TEMA1: MATRICES Y DETERMINANTES: n j m i siendo a A ,....,1

TEMA1: MATRICES Y DETERMINANTES:
MATRICES: Una matriz de dimensión m x n , es una tabla formada por m filas y n columnas.
 a11 a12 a13 ... a1n 


 a21 a22 a23 ... a2n 
A  (aij ) siendo i  1,....,m
A   a31 a32 a33 ... a3n 


j  1,....,n
 ... ... ... ... ... 
a

 m1 am2 am3 ... amn  mxn
1 1

2 3
A
0 2

1 3
0

4
Por ejemplo:
1

2  4 x3
Se llama Matriz Fila a la que tiene una sola fila, ejemplo: A  1 2 3  11x 4
  1
 
Se llama Matriz Columna a la que tiene una sola columna, ejemplo: A   0 
2
  3 x1
Se llama Matriz Cuadrada a la que tiene igual número de filas que de columnas.
 3 1 1 


2
Ejemplo: A   2 0
 3 7 14 

 3 x3
Diagonal secundaria
Diagonal principal
Dos matrices se dicen Equidimensionales, si tienen la misma dimensión, es decir igual
número de filas e igual número de columnas.
 1
4 7 
 1 1 1
Ejemplo: A  
y B 2
Son Equidimensionales
 2 1 0 
 1

2
8

 2 x3
 3
 2 x3
Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan en
mismo lugar en ambas son iguales.
Se llama matriz traspuesta de una matriz A, a la matriz A’ que se obtiene a partir de A
cambiando filas por columnas:
1 2 0
Ejemplo: A  
 3  1 1 

 2 x3

1 3 


A'   2  1
0 1 

3x2
Se llama matriz simétrica a una matriz cuadrada que coincide con su traspuesta
1
2
4 

3  2
4  2 0 


Ejemplo: A   2

Las matrices cuadradas que tienen todo unos en la diagonal principal y cero en el resto se
denominan matrices unidad y se designa por I nxn
Ejemplo: I 2x 2   1 0 
 0 1


I 3x3
 1 0 0


  0 1 0
0 0 1


SUMA Y RESTA DE MATRICES:
Para sumar o restar matrices, éstas deben tener la misma dimensión, y se realiza sumando o
restando los elementos que ocupan la misma posición. La matriz resultado tiene la misma dimensión.
 2 1  1
 3 3  1
 1 2 0
  A  B  

 y B  
  1 0 1  2 x3
  4 5 5  2 x3
  3 5 4  2 x3
Ejemplo: A  
El elemento neutro para la suma y la resta es la matriz nula 0mxn formada por m filas y n
columnas de ceros
El elemento opuesto es  A  (aij ) mxn
La suma de matrices cumple la propiedad asociativa y conmutativa.
MULTIPLICACIÓN DE UN NÚMERO POR UNA MATRIZ.
 2 1 0  6 2 0 
  

K  aij mxn  k·aij mxn Ejemplo: 3  
  1 1 5    3 3 15 
MULTIPLICACIÓN DE MATRICES:
Dos matrices A y B se dice que son multiplicables, si el número de columnas de A coincide
con el número de filas de B.
Es decir A  aij mxn y B  b jk nxp y el resultado es una matriz A  B  C  cik mxp
 
 
de dimensión m x p , en el que cada elemento cik , se obtiene multiplicando la fila i de la matriz A,
por la columna j de la matriz B.
Ejemplo:
 1 0 1 1


Sea A   0 1 0 2 
y
 1 0 1 1

3x4
2

0
B
1

0

1 

 2
1 

1 

Entonces:
1·2  0·0  (1)·1  1·0 1·1  0·(2)  (1)·1  1·1
 1 1




A  B   0·2  1·0  0·1  2·0
0·1  1·(2)  0·1  2·1    0 0 
 (1)·2  0·0  1·1  1·0 (1)·1  0·(2)  1·1  1·1



3x2   1 1 3x2
 
Dada una matriz A  aij
mxn
, el elemento neutro es la matriz unidad de dimensión n x n.
No toda matriz tiene inversa para la multiplicación, sólo algunas matrices cuadradas. Si
una matriz cuadrada A tiene inversa se denota por A1
Dos matrices de orden n son inversas si su producto es la matriz unidad de orden n
Una matriz cuadrada que posee inversa se dice que es una matriz inversible o regular, en
caso contrario se dice que es una matriz singular.
Ejercicios:
 1 0 1

 2 1 3 2 x 3
1. Dada la matriz A  
a. Indicar cual es el elemento neutro para la multiplicación y comprobarlo.
b. Calcular 2·A – 3·I
2. Resolver la ecuación:
 1  1  x   1 x   3 

     
   
 3 2   y   y  1  2 
 1 2 
 1 2
1
7

3. Comprobar que la inversa de la matriz A  
es A   7


3
1
3
1

 2x2
7
 7
 1 2 0
 3 0
0 1






4. Dadas las matrices A    1 1 1  ; B   1 2  ; C   1
1  Calcula:
 0 1 0
 1 1
  1  1

 3 x3

3x2

3x2
a. A · (B + C)
b. 3·B – 2·C
c. A + B
d. B · A
e. A · B
f. A · B + A · C
 3  2
1  3 0 1 

 Calcula:
; B  
 0 1  2 x2
 2  1 1  2 2 x4
5. Dadas las matrices A  
a. Una matriz C tal que B + C = B , ¿cómo se llama esa matriz?
b. A 2
c. A2  B
6. Un contratista quiere adquirir las cantidades requeridas de madera, ladrillo, hierro,
vidrio y pintura de tres proveedores. Los precios de cada proveedor para los
materiales vienen dados por la siguiente matriz:
8 5 7 2 4


A  9 4 5 2 5
9 5 6 1 5


donde cada fila se refiere a un proveedor y la columna a los materiales, en el orden
dado anteriormente. El contratista quiere adquirir todos los materiales del mismo
proveedor. La obra I requiere 20 unidades de madera, 4 de ladrillos, 5 de hierro, 3
de vidrio y 3 de pintura; la obra II necesita 15, 0, 8, 8 y 2 y la obra III necesita 30,
10, 20, 10 y 12 unidades respectivamente. Resumir esta información en una matriz
B y formar la matriz de precios en cada obra según el proveedor y decir que
proveedor debe abastecer cada obra.
7. Una empresa comercializa tres producto demandados por tres clientes. Los datos
referidos a las demandas de cada cliente están en la siguiente tabla:
Cliente 1
Cliente 2
Cliente 3
Producto 1
10
8
7
Producto 2
12
12
8
Producto 3
13
15
11
La atención a los clientes se puede efectuar por dos rutas comerciales distintas en
las que los costes de los productos varían de la forma siguiente:
Ruta 1
Ruta 2
Precio producto 1
5
6
Precio producto 2
2
7
Precio producto 3
9
4
Para maximizar los beneficios, ¿qué ruta interesa más a la empresa?
PAU (Septiembre 96)
8. Resolver la ecuación matricial AX + B = 2C siendo
2 0 

A  
 1  1
 3 1 0

B  
 1 2 1
 4 1 2

C  
 0 0 1
CÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA:
A. A partir de la definición:
 2  1
 x y
 , debemos encontrar una matriz A1  
 tal que:
1 1 
z t 
 2  1  x y   1 0 
2 x  z  1
2 y  t  0

  
  
  
y 
 1 1   z t   0 1
x  z  0
y  t  1
Sea A  
Y resolviendo esos dos sistemas obtenemos
1 
 1

3
3
A 
 1 2 
3
 3
1
Ejercicio: Halla, si es posible, la inversa de las siguientes matrices:
a.
 1 2


 2 4
b.
2 3


  1  1
B. Mediante el método de Gauss:
 a11
 a21
Dada la matriz A  
a12 
 partimos de
a22 
 a11 a12 1 0 

 y mediante las
 a21 a22 0 1 
siguientes transformaciones:
- Multiplicar por un número distinto de cero
- Sumar o restar a una fila otra multiplicada por un número
 1 0 b11 b12 
b b 
 donde A1   11 12 
 0 1 b21 b22 
 b21 b22 
Para llegar a 
Si en el proceso aparece en el lugar de la matriz A alguna fila nula, la matriz no tiene
inversa
Finalmente comprobamos que realmente es la matriz inversa
Ejercicio: Halla, por este método, la matriz inversa de la matrices del ejercicio
anterior.
 1 2 2


Ejercicio: Halla la matriz inversa de A    2 1 3 
 1 0  1


 1  2  4


1
7 
Solución: A    1 3
 1  2  5


 1 4 4


Ejercicio: Calcula la matriz inversa de A   0 2 4 
0 0 1


Ejercicio: (PAU Junio 2014) Dadas las matrices
 a 2
 3 1
 0  1
 , B  
 y C  

A  
 1 b
 4 2
2 3 
a. Calcula B 1 , matriz inversa de B
b. Determina los valores que deben tomar “a” y “b” para que se verefique:
A·B 1  2· I  C t
C. Por adjuntos: Se necesita conocer el cálculo de determinantes.
RANGO DE UNA MATRIZ:
-
Dos filas (o columnas) son linealmente dependientes si son proporcionales
Una fila F, depende linealmente de otras filas F1 , F2 , ..., Fn si existen unos números
-
reales a1 , a2 , ..., an no todos nulos, tal que: F  a1· F1  a2 · F2  ...  an · Fn
Por el contrario son linealmente independientes si no son proporcionales y por tanto no
hay ninguna relación de la forma F  a1· F1  a2 · F2  ...  an · Fn entre ellas.
El Rango o Característica de una matriz es el número de filas, o columnas, linealmente
independientes.
CÁLCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ:
En el cálculo del rango de una matriz, evidentemente éste no varía si:
- Se suprimen las filas o columnas nulas
- Se suprimen las filas o columnas proporcionales
- Se suprimen las filas o columnas dependientes de otras
El Rango de una matriz tampoco varía si:
- Multiplicamos una fila o columna por un número distinto de cero
- Sumamos o restamos una fila o columna a otra
Aplicando estas propiedades a una matriz podemos llegar a transformarla en una matriz
escalonada que nos indicará el número de filas o columnas independientes.
Ejemplo: Sea
3 
 1 2 3  1 2

 

A   4 5 6    0  3  6  podemos apreciar que F3  2· F2  Rango( A)  2
 7 8 9   0  6  12 

 

En caso de no ver clara la dependencia entre las dos filas, podríamos poder continuando
con el escalonamiento de la matriz:
3  1 2
3 
 1 2 3  1 2

 
 

A   4 5 6    0  3  6    0  3  6   Rango( A)  2
 7 8 9   0  6  12   0 0
0 

 
 
Ejercicio: Calcula el rango de las siguientes matrices:
 1 2 3


i. A   3 6 9 
 2 4 6


 2 1 3


ii. B   1 1 1 
 3 2 1


 2 3 5


iii. C   1 2 3 
 1 1 2


DETERMINANTES:
Sólo se puede calcular determinantes de matrices cuadradas.
Determinante de segundo orden:
 a11
 a21
Dada la matriz cuadrada de segundo orden A  
A al número real det( A)  A 
Ejemplo:
a12 
 se llama determinante de
a22 
a11 a12
 a11·a22  a12 ·a21
a21 a22
2 3
 2  12  10
4 1
Determinante de tercer orden:
 a11 a12

Dada la matriz cuadrada de tercer orden A   a21 a22
a
 31 a32
a13 

a23  se llama determinante
a33 
de A al número real
a11 a12
det( A)  A  a21 a22
a31 a32
a13
a23  a11 ·a22 ·a33  a12 ·a23 ·a31  a13 ·a21 ·a32  a13 ·a22 ·a31  a12 ·a21 ·a33  a11 ·a23 ·a32
a33
3 2 1
0  36  0  5  8  0  30  19
Ejemplo: 5 4
2 1  3
Ejercicio: Calcular los siguientes determinantes:
3 2
=
2 1
2 1 0
3 1 4
1 1 2
1 2

3 6
1 2 3
0 4 5
0 0 6
7 0

21  8
1 0 3
2 1 4 
1 3 1
Propiedad: Una matriz cuadrada tiene matriz inversa y por tanto es una matriz regular si su
determinante es distinto de cero. Si su determinante es cero entonces la matriz no tiene matriz
inversa y por tanto es una matriz singular.
Ejercicio: Indica si las siguientes matrices tienen inversa y calcúlala:
 3 1 2


5  2
 y B    1 2 1 
A  
3 1 
 2 3 3


1 a 2 


Ejercicio: Calcula el valor de “a” para que la matriz A   2 a  2  sea singular.
5 1 1 

