Matriz sobre K = R o C de dimensión m × n A = a11 a12 ··· a1n a21

2.
2.1.
Matrices y Determinantes
Matrices
Matriz sobre K = R o C de dimensión m × n

a11 a12
 a21 a22
A=
..
 ..
am1 am2

· · · a1n
· · · a2n 

. . . ..  = (aij ) i=1,...,m
j=1,...,n
· · · amn
Tipos de matrices:
• Cuadrada: n × n
• Nula: (0)i,j

• Identidad: I = 
1
...
0


0
1
• Transpuesta de una matriz: la matriz transpuesta
es de dimensión n × m


a11 a21 · · · am1
 a12 a22 · · · am2 
t
A =
.. . . . .. 
 ..

a1n a2n · · · amn
• Matriz diagonal: es una matriz cuadrada
1

a1
 0
 .
 .
0
• Matriz triangular:
0
a2
..
0
···
···
...
···


0
0 
.. 

an
a11
 0
triangular superior 
 ..
0

a11
 a21
triangular inferior 
 ..
am1
a12
a22
..
0

· · · a1n
· · · a2n 

. . . .. 
· · · amn

0 ··· 0
a22 · · · 0 
.. . . . .. 

am2 · · · amn
Operaciones con Matrices
Mmn(K) es el conjunto de matrices m × n con elementos en K.
• Suma de matrices: para dos matrices A, B ∈ Mmn(K)
tal que A = (aij ) y B = (bij ), la suma es
A + B = (aij ) + (bij ) = (aij + bij ).
• Producto de una matriz por un escalar: dado una
matriz A ∈ Mmn(K) y un escalar λ ∈ K,
λA = λ(aij ) = (λaij ).
2
• Producto de matrices: dadas las matrices A ∈ Mmn(K)
y B ∈ Mnp(K), el producto es
AB = C = (cij ) ∈ Mmp(K)
donde cij = ai1b1j + ai2b2j + · · · + aimbmj .
OJO, el producto de matrices no es conmutativo,
es decir, normalmente AB 6= BA.
2.2.
Sistemas de Ecuaciones Lineales
Conjunto de soluciones.
Clasificación de sistemas lineales:
• Sistema Incompatible (SI): No tiene soluciones.
• Sistema Compatible Determinado (SCD): tiene una
única solución.
• Sistema Compatible Indeterminado (SCI): tiene infinitas soluciones.
Dos sistemas de ecuaciones diremos que son equivalentes si tienen el mismo conjunto de soluciones.
Método de eliminación de Gauss
Matriz ampliada
“Se trata de hacer una escalera de ceros
(la escalera puede tener descansillos)”
3
2.3.
Determinantes
Dada una matriz A = (aij ) ∈ Mnn(K), la matriz
adjunta Aij es la submatriz (n − 1) × (n − 1) que se
obtiene de A al eliminar la fila i y la columna j.
El determinante es una aplicación
det : Mnn(K) −→ K.
El determinante de A se denota por |A| o por det(A).
Definimos el adjunto αij de A como el escalar
αij = (−1)i+j |Aij |.
El determinante de A es:
|A| = a11α11 + a21α21 + · · · + an1αn1
= a11|A11| − a21|A21| + · · · + (−1)n+1an1|An1|.
En la formula se utilizan los elementos de la primera
columna. Se puede demostrar que la fórmula anterior
vale para cualquier fila o columna.
Propiedades de los determinantes.
• Intercambiar dos filas o dos columnas cambia el signo del determinante.
• Sumar un múltiplo de una fila (o columna) a otra
no altera el valor del determinante.
• Multiplicar una fila o columna por un escalar λ
multiplica el valor del determinante por λ.
4
• |λA| = λn|A|.
• |At| = |A|.
• Si A posee una fila o una columna llena de ceros
=⇒ |A| = 0.
• Si A posee una fila (o columna) proporcional a otra
=⇒ |A| = 0.
• |AB| = |A| |B|.
Con estas propiedades podemos aplicar el método de
eliminación de Gauss para hacer ceros.
!!!Cada cero nos quita trabajo!!!
2.4.
Inversa de una matriz
Dada una matriz cuadrada A, llamaremos inversa de
A y la denotaremos por A−1 a una matriz tal que
A−1A = I
y
AA−1 = I
No
µ toda
¶ matriz cuadrada tiene inversa. Por ejemplo,
2 3
.
4 6
Una matriz es invertible cuando tiene inversa.
Teorema: A invertible
5
⇐⇒
|A| 6= 0.

A−1
α11 α12
1 
 α.21 α.22
=
.
|A|  .
αn1 αn2
t
· · · α1n
· · · α2n 

. . . .. 
· · · αnn
También se puede calcular la inversa con el método de
eliminación de Gauss. Si |A| 6= 0 entonces
(A|I) Ã (I|B)
2.5.
=⇒
B = A−1
Rango de una matriz
Un menor de A es el determinante de una submatriz
cuadrada que obtenemos de A suprimiendo algunas
filas y/o columnas.
El rango de una matriz A es la dimensión del mayor
menor no nulo de A. Es decir, el rango es la dimensión
de la mayor submatriz cuadrada de A cuyo determinante no es cero.
Para calcular el rango se puede utilizar, cómo no, el
método de eliminación de Gauss.
6
2.6.
Teorema de Rouché-Fröbenius. Regla de Cramer
Resolver un sistema de ecuaciones es encontrar todas
sus soluciones.
Discutirl un sistema es analizar si posee una varias o
ninguna solución.
Teorema de Rouché-Fröbenius: Sea A∗ la matriz ampliada de un sistema y A la matriz obtenida
al quitar la última fila a A∗ (la columna de términos
independientes). Entonces:
• El sistema tiene solución ⇐⇒ rg(A∗) = rg(A).
• Si rg(A∗) = rg(A) = n (número de incógnitas) =⇒
SCD.
• Si rg(A∗) = rg(A) < n (número de incógnitas) =⇒
SCI.
Regla de Cramer
2.7.
Sistemas Homogéneos
Un sistema es homogéneo cuando todos los términos
independientes son cero. Es decir, cuando la última
columna de la matriz ampliada del sistema está llena
de ceros.
Un sistema homogéneo tiene por lo menos una solución: x = 0, y = 0, z = 0, . . . (la solución trivial).
7