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Tema I. Matrices y determinantes
1. Matrices sobre un cuerpo ©2007 Carmen Moreno Valencia
2. Operaciones con matrices
3. Determinante de una matriz cuadrada
4. Menor complementario y adjunto
5. Cálculo de determinantes
6. Inversa de una matriz cuadrada
7. Rango de una matriz
1. Matrices sobre un cuerpo
Definición. Sea K un cuerpo. Se llama matriz
A de m filas y n columnas sobre K al conjunto
de mn elementos de K dispuestos en m filas y
n columnas,
 a11
a
 21
A =  a31


a
 m1
a12
a22
a32
a13
a23
a33
am 2
am 3
a1n 
a2 n 

a3n 


amn 
• A = ( aij),
i=1, 2, ..., m;
aij ŒK
Matrices 2
j=1, 2, ..., n.
• El elemento que ocupa la fila i y la columna j
se representa aij,
2. Producto por escalares
• Mmxn(K): Conjunto de todas las matrices
sobre K de m filas y n columnas.
Ej.

1

π
1

2

2 

−1  ∈ M 3×2 (R)

− 2

• Matriz Fila: A ŒM1xn(K)
A = (1 π
Matrices 3
−1) ∈ M 1×3 (R)
• Matriz Columna: AŒMmx1(K)
 1 
 
A =  3  ∈ M 3×1 (R)
 2
 
• Matriz cuadrada de orden n: AŒMnxn(K).
Tiene el mismo número de filas que de
columnas
• Diagonal Principal de A la forman los
elementos de la forma aii (iguales subíndices)
Matrices 4
• Matriz cuadrada diagonal: Sus únicos
elementos no nulos son los de la diagonal
principal.
• Matriz cuadrada unidad In :(o Identidad)
Matriz cuadrada diagonal con unos en la
diagonal principal y ceros en las restantes
posiciones: aii=1; aij=0, iπj
• Matriz triangular Una matriz cuadrada A =
( aij ) se dice que es triangular si, o bien por
encima o bien por debajo de la diagonal, los
elementos son todos nulos, es decir, aij = 0
para todo i < j o bien aij = 0 para todo i >j
Matrices 5
• Dos matrices, A,B ŒMmxn(K) son iguales
cuando aij=bij, i=1,..., m, j=1,...,n
•Se llama submatriz de A a toda matriz
obtenida de eliminar filas y/o columnas de A.
Ej.
 1 −2 −1
A = 2 4

 0 −1

 ∈ M (R)
3



 1 −2 
Una submatriz de A es
B =  2 4  ∈ M 3×2 (R)


 0 −1 


3
0
2. Operaciones con matrices
1. Suma
Sean A,B ŒMmxn(K). A = ( aij), B = ( bij)
¾ A+B = ( cij) ŒMmxn(K) con cada cij=aij+bij
i=1,..., m, j=1,...,n
Ej.
 1 −1
A=
2 1
1
A+ B = 
4
0
0 0 1 
, B=
∈ M 2×3 (R)


0
 2 1 −1
−1 1 
∈ M 2×3 (R)

2 −1
• (Mmxn(K), +): Grupo Abeliano
• El elemento neutro
0 = (0)i =1,..,m
j =1,.., n
• La opuesta de A:
− A = (− aij )i =1,..,m
j =1,.., n
0
=

0

 − a11
=

 −a
 m1
Matrices 6
0


0 
− a1n 


− amn 
2. Producto por escalares
λŒK, A ŒMmxn(K)
λ ⋅ A = λ ⋅ ( aij )i =1,..,m = ( λ ⋅ aij )i =1,..,m =
j =1,.., n
 λ a11
=

 λa
 m1
j =1,.., n
λ a1n 


λ amn 
Ejemplo
(Mmxn(K), +, ·): Espacio vectorial sobre K
3. Producto de matrices
Matrices 7
• A·B: nº de Columnas de A = nº Filas de B
• AŒMmxn, BŒMnxp , se define la matriz
producto C= A · B = (cij), ŒMmxp
cij = ai1·b1j + ai2·b2j + ai3·b3j + . . . + ain· bnj
k =n
= ∑ aik ⋅ bkj
k =1
Ejemplo
Matrices 8
Propiedades
• Asociativa A(BC)=(AB)C
•Distributiva resp.de la suma A(B+C)=AB+AC
(A+B)C=AC+BC
• λ·(AB)=(λ·A)B=A(λ·B)
(Mn(K), +, ·): Anillo unitario
Unidad del anillo: In: A· In= In·A=A
• El producto de matrices no es conmutativo:
4. Matriz traspuesta
Dada A = ( aij) ŒMmxn(K), la matriz
Traspuesta de A,
At=(bij) ŒMnxm(K), bij=aji, i=1,..,n; j=i,..,m
Matrices 9
Propiedades
Sean A, BŒMmxn(K) , C ŒMnxp (K).
• (A+B)t=At+Bt
• (AC)t=CtAt
• (At)t=A
• (λA)t=λ(A)t
¾ Una matriz cuadrada es simétrica si
A = At, (aij = aji para todos i, j)
ƒ Sus elementos tienen simetría respecto de
la diagonal principal.
Matrices 10
¾ Una matriz cuadrada es antisimétrica si
A = -At, (aij = -aji para todos i, j)
ƒ Los elementos de la diagonal principal
son nulos
 0 −1 −2 
 0 1 2
A =  1 0 −1  , At =  −1 0 1 




2 1 0 
 −2 −1 0 




A = -At : A Antisimétrica
9 Toda matriz cuadrada se descompone como
suma de una matriz simétrica y otra
antisimétrica:
aij + a ji aij − a ji
A=(aij), aij =
+
=
2
2
= bij + cij
a ji + aij
La matriz (bi j ) es simetrica : b ji =
= bij
2
y
la matriz (cij ) es antisimetrica : c ji =
Luego, (aij)=(bij)+(cij)
a ji − aij
2
= −cij
Matrices 11
3. Determinante de una matriz cuadrada
• Sea A ŒMn(K), el determinante de A, es un
elemento de K dado por la aplicación:
det : M n ( K ) →
K
A
det( A) = A :=
=
sg (σ ) ⋅ a σ
∑
σ
1 (1)
∈Sn
⋅a2σ (2) ⋅… ⋅ anσ ( n )
• En det(A) aparecen n! sumandos
Determinantes de orden dos
n=2
 a11 a12 
A=

a
a
 21 22 
S2, car(S2)=2!=2
S 2 = {σ 1 ,σ 2 }
1
σ1 = 
1
1
σ2 = 
2
2
= i2 sg (σ 1 ) = +1

2
2
= (1 2) sg (σ 2 ) = −1

1
A=
sg (σ ) ⋅ a σ
∑
σ
1 (1)
∈S2
⋅a2σ (2) =
Matrices 12
= sg (σ 1 )a1σ1 (1) ⋅ a2σ1 (2) + sg (σ 2 )a1σ 2 (1) ⋅ a2σ 2 (2) =
σ =σ 1
σ =σ 2
= (+1)a11 ⋅ a22 + (−1)a12 ⋅ a21 = a11 ⋅ a22 − a12 ⋅ a21
 a11 a12 
A=
 = a11⋅a22 − a21⋅a12
a
a 
 21 22 
Ejemplo
 2 −3 
A=
= 2 ⋅ 3 − 4 ⋅ (−3) = 18

4 3 
Determinantes de orden tres. Regla de
Sarrus
n=3
 a11 a12
A =  a21 a22

a
 31 a32
a13 
a23 

a33 
S3, car(S3)=3!=6
S3 = {σ 1 ,σ 2 ,σ 3 ,σ 4 ,σ 5, σ 6 }
Matrices 13
1
σ1 = 
1
1
σ2 = 
1
2 3
= i3 sg (σ 1 ) = +1

2 3
2 3
= (2 3) sg (σ 2 ) = −1

3 2
1
σ3 = 
2
1
σ4 = 
2
1
σ5 = 
3
1
σ6 = 
3
2 3
= (1 2) sg (σ 3 ) = −1

1 3
2 3
= (1 2 3) sg (σ 4 ) = +1

3 1
2 3
= (1 3 2) sg (σ 5 ) = +1

1 2
2 3
= (1 3) sg (σ 6 ) = −1

2 1
a11 a12
det( A) = A = a21 a22
a31 a32
=
sg (σ ) ⋅ a σ
∑
σ
∈S3
1 (1)
a13
a23 =
a33
⋅ a2σ (2) ⋅ a3σ (3) =
Matrices 14
= ( +1)a11a22a33 + ( −1)a11a23a32 + ( −1)a12a21a33 +
σ1
σ2
σ3
+ ( +1)a12a23a31 + ( +1)a13a21a32 + ( −1)a13a22a31 =
σ4
σ5
σ6
= (a11a22a33 + a12a23 a31 + a21a32a13 ) −
−(a13a22a31 + a12a21a33 + a23 a32a11 )
¾ Ejemplo
1 -2 3
4 5 -2 =(5+0+(-12))-(0+(-8)+2)=1
0 -1 1
Matrices 15
Propiedades de los determinantes
Sea A ŒMn(K)
1.
A= A
t
2. Si en un determinante hay una fila (o
columna) de ceros, el determinante es nulo.
3.
a11
a1n
a11
ain
λ ai1
λ ain = λ ai1
ain
an1
ann
ann
an1
4.
a11
ai1 + bi1
an1
Matrices 16
a1n
a11
ain + bin = bi1
ann
an1
a1n
a11
a1n
bin + ai1
ain
ann
ann
an1
5. Si se intercambia una fila por otra, el
determinante cambia de signo
6. Si hay dos filas (columnas) iguales, det(A)=0
7. Si a una fila se le suma una combinación
lineal de las restantes filas, el determinante
no varía.
Matrices 17
8. Si A, BŒMn(K), AB = A B
9. Si una fila es combinación lineal de las
restantes filas, el determinante es cero
10. (desarrollo de ÍAÍ a través de los
elementos de una fila cualquiera). El ÍAÍ
viene dado por la suma de los productos de los
elementos de la fila i por sus correspondientes
adjuntos:
ÍA Í= ai1◊Ai1+ ai2◊Ai2+ ai3◊Ai3+...+ ain◊Ain=
k =n
= ∑ aik Aik
k =1
11. ai1◊Aj1+
donde los Aik son los
correspondientes adjuntos
ai2◊Aj2+ ai3◊Aj3+...+ ain◊Ajn=0 (iπj)
La suma de los productos de los elementos de
una fila -i- por los adjuntos de otra fila -j-, es 0
4. Menor complementario y adjunto
Matrices 18
Definiciones
¾ Sea AŒMn(K), y aij un elemento de A. Se
llama menor complementario del elemento aij,
y se nota αij, al determinante de la submatriz
cuadrada de A que resulta de eliminar la fila i
y la columna j de A.
¾ Se llama adjunto del elemento aij, y se nota
Aij, al valor: Aij=(-1)i+j αij
¾ Matriz adjunta de A, Adj(A)=(Aij), matriz
de los adjuntos.
Ejemplo
 1 2 −2 
A =  0 −1 3 


1 3 1 


Matrices 19
¾Menores Complementarios
−1 3
0 3
= −10 α12 =
α11 =
= −3 α13 = 0 −1 = 1
3 1
1 1
1 3
2 −2
=8
α 21 =
3 1
1 −2
α 22 =
=3
1 1
1 2
α 23 =
=1
1 3
2 −2
= 4 α 32 = 1 −2 = 3 α 33 = 1 2 = −1
α 31 =
−1 3
0 3
0 −1
¾ Adjuntos
A11=+α11=-10 A12=-α12=3
A21=-α21=-8 A22=+α22=3
A31=+α31=4
A13=+α13=1
A23=-α23=-1
A32=-α32=-3 A33=+α33=-1
 −10 3 1 
¾ Adjunta de A:
Adj ( A) =  −8 3 −1


 4 −3 −1


5. Cálculo de determinantes
Matrices
20
9Órdenes dos y tres: Definición / Sarrus
9Orden mayor o igual tres
¾ Método del Pivote / Desarrollo por la
fila del pivote (prop. 10)
1º Elegir un elemento como pivote (±1), (a11)
a11
a1n
an1
ann
A=
2º Obtener ceros en la fila (columna) del
pivote, sumando combinaciones lineales de la
columna (fila) del pivote (prop. 7)
a11
0
0
A=
an1
ann
3º Desarrollar el determinante por la fila
(columna) del pivote.(prop. 10)
A = a11 A11 + 0 A12 + … + 0 A1n = a11 A11
Orden n
Matrices 21
Orden n-1
Ejemplo
1
0
1
2
−1
1
1
3
2 −1
−1 1
=
2 2 −2C1+C 4 1 3
2
−1 0
− C 1+C 3
1
2
1
1
3
0
0
0
3 1
=
1 0
−1 −2 −3
1
= 1 ⋅ A11 = (−1)1+1 3 1 0 = 19
−1 −2 −3
¾ Por triangulación
Transformar el det(A) en el determinante de
una matriz triangular = a11·...·ann
Matrices 22
Ejemplo
1
1 1
F 1+ F 2
−1 1 0
5
3 5
=
−5 F 1+ F 3
1
1
1 F 2+ F 3
0
2
1 =
0 −2 0
1 1 1
= 0 2 1 = 1 ⋅ 2 ⋅1 = 2
0 0 1
6. Matriz inversa
• (Mn(K),+,·) Anillo Unitario (no cuerpo)
•AŒMn(K) es regular si existe BŒMn(K) tal
que A·B=B·A=In (B es la inversa de A: B=A-1)
• En otro caso, A es singular
Teorema Sea AŒMn(K).
(1) A posee inversa si y sólo si ΩAΩπ0
1
−1
(2) En ese caso, A = adj ( At )
A
Ejemplo
Matrices 23
7. Rango de una matriz
• Sea AŒMmxn(K). Un menor de A es el
determinante de cualquier submatriz cuadrada
de A.
• se llama rango de A al mayor orden posible
de un menor no nulo de A.
9 Propiedades
• r(A)=r(At)
• r(A)£min{m,n}
• Si a una fila (columna) se le suma una
c.l.del resto (o un múltiplo de otra), el rango
no varía.
Matrices 24
• Si una fila (columna) es c.l. del resto, el r(A)
coincide con el de la submatriz obtenida al
eliminar dicha fila (columna) de A
¾ En resumen, el rango de A no varía al
realizar operaciones elementales sobre A,
tales como: Intercambio de filas, multiplicar
una fila por un escalar, sumar a una fila un
múltiplo de otra o una c.l. de las restantes..
¾Matriz escalonada: Ceros bajo la diagonal
principal: aij=0, i>j.
•Su rango=nºfilas no nulas completamente
Ejemplos de matrices escalonadas:
Matrices triangulares
 3 2 −1

0 −1 1
A=
0 0 7

0 0 0
 2 1 4 −1 0 


B = 0 0 0 2 9
 0 0 0 0 1


r(B)=3
5

4
, r ( A) = 4
4

1 
Método de Gauss
Matrices 25
Para obtener el rango de una matriz A
¾ Transformar A≡···· ≡A´escalonada
Operaciones elementales
Ejemplo
 1 0 -1 3  − F 1+F 2  1



A =  1 2 -3 1 ≡  0

 1 3 -4 0  − F 1+F 3  0



− 32 F 2+F 3  1 0
-1 3 


0 2 -2 −2 = A´
≡


0 0 0 0 


r(A)=r(A´)=2
0
2
3
-1 3 
-2 −2  ≡

-3 −3 
Algoritmo de cálculo del rango
Matrices 26
Ω1Ωπ0fir(A)≥1
¿Rango dos?
fir(A)≥2
¿Rango tres?
Luego el
rango es dos