Matrices, Determinantes y Sistemas de

Matemáticas I
MATRICES
Definición.- Una matriz sobre R ó C de dimensión m×n es un objeto ordenado


a11 a12 · · · a1n
 a21 a22 · · · a2n 


A= .
..
..
..  = (aij )i = 1, . . . , m
.
 .
j = 1, . . . , n
.
.
. 
am1 am2 · · · amn
se dice que A tiene m filas y n columnas.
Tomaremos K = R ó C.
Definiciones. Tipos de matrices.Una matriz A se dice cuadrada si
columnas.

a11
 a21

A= .
 ..
tiene el mismo número de filas que de

a12 · · · a1n
a22 · · · a2n 

..
.. 
..
.
.
. 
an2 · · · ann
La matriz A = (aij ) ∈ Mm×n (K)
j = 1 . . . , n. Se escribirá A = (0).

0
0

A = .
 ..
se dice nula si aij = 0, ∀i = 1 . . . , m,
an1
0 ···
0 ···
..
..
.
.
0 0 ···

0
0

.. 
.
0
La matriz A = (aij ) ∈ Mn×n (K) se dice identidad si aii = 1, ∀i = 1 . . . , n,
y aij = 0, ∀i 6= j, i, j = 1 . . . , n.
Se escribirá A = Id.

1 0 ···
0 1 · · ·

A = . . .
..
 .. ..
0 0 ···
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1

0
0

.. 
.
1
Matrices
Matemáticas I
Sea A = (aij ) ∈ Mm×n (K) se define la matriz traspuesta de A como
At = (bij ) donde bij = aji , ∀i = 1 . . . , m, j = 1, . . . , n.

a21
a22
..
.
a11
 a12

At =  .
 ..
a1n a2n
···
···
···
···

am1
am2 

.. 
. 
amn
La matriz A = (aij ) ∈ Mn×n (K) se dice diagonal si aij = 0, ∀i 6= j,
i, j = 1 . . . , n.

a11 0 · · ·
 0 a22 · · ·

A= .
..
..
 ..
.
.
0
0 ···
0
0
..
.
ann





La matriz A = (aij ) ∈ Mn×n (K) se dice triangular superior si aij = 0,
∀i > j, i, j = 1 . . . , n.

a11 a12 · · ·
 0 a22 · · ·

A= .
..
..
 ..
.
.
0
0 ···

a1n
a2n 

.. 
. 
ann
La matriz A = (aij ) ∈ Mn×n (K) se dice triangular inferior si aij = 0,
∀i < j, i, j = 1 . . . , n.

0
a22
..
.
a11
 a21

A= .
 ..
···
···
..
.
an1 an2 · · ·
0
0
..
.
ann





Al conjunto de las matrices m × n con elementos en K se denota por Mm×n (K).
Propiedad.- (At )t = A.
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Matrices
Matemáticas I
OPERACIONES CON MATRICES
Sean A, B ∈ Mm×n (K) y λ ∈ K.
Se define la suma de A y B como A + B = (aij + bij ) ∈ Mm×n (K).
Se define el producto escalar de λ por A como λA = (λaij ) ∈ Mm×n (K).
Si B ∈ Mn×p (K), se define el producto de A por B como A · B = (cij )
donde A · B ∈ Mm×p (K), y
cij = ai1 b1j + · · · + ain bnj
Observación.- En general, A · B 6= B · A.
OPERACIONES CON SISTEMAS DE ECUACIONES
Definición.- Dos sistemas de ecuaciones son equivalentes si tienen el mismo
conjunto de soluciones.
Propiedades.- Las siguientes operaciones en un sistema de ecuaciones nos dan
sistemas equivalentes:
Multiplicar una ecuación por un número no nulo.
Intercambiar ecuaciones.
Sumar o restar un múltiplo de una ecuación a otra.
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3
Matrices
Matemáticas I
DETERMINANTES
Dada una matriz cuadrada A ∈ Mn×n (K), se define su determinante como
Si n = 2,
Si n = 3,
..
.
a11 a12 = a11 a22 − a12 a21
det A = |A| = a21 a22 a11 a12 a13 a22 a23 a21 a23 a21 a22 det A = |A| = a21 a22 a23 = a11 −a12 a31 a33 −a13 a31 a32 a
a
32
33
a31 a32 a33 Definición.- Sea A = (aij ) ∈ Mn×n (K), se define la matriz adjunta Aij de A
como la submatriz (n − 1) × (n − 1) que se obtiene eliminando de A la fila i y
la columna j.
Se define el adjunto αij de A como el escalar αij = (−1)i+j |Aij |.
En general, |A| = a11 α11 + a12 α12 + · · · + a1n α1n .
Esta fórmula se puede desarrollar para cualquier fila o columna.
Propiedades.1. Intercambiar 2 filas (o columnas) en un determinante, cambia de signo de
éste.
2. Sumar un múltiplo de una fila (o columna) no altera el valor del determinante.
3. Multiplicar una fila (o columna) por λ ∈ K, multiplica el determinante
por λ.
4. |λ · A| = λn |A|.
5. |A| = |At |.
6. Si A tiene una fila (o columna) nula, entonces |A| = 0.
7. Si A tiene una fila (o columna) proporcional a otra, entonces |A| = 0.
8. |A · B| = |A| · |B|.
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Matrices
Matemáticas I
INVERSAS
Definición.- Sea A ∈ Mn×n (K), se define la inversa de A y se denota por A−1
a una matriz cuadrada n × n tal que A−1 · A = A · A−1 = Id.
Observación.- No toda matriz tiene inversa.
Definición.- Una matriz cuadrada se dice invertible si tiene inversa.
Teorema.- A es invertible ⇔ |A| =
6 0.
Observación.- La matriz inversa se puede calcular utilizando el método de
Gauss.
Si A es invertible, consideramos la matriz (A | Id) y operando con filas se
obtiene (Id |A−1 ).
RANGO DE UNA MATRIZ
Definición.- Un menor de A es el determinante de una submatriz cuadrada
que se obtiene a partir de A suprimiendo un cierto número de filas y columnas.
El rango de una matriz A es la dimensión del mayor menor no nulo de A. Se
escribe rg(A).
Propiedad.- Si A ∈ Mm×n (K), rg(A) ≤ mı́n{m, n}.
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Matrices
Matemáticas I
TEOREMA DE ROUCHÉ-FROBENIUS
Sea (S) un sistema de ecuaciones lineales con m ecuaciones y n incógnitas:


 a11 x1 + · · · + a1n xn = b1
..
..
(S) =
.
.


am1 x1 + · · · + amn xn = bm
Se dice que (s1 , . . . , sn ) es una solución del sistema (S) si cumple las m ecuaciones.
La matriz de coeficientes del sistema es A = (aij ).
El vector de términos independientes es b = (b1 , . . . , bm ).
La matriz ampliada del sistema es A∗ = (aij |bi ) = (A|b).
Definición.- Resolver un sistema de ecuaciones es encontrar todas sus soluciones.
Discutir un sistema de ecuaciones es analizar si posee una, varias o ninguna
solución.
En la discusión se clasifica el sistema:

 INCOMPATIBLE
(no tiene solución)
DETERMINADO (solución única)
 COMPATIBLE
INDETERMINADO (varias soluciones)
Observación.- Si un sistema tiene más de una solución, entonces tiene infinitas.
Teorema de Rouché-Frobenius
1) Un sistema tiene solución ⇐⇒ rg(A) = rg(A∗ ).
2) Si rg(A) = rg(A∗ ) = n (número de incógnitas) =⇒ el sistema es compatible
determinado.
3) Si rg(A) = rg(A∗ ) < n (número de incógnitas) =⇒ el sistema es compatible
indeterminado.
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Matrices
Matemáticas I
REGLA DE CRAMER
Si Ax̄ = b̄ es un sistema compatible determinado, la solución viene determinada
de la siguiente manera:
Como el sistema es compatible determinado ⇒ rg(A) = rg(A∗ ) = n ⇒ hay n
filas en A con un menor no nulo y n ≤ m.
Por lo tanto, si A ∈ Mn×n con |A| =
6 0 ⇒ A tiene inversa ⇒ x̄ = A−1 b̄

 
A11 A21 · · · An1
b1




A
A
·
·
·
A
b
22
n2   2 
1  12
x̄ =
 ..
..
..   .. 
|A|  .
.
.  . 
A1n A2n · · · Ann
b4
i
g
xi =
A1i b1 + A2i b2 + · · · + Ani bn
=
|A|
a11 · · ·
..
.
an1 · · ·
b1 · · ·
..
.
a1n
..
.
bn · · ·
|A|
ann
Observación.- Si el sistema es indeterminado se trabaja con una submatrix
del sistema correspondiente a uno de los menores con determinante no nulo.
SISTEMAS LINEALES HOMOGÉNEOS
Definición.- Un sistema se dice homogéneo si b = (0 · · · 0).
Ax = 0
Nota.- Un sistema homogéneo tiene siempre a (0, 0, . . . , 0) como solución.
Además, si (s1 , . . . , sn ) y (t1 , . . . , tn ) son soluciones, entonces también
α(s1 , . . . , sn ) + β(t1 , . . . , tn ) es solución, ∀α, β ∈ R.
Esta propiedad es esencial para el concepto de espacio vectorial. Estas combinaciones lineales describirán los espacios vectoriales y también las ecuaciones
lineales y homogéneas.
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Matrices