2 Integrales Indefinidas y Métodos de Integración La integral

2 Integrales Indefinidas y Métodos de Integración
La integral Indefinida o antiderivada es el nombre que recibe la operación inversa a la derivada.
Es decir, dada una función F aquella consiste en encontrar una función f tal que Df = F.
Diferencial de una función
Si f es derivable, definimos al diferencial de una función (df), como el producto de la derivada de
f por un incremento de la variable (∆x).
2.1 Definición Función Primitiva
Es aquella que después de haber sido derivada pasando por su diferencial y por el proceso de
integración no vuelve exactamente a su función original
Una relación entre las variables que contenga “n” constantes arbitrarias, se llama primitiva. Las
“n” constantes reciben el nombre de esenciales si no se pueden sustituir por un número menor
de constantes.
Ejemplo: Sea By = A.x² + C x + D ; las constantes A, B, C, D no son esenciales pues dividiendo
todo por B tenemos: y = A/B x² + C/B x + D/B = C1 . x² + C2 . x + C3
donde C1 = A /B
; C2 = C /B ; C3 = D/B luego y = C1 . x² + C2 . x + C3
Para hallar la ecuación diferencial de la primitiva dada; derivamos sucesivamente con respecto a
x
dy /dx= 2 C1 . x + C2 ;
d²y / dx² = 2 C1 ;
d3y / dx3
=
0
Como esta última está libre de constantes arbitrarias, es la ecuación diferencial asociada a la
primitiva dada.
y=3x”+2x+18
dy/dx=6x+2
dy=6x+2 (dx)
Integral=3x”+2x = 3x”+2x+c
2.2 Definición Integral Indefinida
“Integrar”, en el Cálculo, es el proceso inverso de la Derivación de funciones.
El conjunto de todas las primitivas de una función definida en se denomina integral indefinida y
se simboliza
Esta expresión se lee «integral de efe de equis diferencial de x
Por las propiedades de la función primitiva, si F(x) es una primitiva de f(x),
Donde C representa una constante llamada constante de integración.
Ejemplo:
la derivada de y=5x es y’=5, la derivada de y=5x+3 es y’=5, la derivada de y=5x-2 es y’=5.
Según la anterior definición, podemos decir que la integral de 5 es 5x+3, ó 5x-2 o bien 5. Por ello
se abrevia diciendo que la integral de 5 es 5x+cte.
2.3 Propiedades Integral Indefinida
• . La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de esas
funciones.
∫[f(x) + g(x)] dx =∫ f(x) dx +∫ g(x) dx
• La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la
integral de la función.
∫ k f(x) dx = k ∫f(x) dx
2.4 Calculo Integrales Indefinidas
2.4.1 Calculo Integrales Directas
La integración directa es aplicable es cuando identificamos la función primitiva de forma
inmediata; esto es, cuando conocemos la regla de derivación que al aplicarla nos permite hallar
el integrando a partir de la función primitiva.
Usando la Formula directa
Problema Resuelto
2.4.2 Calculo Integrales Por Cambio De Variable
El método de integración por sustitución o cambio de variable se basa en la derivada de la
función compuesta.
Para cambiar de variable identificamos una parte de lo que se va a integrar con una nueva
variable t, de modo que se obtenga una integral más sencilla.
cambio de variable y se diferencia en los dos términos:
:
2.4.3 Calculo Integrales Por Partes
Permite resolver un gran número de integrales no inmediatas y es recomendable
cuando tenemos en el integrando el producto de distintos tipos de funciones.
Origen de la Formula
1. Sean u y v dos funciones dependientes de la variable x; es decir, u = f(x), v = g(x).
2. La fórmula de la derivada de un producto de dos funciones, aplicada a f(x).g(x), permite
escribir, d (f(x).g(x)) = g(x).f´(x)dx + f(x).g´(x)dx
3. Integrando los dos miembros, ∫ d [f(x).g(x)] = ∫ g(x).f´(x).dx + ∫ f(x).g´(x).dx
De la misma manera que ∫ dx = x, también ∫ d [f(x).g(x)] = f(x).g(x)
Por tanto, f(x).g(x) = ∫ g(x).f´(x).dx + ∫ f(x).g´(x).dx.
De aquí se obtiene que:
∫ f(x).g´(x).dx = f(x).g(x) - ∫ g(x).f´(x).dx
Esta no es la fórmula usual de la integración por partes. Puesto que u =f(x), du = f´(x) dx, y
al ser v = g(x), dv = g´(x) dx.
Llevando estos resultados a la igualdad anterior.
La regla que corresponde a la del producto para la derivación se llama regla de
integración por partes, el método de integración por partes permite calcular la integral
de un producto de dos funciones aplicando la fórmula:
Ejemplo:
2.4.4 Calculo Integrales Trigonométricas
Son aquellas integrales que tienen funciones trigonométricas elevadas a exponentes
Si la integral es trigonométrica hay que tener en cuenta las siguientes identidades:
sen2x + cos2x = 1
1 + tag2x = sec2x
1 + cot2x = csc2x
sen2x = 1/2(1 - cos2x)
cos2x = 1/2(1 + cos2x)
senx cosx = 1/2sen2x
senx cosy = 1/2[sen(x - y) + sen(x + y)]
senx seny = 1/2[cos(x - y) - cos(x + y)]
cosx cosy = 1/2[cos(x - y) + cos(x + y)]
1 - cosx = 2sen21/2x
1 + cosx = 2cos21/2x
1 + sen x = 1 + cos(1/2p - x)
1 - sen x = 1 - cos(1/2p - x)
Especialmente importantes son estas dos identidades:
sen x = (2 tan(x/2))/(1 + tan2(x/2))
cos x = (1 - tan2(x/2))/(1 + tan2(x/2))
Haciendo t = tan x/2, nos queda:
sen x = 2t/(1 + t2)
cos x = (1 - t2)/(1 + t2)
dx = 2 dt/(1 + t2)
2.4.5 Calculo Integrales Por Sustitución Trigonométrica
La sustitución trigonométrica es una técnica de integración muy utilizada cuando ocurre
integrando algébricos. Ella se basa en el hecho que identidades trigonométricas muchas veces
posibilitan la sustitución de uno función algébrica por una función trigonométrica, que puede ser
más facilmente integrada.
La sustitución trigonométrica permite transformar una integral en otra que contiene funciones
trigonométricas cuyo proceso de integración es más sencillo.
El objetivo consiste en eliminar los radicales del integrando. Con este fin, usamos las identidades
pitagóricas,
EJEMPLO 1
Solución
La cual implica que,
Por tanto,
2.4.6 Calculo Integrales Por Fracciones Parciales
La Integración mediante fracciones parciales, es uno de los métodos de Integración mas fácil, en
donde la forma a seguir esta dada (se podría decir), por unos criterios.
Definición: Se llama función racional a toda función del tipo
son polinomios con coeficientes reales, y grado
Ejemplo:
CASO 1: Factores Lineales Distintos.
A cada factor lineal, ax+b, del denominador de una fracción racional propia (que el denominador
, siendo A una
constante a determinar.
2A - 2B
CASO 2: Factores Lineales Iguales.
A cada factor lineal, ax+b, que figure n veces en el denominador de una fracción racional propia,
determinar.
que se repita n veces en el denominador de una
siendo los valores de A y B constantes reales.