IES PADRE FEIJOO MATRICES y DETERMINANTES

IES PADRE FEIJOO
2º BCT
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
MATRICES y DETERMINANTES
1.- Calcula el valor de los siguientes determinantes:
−1 −1
1
0
A =
a)
4
1
−1 2
2 1
−1 5
1 −1
1
1
0
2
0
1
0
5
6
0
1
b)
1 1 1 1 1
1 2 2 2 2
5 7 6 8 5
3 5 4 6 4
B = 1 2 3 3 3
1 2 3 4 4
c) C = 2 3 2 4 3
1 2 0 2 2
1 2 3 4 5
2 4 2 4 4
a 1 1 1
1 a 1 1
D =
d)
1 1 a 1
1 1 1 a
2.- Calcula los valores de los determinantes aplicando las propiedades:
x+a
a)
A =
b
c
x+b
c
b
x+c
a
a
b)
−1
a+x
x
x
x
x
b+x
x
x
c+x
B =
x
x
C =
c)
x
x
−1 x
x −1
x
x
x
x
x
x
d)
D =
−1
1+ a
1
1
1+ b
1
1
1
1+ c
1
a b c
3.- Resolver la ecuación matricial
∆ ( x) = 0
∆( x) = a
x c = 0
a b
a a
4.- a) Resolver, sin desarrollar
b b
c
5.- Si
a
b
c
d
e
f
g
h
i
c
2
a
2
b
2
c
3
3
b) Demuestra sin desarrollar
yz
x
xz
y
xy
z
3
−i
= 3 , calcular, sin desarrollar
−g
6.- Si A es una matriz cuadrada de orden 3 y
3
x
3
y
3
z
= 0
−h
f +c d +a e+b
3c
a) El determinante de 2 A
a, b, c ∈ R
x
3a
3b
A = 5 . Calcula, indicando las propiedades que utilizas.
b) El determinante de A
4
c) El determinante de A
−1
7.- Se tiene una matriz M cuadrada de orden 3 cuyas columnas son respectivamente C1, C2 y C3 y cuyo determinante vale 2. Se
-1
considera la matriz A cuyas columnas son – C2 , C3 + C2 , 3 C1 . Calcúlese razonadamente el determinante de A en caso de que
exista esa matriz.
2
9.- Calcula
x
y
e
2
A = A , I la matriz unidad de orden n y B = 2 A − I . Calcula B .
8.- Sea A una matriz cuadrada de orden n tal que
para que sea ortogonal la matriz
 35 x 0 


A =  y − 35 0 
 0 0 1


10.- Sean P y Q matrices cuadradas de orden n. ¿Es cierta la siguiente igualdad?
11.- Bajo que condiciones la matriz
12.- Sea
A = 
c
a b
,
d
 a +b b− a

a −b b + a
A= 
( P + Q) ⋅ ( P − Q) = P
2
−Q
2
donde a , b ∈ R será ortogonal.
con a , b, c , d ∈ R y suponemos que la matriz A
cumple las condiciones: A ⋅ A = I y
A = 1,
siendo I la matriz identidad. Calcula los coeficientes de la matriz A .
13.- ¿Cómo tienen que ser dos matrices A y B , para que su producto A ⋅ B sea un escalar? ¿Cómo será entonces B ⋅ A ?
14.- Determina una matriz A cuadrada de orden 2 y
A = − 1 , de forma que su inversa coincida con su traspuesta.
 4 5 − 1


2
3
428
15.- Dada la matriz A = − 3 − 4 1 , calcula A , A y A


− 3 − 4 0 
 2 − 1
16.- Determina los valores de a, b de forma que la matriz
A= 

a b 
A+ A
17.- Halla la matriz A sabiendo que:
−1
18.- Encontrar las matrices que conmutan con la matriz
=
 0 5
5 
 4 0
verifique
A +B =
A
2 2


0 0
2
= A
B + A
−1
=
 2 − 1
 3

− 4 0 
a 1 0


 0 a 1 
0 0 a
sen x
− cos x
0



A= 
cos x
sen x
0
 sen x + cos x sen x − cos x 1 


19.- Sea
¿Para qué valores de x existe la matriz inversa de A ? Calcula dicha matriz inversa.
a + b
b 
 . ¿Para qué valores reales de a y b la matriz A tiene inversa? Determina la matriz A −1 .
a + b 
20.- Sea la matriz A = 
 2a
21.- Calcula el rango de la matriz
¿Para qué valores de t ∈ R
t
0 
 t


A =
t +1 t −1
 2

−
2
t
−
1
0
t
+
3


existe A
−1
según los diferentes valores de t ∈ R .
?
22.- Cuatro alumnos del IES Padre Feijoo están vendiendo rifas para el viaje a Madrid. Tienen dos tipos de rifas, las primeras
cuestan a 1 € y las segundas a 2 €.
Sea a i j = n º de unidades vendidas por el alumno A i de las rifas R j .
Escribe la matriz


A =a
 ,
i j
siendo
a i j = 40 − 2 i − 3 j .
Calcula, mediante un producto de matrices, cuánto ha recaudado cada uno.
23.- Una fábrica produce dos modelos de lavadoras: A y B, en tres terminaciones: N, L, y S. Produce del modelo A: 400 unidades
en la terminación N, 200 unidades en la terminación L y 50 unidades en la terminación S. Produce del modelo B: 300 unidades en la
terminación N, 100 unidades en la terminación L y 30 unidades en la terminación S. La terminación N lleva 25 horas de taller y 1
hora de administración. La terminación L lleva 30 horas de taller y 1,2 horas de administración. La terminación S lleva 33 horas
de taller y 1,3 horas de administración.
a) Representa la información en dos matrices.
b) Hallar una matriz que exprese las horas de taller y de administración empleadas para cada uno de los modelos.
24.- Una firma de automóviles dispone de dos plantas de fabricación, una en España y otra en Inglaterra, en las que fabrica dos
modelos de coches (M1 y M2) de tres colores (X,Y,Z). Su capacidad de producción diaria en cada planta está dada por las siguientes
matrices (A para España, B para Inglaterra):
M1 M2
A =
a)
b)







100 
300 95
250 100
X
Y
200
Z
B =
M1
M2
 190
 200

 150
90
100
80




X
Y
Z
Calcular la representación matricial de la producción total por día.
Si se eleva la producción en España un 20% y se disminuye en Inglaterra un 10%, ¿qué matriz representa la nueva
producción total?