A I A λ 

MATEMÁTICAS II
CONTROL MATRICES Y DETERMINANTES
4
2
 y sea I la matriz identidad de orden 2.
3 
a) Calcula los valores de λ ∈ ℜ tales que A − λI = 0 (1,25 puntos)
1.- Sea A = 
1
b) Calcula A 2 − 7A + 10I
(1,25 puntos)
1

2.- Considera la matriz A =  m

m


m2 

m 2 
1
1
m2
m
a) Halla los valores del parámetro m para los que el rango de A es menor que 3.(1
punto)
 x  1 
   
b) Resuelve la ecuación matricial A ⋅  y  =  1  para m=-1 (1,5 puntos)
 z  1 
   
 0 − 1 − 2


3.- Sea I la matriz identidad de orden 3 y A =  − 1
0 − 2  . Calcula, si existe,
1
1
3 

2
el valor de k para el cual (A − kI ) es la matriz nula. (2 puntos)
a
b
c
4.- Sabiendo que d
e
f = −2 y utilizando correctamente las propiedades de
g
h
i
los determinantes, calcula:
a + 3d
a)
c + 3f
b + 3e
−d
−f
g
i
(3 puntos)
−e
f
b) c
e
b
d
a
h
i
h
g
a−g
c) d + 2 g
2g
b −h
c −i
e + 2h f + 2i
2h
2i
MATEMÁTICAS II
SOLUCIONES
4
2
 y sea I la matriz identidad de orden 2.
3 
a) Calcula los valores de λ ∈ ℜ tales que A − λI = 0
1.- Sea A = 
1
4
2  λ 0   4 − λ 2 
4−λ 2
 − 
 →
 = 
= (4 − λ )(3 − λ ) − 2
3  0 λ   1 3 − λ 
1 3−λ
(4 − λ )(3 − λ ) − 2 = 0 ⇒ 12 − 3λ − 4λ + λ2 − 2 = 0 ⇒ λ2 − 7 λ + 10 = 0
5
7 ± 49 − 40 7 ± 3
λ=
=
=
Para λ = 2 o λ = 5
2
2
2
A − λI = 
1
4
2  4 2   18 14 

=

3  1 3   7 11 
14   28 14   10 0   0
−
+
=
11   7 21   0 10   0
b) Calcula A 2 − 7A + 10I ; A 2 = 
1
 18
A 2 − 7A + 10I = 
 7
0
 =O
0 
2.- a) Halla los valores del parámetro m para los que el rango de A es menor que 3.
1
1
1
2
A= m
m
m
m
1
1
m =m 1
m
1
1
2
m2
2
m 2 (m 2 − 2m + 1) = 0 ⇒ m =
1
m = m 2 (m 2 + m + 1 − m − m − m ) = 0
m
0
→ r ( A ) < 3 para m=0 ó m=1
1
 x  1 
   
b) Resuelve la ecuación matricial A ⋅  y  =  1  para m=-1
 z  1 
   
1 1
1 
x 


 
−1
 y  = A 1  ; A = − 1 1
1 
z 
−1 −1
 
 
1 1
−1
A11 =
= 2; A12 = −
−1 1
−1
A22 =
1
1
−1
1
= 2; A23 = −
1
1
1 = 1 − 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 4 ; A −1 =
1
1
1
= 0; A13 =
1
−1 −1
= 0; A31 =
−1
1
−1 −1
1
1
1
1
= 2; A21 = −
= 0; A32 = −
1
1

0
 −

2 − 2 0   2 2
 
1 1
1
1
1
−1
A33 =
= 2 → A =  0 2 − 2 =  0
−
−1 1
4
2 2 


2 0 2   1
1
0


2
2
1
(Adj ( A ) )t
4
1
1
−1
1
1
1
−1
1
= −2;
= −2;
MATEMÁTICAS II
1
1

0
 −
 1   0 
x   2 2
  
1
1    
− 1  =  0  ⇒
y  = 0
2 2    
z  
  1
1  1   1 
0


2
2
x = 0

y = 0
z = 1

0 − 1

3.- Sea I la matriz identidad de orden 3 y A =  − 1
0
1
1

2
el valor de k para el cual (A − kI ) es la matriz nula.
0 − 1

A − kI =  − 1 0
1
1

− 2 k
 
− 2  − 0

3   0
− k

2
( A − kI ) =  − 1

 1
−1
0  − k
 
0  = −1
 
k  1
0
k
0
− 2  − k

− 2  − 1

3 − k  1
−k
1
− 2

− 2  . Calcula, si existe,
3 
−2 

−2 

3−k 
−1
−k
1
2
− 2   k − 1

− 2  =  2k − 2
 
3 − k   2 − 2k

−1
−k
1



4k − 4

k 2 − 6k + 5 
2k − 2
4k − 4
2
k −1
2 − 2k
Observamos que para k = 1 ⇒ ( A − kI ) 2 = O
a
b
c
4.- Sabiendo que d
e
f = −2 y utilizando correctamente las propiedades de
g
h
i
los determinantes, calcula:
a)
a + 3d
c + 3f
b + 3e
−d
−f
−e
g
i
h
a + 3d
c + 3f
d
f
g
i
=−
b + 3e
e
a
c
b
= −d
f
e −d
f
e =
g
i
h
i
h
h
a
c
b
a
b
c
= −d
f
e − 0( F2 = 3F1 ) = ( C 2 ↔ C 3 ) + d
e
f = −2
g
i
h
g
h
i
f
b) c
e
b
c
d
a = ( F1 ↔ F2 ) − f
b
a
a
b
c
e
d = ( C3 ↔ C1 ) + d
e
f = −2
i
h
g
h
g
h
i
a−g
c) d + 2 g
2g
i
b −h
c −i
e + 2h f + 2i =
2h
2i
a−g
g
b −h
c −i
d
e
f
2g
2h
2i
a−g
+ 2g
2g
b −h
2h
2h
3d 3f 3b
g
c −i
2i =
2i
MATEMÁTICAS II
a
b
= d
e
2g
2h
c
−g
f
2i
+ d
2g
−h
−i
a
e
c
=2 d
2h
2i
g
Dos filas proporcionales
b
c
e f
h
i
= −4