AMPLIACI´ON DE C´ALCULO

AMPLIACIÓN DE CÁLCULO
Curvas y Superficies
Práctica 4
Curso 2012-2013
1. Hallar la longitud del arco de curva
α
⃗ (t) = (t − sen(t), 1 − cos(t), 0)
entre los puntos correspondientes a los valores t = 0 y t = π.
(
2. Dada la curva α
⃗ (t) =
)
1
1
2
sen(t), cos (t), (t − sen(t) cos(t)) ,
2
2
a) Hallar el triedro de Frenet para cualquier valor de t ∈ R.
(
b) Obtener las rectas tangente y normal principal y el plano osculador en el punto
c) Calcular la curvatura y la torsión en el punto correspondiente al valor t0 =
)
1
0, , 0 .
2
π
del parámetro.
4
√ )
(
3. Dada la curva α
⃗ (t) = et , e−t , 2t
a) Hallar el triedro de Frenet para cualquier valor de t ∈ R.
b) Obtener la recta binormal y los planos rectificante y normal en el punto
(
)
1 √
e, , 2 .
e
c) Calcular la curvatura y la torsión para cualquier valor del parámetro.
(
)
4. Demostrar que la curva α
⃗ (t) = 2t2 + 3t − 5, t2 − 2t + 1, −3t2 + t − 7 es una curva plana y dar
la ecuación del plano en el que está contenida.
5. Expresar en forma paramétrica regular de la curva cuyas ecuaciones implı́citas son:
{ 2
x + y2 + z2 = 1
x2 + y 2 − z 2 = 0
6. Calcular la longitud de arco de la curva: α
⃗ (t) = (sen(t)+cos(t), sen(t)−cos(t), t) entre los puntos
(1, −1, 0) y (1, 1, π/2).
7. Hallar la expresión más general de la función f (t) para que la curva
α
⃗ (t) = (a cos(t), a sen(t), f (t))
sea plana.
8. Obtener el triedro de Frenet y la curvatura de α
⃗ (t) = (t, t2 , t3 ).
3 t3
9. Dada la curva α
⃗ (t) = (t, t2 , + at) (con a ∈ R), hallar la torsión en función del ángulo que
2
3
forma el vector binormal con el eje OZ.
10. Hallar la ecuación del plano tangente a la superficie
⃗x(u, v) = (u + v, u − v, uv)
que es perpendicular a la recta x = z, y = 3.
11. Se denomima superficie de revolución a la superficie engendrada por una curva, llamada
generatriz, que gira alrededor de una recta llamada eje de revolución.
Si consideramos generatrices de la forma α
⃗ (t) = (f (t), C, g(t)) con t ∈ (a, b) (f ′ (t) y g ′ (t) no se
anulan simultáneamente y f (t) > 0 ∀t ∈ (a, b)) y el eje una recta vertical (x = 0, y = C) se
puede construir la parametrización
⃗x(θ, t) = (f (t) cos(θ), C + f (t) sen(θ), g(t))
definida en U = {(θ, t) : 0 ≤ θ < 2π, a ≤ t ≤ b}.
Obtener las formas fundamentales y{ sus curvaturas normal, total y media de
{ la superficie de
x2 = 4z
x=0
revolución engendrada por la curva
al girar alrededor de la recta
.
y=3
y=3
12. Dada una curva α
⃗ (t) (directriz) y una función vectorial dependiente de un parámetro w(t),
⃗
consideramos por cada punto de la curva una recta cuya dirección sea la de w(t)
⃗
(generatrices).
Se denomina superficie reglada a la superficie generada de esta forma que puede parametrizarse
por
⃗x(t, λ) = α
⃗ (t) + λw(t)
⃗
Si w
⃗ es constante, la superficie que se obtiene se llama cilı́ndrica.
Tomando como directriz la curva α
⃗ (t) = (1 + cos(t), 1 + sen(t), 1) con t ∈ [0, 2π] y como generatrices las rectas de dirección (1, −1, 1), se pide:
a) una parametrización de esta superficie cilı́ndrica.
b) los valores de t para los que la curvas paramétricas son ortogonales.
c) las curvas asintóticas.
d ) la curvatura total.
13. Consideremos la superficie
⃗x(u, v) = (u + v, u − v, u2 − v 2 )
se pide:
a) Hallar
la longitud de las curvas x} = c, ∀c ∈ R definidas sobre la superficie en U =
{
(u, v) ∈ R2 : 0 ≤ u < v, 0 ≤ v < ∞ .
π
b) ¿Para qué valor de c se cortan las curvas x = c e y = c formando un ángulo de ?
3
14. Dada la superficie parametrizada por
⃗x(u, v) = (u − v, 2u + v, uv)
se pide para el punto (0,3,1):
a) las curvaturas principales
b) las lı́neas de curvatura principal
c) la curvatura media y total en el punto
d ) clasificación
15. Dada la superficie parametrizada por
⃗x(u, v) = (u cos(v), u sen(v), u + v)
hallar las ecuaciones de la familia de curvas que sobre ella es ortogonal a las curvas dadas por
u = Cev siendo C una constante.
16. Considerando la siguiente parametrización del hiperboloide de una hoja:
⃗x(u, v) = (cos(u) − v sen(u), sen(u) + v cos(u), v)
hallar:
{
}
a) el área para (u, v) ∈ R2 : u ∈ [0, 2π], v ∈ [0, 2]
b) las lı́neas de curvatura principal
c) las lı́neas asintóticas
d ) clasificación de cada punto

2, 11
 a=0:
1 ≤ a ≤ 6 : a, a + 10
Problemas para entregar: Si

a≥7:
a, 2a − 4
siendo a la penúltima cifra de tu dni.