FASCÍCULO: MATRICES Y DETERMINANTES

FASCÍCULO:
MATRICES Y DETERMINANTES
Con el avance de la tecnología y en especial con el uso de computadoras
personales, la aplicación de los conceptos de matriz y determinante ha cobrado
alcances sin precedentes en nuestros días.
El tema Álgebra de matrices apareció por primera ocasión en una memoria de
1858 y surgió de observaciones sobre el modo en que se combinan las
transformaciones lineales de la teoría de los invariantes algebráicos. El autor
de esta memoria es el inglés Arthur Cayley (1821 – 1895) nacido en Surrey, y
descendiente de una antigua familia de Yorshire. Cayley inició sus estudios
universitarios, en el Trinity College de Cambridge. Sus compañeros lo
consideraban como “un simple matemático”.
Para ilustrar el trabajo de Cayley sobre discriminantes y su invariancia, se
presenta en el siguiente caso de uso de transformaciones.
Sean dos transformaciones del tipo (la flecha debe leerse como “es
reemplazado por”):
y
px q
rx s
x
Pz Q
Rz S
la segunda de las cuales ha de aplicarse a la x de la primera. Se obtiene
y
Considerando
sólo
los
pP
rP
qR z
sR z
coeficientes
representándolas en forma rectangular:
pQ qS
rQ sS
de
las
tres
transformaciones
y
p q
P Q
pP
qR
pQ
qS
r
R S
rP
sR
rQ
sS
s
Se observa que el resultado de realizar sucesivamente las dos primeras
transformaciones podría haberse expresado mediante la siguiente regla
multiplicación
pq
PQ
pP
qRpQ
qS
rs
RS
rP
sRrQ
sS
donde los renglones del arreglo de la derecha se obtienen, aplicando los
renglones del primer arreglo de la izquierda sobre las columnas del segundo.
Los arreglos de esta forma, con cualquier tipo de elementos en los renglones y
en las columnas, se denominan matrices.
En diferentes épocas y por el trabajo de muchos matemáticos surgió el
concepto y la teoría de los determinantes, entre otros se pueden citar a Cramer
(1704-1752), Lagrange (1736-1813), Bezout (1739-1783), Cauchy (1789-1857).
Éste último presentó en 1812 un trabajo sobre determinantes en el cual
introdujo el nombre de determinante, usó la notación que se emplea en la
actualidad del doble subíndice para un arreglo cuadrado de números, definió el
arreglo de menores a un arreglo dado, mostró la manera de calcular el
determinante empleando para dicho cálculo cualquier renglón o columna.
La teoría actual presenta el concepto de determinante como una consecuencia
de la teoría de matrices. Sin embargo como ya se mencionó anteriormente el
concepto de determinante es más antiguo que el concepto de matriz.
Etimológicamente la palabra matriz proviene de madre. El hijo nació antes que
la madre.
Definición
Una matriz es una expresión de la forma
Dicho de otra manera es un arreglo rectangular de números dispuestos en
renglones y columnas.
Los renglones son los arreglos horizontales y las columnas los arreglos
verticales
renglones
Columnas
Algunas de operaciones que se realizan con matrices son binarias por ejemplo:
Adición
Sean
dos matrices del mismo orden (mxn) con elementos
en los complejos. La suma de A más B se define como:
para
y
Sustracción
Sean
dos matrices del mismo orden (mxn) con elementos
en los complejos. La suma de A menos B se define como:
para
y
Multiplicación de una matriz por un escalar
Sean
una matriz de orden (mxn) con elementos en los complejos y β
un escalar complejo. La multiplicación de una matriz por un escalar βA se
define como:
para
y
Multiplicación de matrices
Sean
dos matrices con elementos en los complejos, de
orden qxn y nxp respectivamente. La multiplicación de A por B se define como:
donde P es una matriz de orden qxp y
para
1.
y
Indicar cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas y cuáles
son falsas. Justifique su respuesta.
a) Las matrices son conformables para la adición si son del mismo
orden.
b) Si el producto AB = 0 entonces A = 0 y/o B = 0.
c) Sólo las matrices cuadradas tienen transpuesta.
d) AB = BA si y sólo si A y B son matrices cuadradas.
e) (AB)T = BT AT para cualquier par de matrices conformables para el
producto.
f)
A(B+C) = BA + CA se cumple siempre que las matrices A, B y C sean
conformables para el producto.
SOLUCIÓN:
a) Las matrices son conformables para la adición si son del mismo
orden.
VERDADERA.
Por definición las matrices del mismo orden son conformables para la
adición.
b) Si el producto AB = 0 entonces A = 0 y/o B = 0
FALSO.
Demostración por contra ejemplo:
AB
1 0
0 0
0 0
2 0
2 2
0 0
A
0
y
B
0
No se cumple para todas las matrices.
c) Sólo las matrices cuadradas tienen transpuesta.
FALSO.
Todas las matrices tienen transpuesta
A
aij ;
i 1,2,...,m
j 1,2,...,n
Si
AT
a ji ;
j 1,2,...,n
i 1,2,...,m
d) AB = BA si y sólo si A y B son matrices cuadradas.
FALSO.
Frecuentemente AB
BA. Como ejemplo:
AB
1 0
0 2
1 0
3 0
1 0
6 0
BA
1 0
3 0
1 0
0 2
1 0
3 0
AB
BA
e) (AB)T = BT AT para cualquier par de matrices conformables para el
producto.
VERDADERO.
Demostración:
Sean A = a ij y B
b ij dos matrices con elementos en C, de mxn y
nxq respectivamente; y sean AT = sij ; y BT
dij sus respectivas
transpuestas. Entonces.
n
AB p ij ; donde : p ij
a ik b kj ;
k 1
i
j
1,...,m
1,..., q
de donde
n
AB T
a ik b kj ;
k 1
i 1,...,m
j 1,...,n
n
AB T
a ik c kj
k 1
AB
f)
T
BT A T
A (B+C) = BA + CA se cumple siempre que las matrices A, B y C sean
conformables para el producto A(B+C) = BA + CA.
FALSO.
Por contra ejemplo:
Si
A
AB C
1 0
1 0
2 0
B
0 3
;
C
1 0
2 0
1
3
1 0
0 3
0
1
1 0
3 0
1 0
1 2
3 0
3 0
4.
;
1
0
0
1
... 1
Calcular la inversa de la matriz:
A=
1
0
3
0
1
2
1
1
2
SOLUCIÓN:
1
0
0
1
3 1 0 0
2 0 1 0
1
0
0
1
3
2
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
3
2
1
0
0
1
0
0
1
1
2 0 0
0
1
1
1
0
1
0
0
1
1
1
1
R1(-1) + R3
1
R2(-1) + R3
R3(2) + R2
1 0 3
0 1 0
1
2
0
1
0
2
1 0 0
0 1 0
4
2
3
1
3
2
0 0
1
1
1
0 0
1
1
1
1
4
3
3
2
1
2
1
1
1
1
R3(-3) + R1
A
1
comprobación
A 1A
4
3
3
1
0
3
1 0 0
2
1
1
1
2
1
0
1
1
1
2
2
0 1 0
0 0 1
1 0 0
AA
5.
1
0 1 0
0 0 1
Determinar la inversa de la matriz A, si se sabe que A = PQP-1 donde:
P
2 0 0
1 1 0 ;
0 0
Q
1
et
0
0
0
et
0
0
0 3e t
SOLUCIÓN:
A = PQP-1
AP = PQ
APQ-1 = PQQ-1
APQ-1 = P
APQ-1P-1 =I
A-1 = PQ-1P-1
Obteniendo P-1
P
I
1 0 0 12
1 1 0 0
0
0
1
1
0 0
0
1
2 0 0 1 0 0
1 1 0 0
0 0
1 0
10 0
1
1 0 0
2
1
1 0
2
0 0 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
e
Q
1
t
0
0 e
A
-1
A
t
1
3
e
e
t
0
0
t
0
0
e
0 e
0
0
t
3
1
1
0
0
2
0
0
0
2
0
t
0
0 e
0
9.
0 por ser diagonal
t
0
1
t
2 0 0
1
1 1 0
2
0 0 1
e
1 0 0
2
1
1 0
2
0 0 1
0
0 e
0
P
1 0
t
3
Sea la ecuación matricial:
PDP-1 = A
En donde:
A
1 2
5 4
; P
2
5
1
1
a)
determinar la matriz D que satisface a la ecuación anterior,
b)
obtener el determinante de P-1.
SOLUCIÓN:
a)
P
1
1
7
1 1
;
5 2
A
1 2
; P
5 4
2
5
1
1
P 1AP
D
6
0
D
0
1
b)
1
det P-1 = 7
10. Si A y B son dos matrices simétricas de orden n, demostrar que A + B es
simétrica.
SOLUCIÓN:
Para dos matrices cualesquiera conformables para la adición se cumple
que:
A
B
T
AT
BT
si A y A son simétricas, entonces:
AT = A
BT = B
por lo que
A
B
T
A
B
en consecuencia
A + B es simétrica
q.e.d.
11. Sea la ecuación matricial
AX – BT = C – X
donde:
0
A
2
2
4
;
B
4
1
2
2
;
C
4
1
1
8
a) despejar la matriz X,
b) obtener la matriz X que satisface a la ecuación.
SOLUCIÓN:
a)
X
C
BT
I X
C
BT
X
A
I
AX
A
1
C
BT
b)
A
I
1
2
2
5
obtención de (A + I)-1
1
2 1 0
2
5
0 1
R1(2) + R2
1
0
2 1 0
1
2 1
R2(2) + R1
1 0 5 2
0 1 2 1
A I
5 2
1
2 1
0 1
BT
C
0 6
X
5 2
2 1
0 1
0 6
X
0 17
0 8
12. Sean las matrices:
A
2
1
;
3 1
B
7 8
; C
6 2
3 1
obtener la matriz Y, si existe, tal que se verifique la ecuación
AYB=C
SOLUCIÓN:
A
Y
2x1
B
=C
2x2
2x2
1x2
A es una matriz singular (que no tiene inversa), por lo que no puede
despejarse la matriz Y. Para resolver la ecuación matricial se procede de
la siguiente manera:
Se supone Y
2
1
y1 y 2
y 1 y 2 y se sustituye A, B, C, Y en la ecuación matricial.
3 1
6 2
7 8
3 1
por la propiedad de asociatividad en multiplicación de matrices
2y 1
y1
2y 2
y2
6y 1
3y 1
3 1
7 8
6 2
3 1
14y 2
7y 2
2y 1
y1
16y 2
8y 2
6 2
3 1
por igualdad de matrices
6y 1
14y 2
6
2y 1
16y 2
2
3y 1
7y 2
3
y1
8y 2
1
resolviendo el sistema de ecuaciones
3y 1
7y 2
3
y1
8y 2
1
por el Método de Gauss
1 8 1
1
8 1
3 7 3
0
17 0
R1
3
R2
R2
1 8 1
1 0 1
0
0
1
17
1 0
R2
del primer renglón
y1 = 1
del segundo renglón
y2 = 0
por lo tanto:
Y
1 0
13. Sea la ecuación matricial
AZ + ZB = C
donde:
8
R1
1 0
3 2
A
1 0
; B
3
0
0
3
;
C
Obtener la matriz Z que satisface a la ecuación.
SOLUCIÓN:
A Z + Z (-3I)
=C
A Z + (-3I)Z
=C
(A – 3I) Z
=C
= (A – 3I)-1C
Z
0
1
A 3I
A 3I
2
3
1 3 2
2 1 0
1
Z
1 3 2
2 1 0
Z
1 2 2
2 2 4
Z
1 1
1 2
2
2
14. Para las siguientes matrices:
A
3
0
3
0
3
2 ;
1
1
4
2
B
y la ecuación X A – BT = 2X
1
1 0
0 3
4
5
2
4
2
5
a) obtener la expresión X, en términos de A y B.
b)
obtener los elementos de la matriz X que satisface a la ecuación.
SOLUCIÓN:
a)
XA
2X
BT
2I
BT
X
BT A
XA
1
2I
b)
A
2I
A 2I
1
X
X
3
0
1
0
3
1
3
2
4
4
2
1
3
1
1
3
2
1
4
2
1
2 1 0
1 0 3
6
1
2
0
0
5
0
3
1
1
0
2
0
0
0
2
3
2
1
4
0
15. Obtener la matriz X que satisface la ecuación matricial:
AXB
1
4XB
1 T
C
donde:
A
1 2
3
1
; B
5
3
2
1
;
C
1
2
3
5
1
0
1
0
1
1
3
2
2
SOLUCIÓN:
AXB
1
AXB
4 XB
1
1 T
4 XB
AX
C
1
4X
CT
C TB
X
A
4I
C TB
1
4I C T B
A
3
2
3
3
1
3
5
3
1 0
2
5
2
1
0
3
2
3
3
X
;
A
1
3
A I
C
1
4I
1
3
1
3
2
3
3
1
5 2
2 1
BT
0 1
0 6
X
5 2
2 1
X
0 17
0 8
0 1
0 6
12. Sean las matrices:
A
2
1
;
B
3 1
7 8
; C
6 2
3 1
obtener la matriz Y, si existe, tal que se verifique la ecuación
AYB=C
SOLUCIÓN:
A
Y
2x1
B
=C
2x2
2x2
1x2
A es una matriz singular (que no tiene inversa), por lo que no puede
despejarse la matriz Y. Para resolver la ecuación matricial se procede de
la siguiente manera:
Se supone Y
2
1
y1 y 2
y 1 y 2 y se sustituye A, B, C, Y en la ecuación matricial.
3 1
6 2
7 8
3 1
por la propiedad de asociatividad en multiplicación de matrices
2y 1
y1
6y 1
3y 1
2y 2
y2
3 1
7 8
6 2
3 1
14y 2
7y 2
2y 1
y1
16y 2
8y 2
6 2
3 1
por igualdad de matrices
6y 1
14y 2
6
2y 1
16y 2
2
3y 1
7y 2
3
y1
8y 2
1
resolviendo el sistema de ecuaciones
3y 1
7y 2
3
y1
8y 2
1
por el Método de Gauss
1 8 1
1
8 1
3 7 3
0
17 0
R1
3
R2
R2
1 8 1
1 0 1
0
0
1
17
1 0
R2
del primer renglón
y1 = 1
del segundo renglón
y2 = 0
por lo tanto:
Y
8
R1
1 0
13. Sea la ecuación matricial
AZ + ZB = C
donde:
3 2
A
1 0
; B
3
0
0
3
;
C
Obtener la matriz Z que satisface a la ecuación.
SOLUCIÓN:
A Z + Z (-3I)
=C
A Z + (-3I)Z
=C
(A – 3I) Z
=C
Z
= (A – 3I)-1C
2
4
2
5
1 0
0
1
A 3I
A 3I
2
3
1 3 2
2 1 0
1
Z
1 3 2
2 1 0
Z
1 2 2
2 2 4
Z
1 1
1 2
2
2
4
5
14. Para las siguientes matrices:
A
3
0
3
0
3
2 ;
1
1
4
2
B
1
1 0
0 3
y la ecuación X A – BT = 2X
a) obtener la expresión X, en términos de A y B.
b)
obtener los elementos de la matriz X que satisface a la ecuación.
SOLUCIÓN:
a)
XA
XA
b)
2X
BT
2I
BT
X
BT A
2I
1
A
2I
1
A 2I
3
0
1
0
3
1
3
2
4
4
2
1
3
1
1
3
2
1
4
2
1
2 1 0
1 0 3
X
6
1
X
2
0
0
5
0
3
1
1
0
2
0
0
0
2
3
2
1
4
0
15. Obtener la matriz X que satisface la ecuación matricial:
1
AXB
4XB
1 T
C
donde:
1 2
A
3
1
; B
5
3
2
1
;
SOLUCIÓN:
AXB
1
AXB
4 XB
1
1 T
4 XB
AX
1
4X
X
C
CT
C TB
A
1
4I C T B
C
1
2
3
5
1
0
1
0
1
1
3
2
2
A
4I
C TB
3
2
3
3
1
3
5
3
1 0
2
5
2
1
0
3
2
3
3
;
1
3
X
A
1
3
1
4I
3
2
3
3
1
19. Resolver la ecuación matricial
AX – PQT = BX
donde:
A
4
i
0
i
; B
4 2 i
0
3i
;
P
1 i
SOLUCIÓN:
AX PQ T
BX
AX BX
PQ T
A BX
PQ T
X
A B
1
PQ T
i
;
Q
3
1
A B
4
i
0
i
A B
2 i
8
2 2i
3i
0
4i
0
4i 2 2i
0
8
1
32i
1
1 i
i
PQ T
X
4
3 1
3 3i 1 i
3i
i
1
32i
4i 2 2i
0
8
3 3i 1 i
3i
i
X
1 6 6i 2 2i
32i 24i
8i
X
3 3
1 1
i
i
16 16 16 16
3
1
4
4
Calcular la matriz X tal que satisfaga la ecuación matricial:
XB = AC + 4X
donde:
A
1 2
3
4;
B
7
2
5
7
;
C
SOLUCIÓN:
XB
X B 4I
AC 4 X
AC
X
AC B 4I
1
1
2
1
2
1
1
2
2
AC
B 4I
1 2
3
4
1
2
1
2
1
2
1
2
7
2
1 0
3
2
5
7
0
5
3
X
2
1
4
3
2
5
3
2
; B 4I
14
4
1
8
3
2
5
3