Matriz Inversa.∗

∗
Matriz Inversa.
1.
Transpuesta de una matriz
Si A es una matriz m x n, entonces la transpuesta de A, denotada por AT , se dene como la matriz n x m que
resulta de intercambiar los renglones y las columnas de A.
Si
A=
a11
a21
a12
,
a22
a11
a12
AT =
a21
a22
En general (aij )T = (aji ). La transpuesta de la suma de dos matrices es la suma de sus transpuestas; es decir,
(A + B)T = AT + B T .
Ejemplo:
Sean las matrices:
A=
2
4
9
,
3
B=
2
9
4
,
3
BT =
2
4
9
,
3
5
2
1
7
Sean entonces las matrices transpuestas:
AT =
7
2
1
5
Es posible vericar que (A + B)T = AT + B T .
Propuesto:
Sean las matrices:
A=
B=
1
7
5
2
Determinar: AB, (AB)T , AT , B T , B T AT . Vericar que (AB)T = B T AT .
2.
Matriz identidad
Si una matriz diagonal de orden n tiene todas sus entradas diagonales iguales a 1, entonces la llamaremos matriz
identidad de orden n y la denotaremos por la letra I.
1
0
0
,
1

1
0
0
0
1
0

0
0 ,
1

1
0

0
0
0
1
0
0
0
0
1
0

0
0
.
0
1
las anteriores matrices cuadradas que tienen unos en la diagonal principal y ceros fuera de ella, son ejemplos de
matrices identidad.
La matriz identidad actúa exactamente como el número 1 en la multiplicación ordinaria.
IA = AI = A,
3.
BI = IB = B.
Matriz inversa
Consideremos el sistema
a11 x1 + a21 x2 = b1
a12 x1 + a22 x2 = b2
∗ Eduard Rivera Henao. 2014-03-08. Álgebra Lineal.
1
4 Teorema
2
de dos ecuaciones lineales en x1 , y x2 . Este sistema se puede escribir como una sola ecuación , usando la notación
de vector y matriz, veámos:
a
(x1 , x2 ) 11
a21
a12
a22
= (b1 , b2 ).
Así, XA=b. Ahora, recordemos que en una ecuación algebraica de la forma xa = b, es posible despejar la variable
1
−1
. Donde a−1 es el inverso de a bajo la multipplicación. La ecuación XA=b es una
x ; así x =
a b, x = ba
ecuación vector-matricial pero la división de matrices no está denida para intentar despejar el vector X, pero sí
podemos hablar de matrices inversas. Así, decimos que la matriz cuadrada A de orden n es invertible previsto que
exista una matriz cuadrada B de orden n tal que:
AB = BA = I
Donde I es la matriz identidad.
Tenemos entonces la ecuación vector-matricial XA=b. Así X = bA−1 , donde A−1 es la matriz inversa de A
bajo la multiplicación.
Si A es una matriz de orden n y si A−1 es una matriz con la propiedad de que AA−1 = A−1 A = I, entonces
−1
A es única.
Ejemplo:
Si
A=
1
,
0
3
−2
Determinar una matriz B. Si tal matriz existe, con la propiedad de que AB = BA = I.
Sea
B=
hallaremos los valores p,q,r y
s
p
r
q
,
s
tales que AB = I. Así, B = A−1 .
AB = I
q
1 0
=
s
0 1
3q + s
1 0
=
−2q
0 1
1
p
0
r
3
−2
3p + r
−2p
Igualando los elementos correspondientes de las matrices, tendremos: 3p + r = 1, 3q + s = 0, −2p = 0, −2q =
−1. Así, p = 0, q = − 21 , r = 1, s = 32 ; por lo tanto:
B=
− 21
0
1
,
3
2
donde B = A−1 , ya que AA−1 = I.
3
−2
1
0
0
1
Así,
A
4.
−1
− 12
3
2
0
=
1
=
− 21
3
2
1
0
0
1
.
Teorema
Si A es una matriz cuya inversa A−1 existe, entonces la inversa de A−1 existe y (A−1 )−1 = A.
4 Teorema
3
Propuesto:
Vericar que AA−1 = I, donde
0
1
1
0
, A−1 =
1
0
1
1
0
1
−1
,B =
1
−1
A=
y que BB −1 = I, donde
B=
−1
,
1
0
.
1
Mostrar además que se cumple (AB)−1 = B −1 A−1 .
Buscaremos la forma de hallar la matriz inversa de A de una manera práctica; para esto recordaremos que el
determinante de la matriz
a
c
A=
es el número real denotado por |A| o por
y denido por
a
c
a
|A| = c
Para una matriz
b d
b = ad − bc.
d
A=
buscaremos una matriz
b
d
a
c
b
d
x y
B=
,
z u
tal que AB = I, es decir, hallaremos A−1 , donde B = A−1 . Veámos:
Si AB = I, entonces
a
c
b
d
x y
z u
=
1
0
0
.
1
Multiplicando tendremos:
ax + bz
cx + dz
ay + bu
1
=
cy + du
0
0
1
Igualando tendremos las ecuaciones: ax + bz = 1, ay + bu = 0, cx + dz = 0, cy + du = 1. De las ecuaciones
igualadas a cero
dz
podemos encontrar que: y = − bu
a , x = − c , reemplazando en las ecuaciones igualadas a uno, tendremos:
c
a
−b
−d
z = −ad+bc , u = −bc+ad . Por lo tanto: y = −bc+ad , x = −ad+bc
. Así,
A
−1
=
−d
−ad+bc
c
−ad+bc
−b
−bc+ad
a
−bc+ad
A−1 =
1
|A|
1
=
ad − bc
d −b
−c a
d −b
.
−c a
Consideremos dos casos:
Si |A| = 0; no existen valores de x,y,z,u que satisfagan el sistema, excepto x = y = z = u = 0, pero entonces
la matriz será igual a la matriz cero, y la matriz cero no tiene inversa. Por lo tanto, si |A| = 0, la matriz A
no tendrá inversa.
Si |A| =
6 0, entonces
A
−1
1
=
|A|
d −b
.
−c a
5 Teorema
5.
4
Teorema
La matriz
A=
a11
a21
a12
a22
tiene inversa A−1 si y solo si, |A| =
6 0. Por lo tanto:
A
−1
1
=
|A|
a22
−a21
−a12
.
a11
Ejemplo:
Resolveremos el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la matriz inversa:
Consideremos el sistema
3x1 + 4x2 = 7
x1 − 2x2 = 9
Si escribimos una ecuación vector-matricial equivalente de la forma
(x1 , x2 )
3
4
Así nuestra matriz
1
−2
A=
XA=b,
tendremos:
= (7, 9).
1
,
−2
3
4
para la cual podremos hallar una inversa si |A| =
6 0. Veámos:
A−1 =
1
−10
−2
−4
−1
.
3
Resolver el sistema es despejar el vector X de la ecuación vector-matricial
ambos lados de la igualdad por la inversa de A, así:
XA
Para esto multiplicaremos en
=b
−1
= bA−1
XI
= bA−1
X
= bA−1
XAA
XA=b.
Veámos:
(x1 , x2 )
3
4
3 1
(x1 , x2 )
= (7, 9)
4 −2
1
1
−2 −1
−2 −1
1
= (7, 9)
−2
−10 −4 3
−10 −4 3
1
1 0
−2 −1
(7, 9)
(x1 , x2 )
=
0 1
−4 3
−10
1
(x1 , x2 ) =
(−14 − 36, −7 + 27)
−10
(x1 , x2 ) = (5, −2)
Así, x1 = 5, x2 = −2. Valores que satisfacen el sistema de ecuaciones lineales.
6 Ejercicios propuestos
6.
5
Ejercicios propuestos
1. Hallar el determinante de la matriz A; si |A| =
6 0, hallar la matriz A−1 y vericar que AA−1 = I.
a
b
c
)
)
1
A=
5
3
.
7
4
A=
5
3
.
2
)
A=
d
)
A=
5 1
.
10 2
9
3
2
.
1
2. Resolver el sistema dado, escribiendo una ecuación vector-matricial equivalente de la forma
a
XA=b.
)
2x1 − 3x2 = 7
−5x1 + 4x2 = 13
b
)
3x1 + 4x2 = 10
7x1 − 2x2 = 12
c
)
5x1 + 8x2 = 6
4x1 − 3x2 = −2
d
)
7x1 + 4x2 = 10
2x1 + 5x2 = −1
3. Mostrar que para
A
de orden 2, |kA| = k2 |A|, donde k es un número real.
4. Sea A una matriz de orden 2, con |A| =
6 0, mostrar que el determinante de A−1 es igual al recíproco del
1
.
determinante de A; es decir, mostrar que |A−1 | = |A|
5. Mostrar que si las matrices A y B son de orden 2, con |A| =
6 0, |B| =
6 0, se cumple (AB)−1 = B −1 A−1 . Tener
en cuenta que |A||B| = |AB|.
6. Vericar que para
A=
Se cumple (AB)−1 = B −1 A−1 .
2
5
3
1
,B =
8
2
−2
−3