c b a 2

EXAMEN DE MATEMÁTICAS – 1ª EVALUACIÓN – 2º BACH. – 28-X-2011
a b c
1) Sabiendo que A = d e
f = 2 , calcula, haciendo uso de las propiedades de los
g h i
determinantes:
c
(a)
− 3A y A
−1
(1 punto)
(b)
b
a
f e d
2i 2h 2g
(0,75 puntos)
a b a−c
(c)
d e d−f
g h g −i
(0,75 puntos)
2) Resuelve la ecuación matricial
2 1 1 


A = 1 3 1
 1 1 2


A ⋅ X = B ⋅ X + C , donde:
 1 1 1


, B =  1 1 1
 0 2 1


2 0 1 


y C = 1 0 2 .
 1 1 0


(2,5 puntos)
1 3 k


3) Dada la matriz A =  k 1 3 
1 7 k


(a) Estudia el rango de A en función de los valores del parámetro k . (1,25 puntos)
(b) Para k = 0 . Halla la matriz inversa de A .
(1,25 puntos)
4
0 2
1 −1
 , B = 
 Y C = 
1
 10
2 4
2
4) Dadas las matrices A = 
−4
 , se pide:
- 4 
(a) Resuelve la ecuación matricial: A · X · B= C, donde X es una matriz de orden
2×2.
(b) Resuelve el sistema
2×2.
(1,25 puntos)
2X + 2Y = A
 , siendo X e Y dos matrices de orden
4X + 3Y = B
(1,25 puntos)
SOLUCIONES
a b c
1) Sabiendo que A = d e
f = 2 , calcula, haciendo uso de las propiedades de los
g h i
determinantes:
− 3a − 3b − 3c
a b c
3
− 3e − 3f = (− 3) d e f = −27 ⋅ 2 = −54
− 3g − 3h − 3i
g h i
(a) − 3A = − 3d
1
1
=
A 2
A −1 =
c
b
a
c
b
a
a b c
e d = 2 f e d = (C1 ↔ C3 ) − 2 ⋅ d e f = −2 ⋅ 2 = −4
2i 2h 2g
g h i
i h g
(b) f
a b a−c
a b a
a b −c
a b c
d − f = d e d + d e − f = 0(C1 = C3 ) − d e f = −2
g h g −i
g h g g h −i
g h i
(c) d e
2 1 1 


2) A =  1 3 1 
 1 1 2


 1 1 1
2 0 1 




, B =  1 1 1
y C = 1 0 2 .
 0 2 1
 1 1 0




−1
A ⋅ X = B ⋅ X + C → A ⋅ X − B ⋅ X = C → (A − B) ⋅ X = C → X = (A − B) C
2 0 0 
 1 0 0



1
−1
M = A − B = 0 2 0 ⇒ M = 2 → M = 0 1 0 
2

1 −1 1


 − 2 1 2


1 0 0 


1


= 0
0
2


 − 1 1 1 
2






1 0 0 
2 0 1 
 2 0 1 




1


1

−1
X = (A − B ) C =  0
0  1 0 2 = = 
0 1 
2
2
  1 1 0 



 − 1 1 1 
 − 1 1 0 
2


 2

1 3 k


3) Dada la matriz A =  k 1 3 
1 7 k


(a) Estudia el rango de A en función de los valores del parámetro k .
1 3 k
A = k 1 3 = k + 9 + 7k 2 − k − 3k 2 − 21 = 4k 2 − 12 = 0 → 4k 2 = 12 → k = ± 3
1 7 k
 1 3
3


1 3
Para k = 3 → A =  3 1 3  →
≠ 0 → r(A) = 2
3 1


3
 1 7
 1
3 − 3


1 3
Para k = − 3 → A =  − 3 1
3  →
≠ 0 → r(A) = 2
− 3 1


7 − 3
 1
Para k ≠ ± 3 → A ≠ 0 → r(A) = 3
(b) Para k = 0 . Halla la matriz inversa de A .
1
3 0
0 1 3 = 9 − 21 = −12 → A −1
1 7 0
 7

9   4
 − 21 0

1 
1
=−  3
0 − 3 =  −
12 
  4
−
1
−
4
1
1



 12
0 2

2 4
4) Dadas las matrices A = 
4
1 −1
 y C = 
B = 
1
 10
2
3

4
1 
0
4 
1
1 
− 
3
12 
0
−
− 4
 , se pide:
4 
(a) Resuelve la ecuación matricial: A · X · B=C, donde X es una matriz de orden
2 × 2 . A ⋅ X ⋅ B = C → A −1 A ⋅ X ⋅ B ⋅ B −1 = A −1 ⋅ C ⋅ B −1
A = −4; A −1
B = 3; B −1

− 1
X=
 1
2
1

− 1

1  4 − 2
2
 → A −1 = 
= − 
4 − 2 0 
 1 0 
2

 1

1
1

1
 → B −1 =  3
= 
3  − 2 1
 − 2
 3
1 
 1
  4 − 4 
3
2 
 10 − 4  ⋅  2

 −
0 

 3
1

3
1

3
1

3  =  − 1 1 
1   2 0 

3
(b)
2X + 2Y = A
− 4X − 4Y = −2A
→
 − Y = −2A + B → Y = 2A − B
4X + 3Y = B
4X + 3Y = B

0
Y = 2
2
2  1 − 1   0
=
−
4   2 1   4
4  1 − 1   − 1 5 
=

−
8   2 1   2 7 
2X + 2Y = A
1
 → 2X = A − 2Y = A − 2(2A − B) = −3A + 2B → X = (2B − 3A)
4X + 3Y = B
2
X=
0
1  1 − 1 
 − 3
2
2   2 1 
2
2  1  2 − 2   0
−
 = 
4  2  4 2   6
6  1  2 − 8   1 − 4 

=
 = 
12  2  − 2 − 10   − 1 − 5 