Integrales: breve introducción, empezando el

INTEGRALES
Este es un breve resumen cuya finalidad es únicamente dar una introducción al tema y
capacitar al estudiante para empezar a leer en la bibliografía recomendada.
Luego de una segunda lectura, el estudiante podrá empezar a a estudiar.
Por si no quedó claro, hay que leer el tema varias veces !!!!
Para empezar, estamos siguiendo el enfoque que hace el Prof. Fernándo Peláez en su libro
"Cálculo" del curso de Matemática I de la Facultad de Ciencias Económicas.
Definición: Si f es una función continua en [a,b] y además f es positiva o cero entre a y b, se
llama integral de f entre a y b al área delimitada por el eje OX, la gráfica de la función f y las
rectas x = a y x = b.
Si la función es no negativa, la integral entre a y b es igual al área.
Pero si la función puede ser negativa, la integral tambien puede ser negativa.
Sin embargo, las áreas son positivas siempre.
Un ejemplo lo explicará mejor que 1000 palabras:
Esto "no demuestra" nada. Es sólo un primer ejemplo que sirve como introducción al tema.
¿Y cómo calculamos integrales?
Veamos la fórmula de Barrow. Primero tenemos que repasar la definición de Primitiva.
F es una primitiva de f si y sólo si la derivada de F es f.
∫f
= F ⇔ F'= f
2
2x es una primitiva de x² porque la derivada de x² es 2x. ∫ 2 x = x ⇔
'
( ) = 2x
x2
Entonces, conociendo una primitiva de una función f se puede calcular la integral entre a y b
mediante la fórmula de Barrow.
b
∫
a
b
f = F a = F (b) − F (a) Veamos un ejemplo:
7
2
∫ 2x = x
3
7
3
= 7 2 − 32 = 49 − 9 = 40
Otra forma de calcular el área de la función f: f(x) = 2x entre x = 3 y x = 7 es el "método
escolar", de calcular el área de un trapecio.
Entonces, en resumen, con las integrales podemos calcular áreas, pero cuidado porque no
todas las integrales representan áreas.
Para calcular integrales necesitamos una primitiva y luego aplicar la fórmula de Barrow.
Luego de este pantallazo general, es recomendable empezar a leer el libro "Cálculo" del
Profesor Fernando Peláez.
Una lista de los temas que "hay que saber", en el orden en que aparecen en dicho libro, es:
1) Área debajo de una curva.
2) Concepto de Integral de una función en un intervalo.
3) Aditividad respecto al intervalo.
4) Acotación de la integral
5) Integral nula de una función no negativa.
6) Teorema del valor medio para integrales, con demostración.
7) Relación entre integral y derivada.
8) Teorema Fundamental del Cálculo Integral, con demostración.
9) Continuidad de la función integral.
10) Derivada de la función integral.
11) Linealidad de la integral.
12) Monotonía de la integral.
13) Segundo Teorema del Valor Medio.
14) Relación entre distintias primitivas de una función
15) Regla de Barrow.
16) Algunos métodos de integración: Partes, Sustitución, Cociente de Polinomios.
esta lista continuará.....