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MATEMÁTICAS II
CONTROL ÁLGEBRA
Enero 2010
1.- a) Halla el rango de la siguiente matriz:
⎛ 2
⎜
⎜ −1
A=⎜
1
⎜
⎜ 1
⎝
−1
0
3 ⎞
⎟
2 ⎟
12 ⎟
⎟
9 ⎟⎠
−2
1
⎛ 1 2 0⎞
⎟⎟ . Calcula a y b para que su rango sea 1.
⎝ a 4 b⎠
b) Dada la matriz B = ⎜⎜
2.- Resuelve el siguiente sistema matricial:
⎛ 0 5 − 4⎞
⎛ 7 1 2 ⎞
⎜
⎜
⎟
⎟
3X − 2Y = ⎜ 5 9 0 ⎟ ; 2X + Y = ⎜ − 6 6 7 ⎟
⎜ 15 − 4 4 ⎟
⎜ 10 − 5 − 2 ⎟
⎝
⎝
⎠
⎠
⎛0 0 0⎞
⎜
⎟
3.- Sea la matriz A = ⎜ 1 0 0 ⎟
⎜0 1 0 ⎟
⎝
⎠
Calcula:
a) Las matrices inversas de las matrices I+A y I-A.
b)
(I + A)(I − A)−1
a b c
4.- Sabiendo que d
e f = 1 y utilizando correctamente las propiedades de los
1 0 1
determinantes, calcula:
a + 2d c + 2f b + 2e
a)
d
2
f
2
e
0
f e d
b) c b
a
1 0 1
PUNTUACIÓN: 2,5 puntos cada ejercicio
3d 3e 3f
c)
a
−1
b
0
c
−1
MATEMÁTICAS II
SOLUCIONES
1)
1
⎛1
⎛ 2 −1 3 ⎞
⎜
⎜
⎟
2 ⎟
⎜−1 0
⎜ −1 0
F
↔
F
A=⎜
1
4
⎜1 − 2
1 − 2 12 ⎟
⎜
⎜
⎟
⎜2 − 1
⎜ 1
1
9 ⎟⎠
⎝
⎝
9 ⎞
⎛1 1
⎛1 1 9 ⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜ 0 1 11 ⎟
⎜ 0 1 11 ⎟
⎜ 0 0 36 ⎟ F3 + 3F4 → ⎜ 0 0 0 ⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜ 0 0 −12 ⎟
⎜ 0 0 − 12 ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
9⎞
1
9 ⎞
⎛1
⎟ F2 + F1
⎜
⎟
2⎟
1
11 ⎟ F4 − F3
⎜0
F3 − F1 → ⎜
12 ⎟
0 −3
3 ⎟ F3 + 3F2 →
⎟ F4 − 2F1 ⎜
⎟
⎜ 0 − 3 − 15 ⎟
3 ⎟⎠
⎝
⎠
de donde rango(A)=3
⎛ 1 2 0⎞
⎟⎟ para que el rango sea 1, las dos filas tienen que ser Linealmente
⎝ a 4 b⎠
b) B = ⎜⎜
Dependientes, es decir una de ellas combinación lineal de la otra, o sea,
proporcionales; para que esto ocurra como el elemento central es 4 = 2 ⋅ 2 , tendrá
que ser a = 1 ⋅ 2 = 2 y b = 0 ⋅ 2 = 0
⎛ 0 5 − 4⎞
⎛7 1 2⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
0 ⎟ y B = ⎜− 6 6 7 ⎟
2) Llamamos: A = ⎜ 5 9
⎜15 − 4 4 ⎟
⎜ 10 − 5 − 2⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
Así, el sistema queda:
3X − 2Y = A⎫
1
1
⎬ y resolviendo, tenemos que X = (2B + A); Y = (3B − 2A)
2X + Y = B ⎭
7
7
7
0⎞
1 0⎞
⎛ 14
⎛2
⎟
⎜
⎟
⎜
Hacemos las cuentas: 2B+A= ⎜ − 7 21 14 ⎟ de donde X = ⎜ − 1 3 2 ⎟
⎜ 35 − 14 0 ⎟
⎜ 5 −2 0⎟
⎠
⎠
⎝
⎝
⎛ 21 − 7 14 ⎞
⎛ 3 −1 2 ⎞
⎟
⎜
⎟
⎜
3B-2A = ⎜ − 28 0
Y = ⎜− 4 0
21 ⎟ , de donde
3 ⎟
⎜ 0
⎜ 0 − 1 − 2⎟
− 7 − 14 ⎟⎠
⎠
⎝
⎝
⎛0 0 0⎞
⎛1 0 0 ⎞
⎛100 ⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
3) a) matriz A = ⎜ 1 0 0 ⎟ ⇒ I + A = ⎜ 1 1 0 ⎟; I − A = ⎜ − 1 1 0 ⎟
⎜0 1 0 ⎟
⎜0 1 1 ⎟
⎜ 0 − 1 1⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
(I + A) −1
(I + A) −1
⎛1 0 0 1 0 0 ⎞
⎛1 0 0 1 0 0 ⎞
⎛1 0 0 1 0 0 ⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
→ ⎜ 1 1 0 0 1 0 ⎟ F2 − F1 → ⎜ 0 1 0 − 1 1 0 ⎟F3 − F2 → ⎜ 0 1 0 − 1 1 0 ⎟ →
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜0 1 1 0 0 1 ⎟
⎜0 1 1 0 0 1 ⎟
⎜0 0 1 1 −1 1⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎛ 1 0 0⎞
⎟
⎜
= ⎜−1 1 0⎟
⎜1 − 1 1 ⎟
⎠
⎝
MATEMÁTICAS II
(I − A) −1
(I − A) −1
⎛ 1 0 0 1 0 0⎞
⎛1 0 0 1 0 0 ⎞
⎛1 0 0 1 0 0 ⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
→ ⎜ − 1 1 0 0 1 0 ⎟ F2 + F1 → ⎜ 0 1 0 1 1 0 ⎟F3 + F2 → ⎜ 0 1 0 1 1 0 ⎟ →
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜ 0 − 1 1 0 0 1⎟
⎜ 0 − 1 1 0 0 1⎟
⎜0 0 1 1 1 1 ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎛1 0 0 ⎞
⎟
⎜
= ⎜1 1 0 ⎟
⎜1 1 1 ⎟
⎠
⎝
b) (I + A)(I − A)
−1
⎛1 0 0 ⎞ ⎛1 0 0 ⎞ ⎛1 0 0 ⎞
⎟⎜
⎜
⎟ ⎜
⎟
= ⎜1 1 0 ⎟ ⎜1 1 0 ⎟ = ⎜ 2 1 0 ⎟
⎜ 0 1 1 ⎟ ⎜1 1 1 ⎟ ⎜ 2 2 1 ⎟
⎠⎝
⎝
⎠ ⎝
⎠
a b c
4.- Sabiendo que d
e f = 1 y utilizando correctamente las propiedades de los
1 0 1
determinantes, calcula:
a + 2d c + 2f b + 2e
a)
d
2
f
2
a b c
e
0
a + 2d b + 2e c + 2f
C2 ↔ C3 = −
d
2
e
0
f
2
2d 2e 2f
= −d e f − d
2 0 2 2
e
0
f
2
= (2º determinante nulo F1 y F2 proporcionales)
a b c
= −2 d e f = −2
1 0 1
f e d
d e f
d e f
b) c b
a C1 ↔ C3 = − a b c = F1 ↔ F2 = a b c = 1
1 0 1
1 0 1
1 0 1
3d 3e 3f
c)
a
−1
b
0
=
d e f
a b c
c = −3 a b c = F1 ↔ F2 = 3 d e f = 3
−1
1 0 1
1 0 1