3.2 Operaciones con matrices Las matrices operan con un álgebra

3.2 Operaciones con matrices
Las matrices operan con un álgebra muy parecida a la que estamos acostumbrados. Sin
embargo, debemos tener cuidado puesto que estamos trabajando con mxn elementos en
cada matriz.
Suma y resta de matrices
La suma y la resta de matrices se hace celda por celda, es decir:
a11 a12
b11 b12
A=
B=
a21 a22
b21 b22
A+B =
A-B =
a11+b11
a12+b12
a21 +b21
a22+b22
a11-b11
a12-b12
a21-b21
a22-b22
En general se dice que sí A = (aij)m×n y B = (bij)p×q de la misma dimensión
(equidimensionales): m = p y n = q es otra matriz C = A+B = (cij)m×n = (aij+bij) y D = A-B
= (dij)m×n.
Ejemplo:
1 3 -2
3 0 1
-8 6 7
1 3 -2
3 0 1
-8 6 7
+
0 -5 6
1 -3 4
4 5 5
-
0 -5 6
1 -3 4
4 5 5
=
1
4
-4
-2
4
-3
5
11 12
=
1 8
2 3
-12 1
-8
-3
2
A la suma y resta en conjunto se le puede denominar simplemente suma algebraica. Esta
operación tiene las siguientes propiedades:
Asociativa: A+(B+C) = (A+B)+C
Conmutativa : A+B = B+A
Elemento neutro: (matriz cero 0m×n), 0+A = A+0 = A
Elemento simétrico: (matriz opuesta -A), A + (-A) = (-A) + A = 0
Multiplicación de un escalar por una matriz
Toda matriz puede ser multiplicada por un número, llamado escalar, el cual multiplica a
cada uno los elementos de la matriz:
λA =
λa11
λa12
λa21
λa22
En general se dice que si A = (aij)m×n y λ∈R ⇒ λA =(λaij)m×n
Ejemplo:
1 3 -2
3 0 1
-8 6 7
4⋅
=
4
12
-32
12 -8
0 4
24 28
Esta operación tiene las siguientes propiedades:
Asociativa: λ(µA) = (λµ)A
Distributiva en matrices: λ(A+B) =λA+λB
Distributiva en los escalares: (λ+µ)A = λA+µA
Neutro en escalares: ∃ 1∈R | 1·A = A ∀Amxn
Producto de matrices
Dos matrices pueden ser multiplicadas si cumplen en sus dimensiones la regla general:
Amxk y Bkxq, es decir, las columnas en A son iguales a las filas de B.
a11 a12
A=
b11 b12
b13
b21 b22
b23
B=
a21 a22
A·B =
a11b11+ a12b21
a11b12 +a12b22
a11b13+a12+b23
a21b11+a22b21
a21b12+a22b22
a21b13+a22b23
Ejemplo:
1
-2
1·0+ (-2)·4
0 -5 6
=
3
1
4 5 5
1(-5)+(-2)5
1·6+(-2)5
3(-5)+1·5
3·6+1·5
3·0+1·4
-7
-15
-4
7
-10
23
=
En general se dice que dadas dos matrices A = (aij)m×k y B = (bij)k×q, es decir, el número
de columnas de la primera matriz A es igual al número de filas de la matriz B, se define
el producto A—B de la siguiente forma:
El producto de matrices tiene las siguientes propiedades:
Es asociativa en el producto: A—(B—C) = (A—B)—C
El producto de matrices en general NO es conmutativo.
Neutro en matrices. Si A es una matriz cuadrada de orden n ∃ In | A—In = In—A = A.
El producto de matrices es distributivo respecto de la suma de matrices, es decir: A—(B +
C) = A—B + A—C
Consecuencias de las propiedades
1.
2.
3.
4.
Si A—B= 0 no implica que A=0 ó B=0
Si A—B=A—C no implica que B = C.
En general (A+B)2 ≠ A2 + B2 +2AB,ya que A—B ≠ B—A.
En general (A+B)—(A–B) ≠ A2–B2, ya que A—B ≠ B—A.