 1⎞
⎟⎟
2. Dadas las matrices A = ⎜ 0 1 0 ⎟ , B = ⎜ 0 − 1 ⎟ y C = ⎜⎜
⎝ 1 −1 1 ⎠
⎜1 2 2 ⎟
⎜2 1 ⎟
⎝
⎝
⎠
⎠
(1 punto)
a) Calcula B ⋅ C y C ⋅ B
b) Calcula la matriz P que verifica AP − B = C t
(3 puntos)
3. a) Determina razonadamente los valores del parámetro m para los que el
siguiente sistema de ecuaciones tiene más de una solución:
2x + y + z = mx ⎫
⎪
(1 punto)
x + 2y + z = my ⎬
⎪
x + 2y + 4z = mz ⎭
b) Resuelve el sistema anterior para el caso m = 0 y para el caso m = 1. (2 p.)
MATEMÁTICAS II
SOLUCIONES
⎛−3 1 ⎞
⎟⎟ y B = A − kI , donde k es una
⎝ 2 − 1⎠
1. Se consideran las matrices A = ⎜⎜
constante e I la matriz identidad de orden 2.
a) Determina los valores de k para los que B no tiene inversa.
⎛ − 3 1 ⎞ ⎛k 0 ⎞ ⎛ − 3 − k 1 ⎞
⎟⎟ − ⎜⎜
⎟⎟ = ⎜⎜
⎟⎟
B = ⎜⎜
⎝ 2 − 1⎠ ⎝ 0 k ⎠ ⎝ 2 − 1 − k ⎠
−3−k 1
= (−3 − k )(−1 − k ) − 2 = k 2 + 4k + 1
2 −1 −k
− 4 ± 16 − 4
= −2 ± 3
2
B no tiene inversa para k = −2 ± 3
⎛ − 3 − k 1 ⎞ ⎛ − 4 1⎞
⎟⎟ → B = 6
⎟⎟ = ⎜⎜
b) Calcula B −1 para k = 1 → B = ⎜⎜
⎝ 2 − 1 − k ⎠ ⎝ 2 − 2⎠
k 2 + 4k + 1 = 0 ⇒ k =
B −1 =
1 ⎛ B11
⎜
6 ⎜⎝ B12
1⎞
⎛ 1
−
− ⎟
⎜
B21 ⎞ 1 ⎛ − 2 − 1 ⎞ ⎜ 3
6⎟
⎟= ⎜
⎟=
B22 ⎟⎠ 6 ⎜⎝ − 2 − 4 ⎟⎠ ⎜ 1
2⎟
− ⎟
⎜−
3⎠
⎝ 3
c) Determina las constantes α, β para que se cumpla A2 + αA = βI
⎛ − 3 1 ⎞⎛ − 3 1 ⎞
⎛ − 3 1 ⎞ ⎛ 11 − 4 ⎞ ⎛ − 3α α ⎞
⎟⎟ + ⎜⎜
⎟⎟ =
⎟⎟⎜⎜
⎟⎟ + α⎜⎜
⎟⎟ = ⎜⎜
A2 + αA = ⎜⎜
⎝ 2 − 1 ⎠⎝ 2 − 1 ⎠
⎝ 2 − 1 ⎠ ⎝ − 8 3 ⎠ ⎝ 2α − α ⎠
11 − 3α = β ⎫
⎫
⎪ α=4
⎛ 11 − 3α − 4 + α ⎞
⎛β 0⎞ − 4 + α = 0 ⎪
⎪ α=4⎫
⎟⎟ = βI = ⎜⎜
⎟⎟ ⇒
= ⎜⎜
⎬ → 11 − 12 = β⎬ ⇒
⎬
⎝ − 8 + 2α 3 − α ⎠
⎝ 0 β ⎠ − 8 + 2α = 0⎪ 3 − 4 = β ⎪ β = −1⎭
⎭
3 − α = β ⎪⎭
⎛1 1 1 ⎞
⎛1 0 ⎞
⎜
⎜
⎟
⎟
⎛ − 2 0 − 1⎞
⎟⎟
2. Dadas las matrices A = ⎜ 0 1 0 ⎟ , B = ⎜ 0 − 1 ⎟ y C = ⎜⎜
⎝ 1 −1 1 ⎠
⎜1 2 2 ⎟
⎜2 1 ⎟
⎝
⎝
⎠
⎠
⎛1 0 ⎞
⎛−2 0 −1 ⎞
⎜
⎟⎛ − 2 0 − 1 ⎞ ⎜
⎟
⎟⎟ = ⎜ − 1 1 − 1 ⎟
a) B ⋅ C = ⎜ 0 − 1 ⎟⎜⎜
⎜ 2 1 ⎟⎝ 1 − 1 1 ⎠ ⎜ − 3 − 1 − 1 ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎛1 0 ⎞
⎟ ⎛ − 4 − 1⎞
⎛ − 2 0 − 1 ⎞⎜
⎟⎟⎜ 0 − 1 ⎟ = ⎜⎜
⎟⎟
C ⋅ B = ⎜⎜
⎝ 1 − 1 1 ⎠⎜ 2 1 ⎟ ⎝ 3 2 ⎠
⎝
⎠
MATEMÁTICAS II
(
b) Calcula la matriz P que verifica AP − B = C t → AP = C t + B → P = A −1 C t + B
)
⎛ − 2 1 ⎞ ⎛1 0 ⎞ ⎛ − 1 1 ⎞
⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟
C + B = ⎜ 0 − 1 ⎟ + ⎜ 0 − 1⎟ = ⎜ 0 − 2⎟
⎜ − 1 1 ⎟ ⎜2 1 ⎟ ⎜ 1 2 ⎟
⎝
⎠ ⎝
⎠ ⎝
⎠
1 1 1
1 1
1 1
1 0
= 2; A21 = −
= 0; A31 =
= −1
A = 0 1 0 = 1 ; A11 =
1 0
2 2
2 2
1 2 2
t
1
0 0
= 0; A22 =
1
1 2
1
0 1
=
= −1; A23 = −
1
1 2
A12 = −
A13
A
−1
1
1
= 1; A32 = −
0
2
1
1
= −1; A33 =
0
2
1
=0
0
1
=1
1
⎛ 2 0 − 1⎞
⎛ 2 0 − 1⎞ ⎛ − 1 1 ⎞ ⎛ − 3 0 ⎞
⎟ ⎜
⎜
⎜
⎟
⎟
⎟⎜
−1
t
= ⎜ 0 1 0 ⎟ P = A (C + B) = ⎜ 0 1 0 ⎟ ⎜ 0 − 2 ⎟ = ⎜ 0 − 2 ⎟
⎜−1 −1 1 ⎟
⎜−1 −1 1 ⎟ ⎜ 1 2 ⎟ ⎜ 2 3 ⎟
⎠ ⎝
⎝
⎝
⎠
⎠
⎠⎝
3. a) Determina razonadamente los valores del parámetro m para los que el
siguiente sistema de ecuaciones tiene más de una solución:
2x + y + z = mx ⎫ (2 − m)x + y + z = 0 ⎫
⎪
⎪
x + 2y + z = my ⎬ → x + (2 − m) y + z = 0 ⎬ sistema homogéneo
x + 2y + 4z = mz ⎪⎭ x + 2y + (4 − m)z = 0 ⎪⎭
1 ⎞
2−m 1
1
⎛2 − m 1
⎜
⎟
A = ⎜ 1 2−m 1 ⎟ → A = 1 2−m 1
⎜ 1
2 4 − m ⎟⎠
1
2 4−m
⎝
A = (2 − m) 2 (4 − m) + 1 + 2 − 2 + m − 4 + 2m − 4 + m = −m3 + 8m2 − 16m + 9
para que el sistema tenga más de una solución (no solo la trivial) tiene que ser el
determinante de A nulo, rango menor que 3.
− m3 + 8m2 − 16m + 9 = 0 ⇒ m = 1; − m2 + 7m − 9 = 0 → m =
7 ± 13
2
Para esos valores de m el sistema tiene más de una solución.
b) Resuelve el sistema anterior para el caso m = 0 y para el caso m = 1.
Para m = 0
2x + y + z = 0 ⎫
⎛2 1 1 ⎞
⎜
⎟
⎪
x + 2my + z = 0 ⎬ A = ⎜ 1 2 1 ⎟ → A ≠ 0 , solución trivial (x=0, y=0, z=0)
⎜1 2 4 ⎟
x + 2y + 4z = 0 ⎪⎭
⎝
⎠
MATEMÁTICAS II
Para m = 1
x+ y+z = 0
⎫
⎛1 1 1 ⎞
⎜
⎟
⎪
x + y + z = 0 ⎬ A = ⎜ 1 1 1 ⎟ → A = 0 Compatible indeterminado. Cogemos un
⎜1 2 3⎟
x + 2y + 3z = 0 ⎪⎭
⎝
⎠
x + y + z = 0 ⎫ x + y = −λ ⎫
1 1
=1 →
menor distinto de cero:
⎬→
⎬
1 2
x + 2y + 3z = 0 ⎭ x + 2y = −3λ ⎭
⎧x = λ
⎪
y = −2λ → x = λ ⇒ Solución: ⎨y = −2λ
⎪z = λ
⎩