I.P.A.
Matemática III-Esp. Física
2009
Práctico 1- Curvas y Triedro de Frenet
1. Represente los recorridos de las siguientes curvas:
a)
:
(t) = (t + 2 ; 3
4t), t 2 R
b)
:
(t) = (sen 2 (t) ; sen (t)), t 2 R:
c)
:
(t) = (t + 2 ; t2
d)
:
(t) = (2 cos (t) ; 3sen (t)), t 2 [0; 2 ]
e)
:
(t) =
f)
:
(t) = (senh (t) ; cosh (t)) , t 2 R
t), t 2 R
2
t
;
,t2R
t2 + 1 t2 + 1
2. Calcule las longitudes de las siguientes curvas:
a) Curvas dadas por el grá…co de una función real (denotada y = f (x) )
i. y = 5x + 1 , 0
ii. y = L x , 1
3
iii. y = x 2 , 0
iv. y = 3 cosh
x
x
5
x
1
x
3
,0
3
x
2
b) Curvas paramétricas:
i.
(t) = (t; 5t + 1) , 0
ii.
(t) = (8t2 ; 6t2
iii.
2
t
3t4 ) , 0
3
t
p
2
(t) = (cosh (t) ; senh (t)) , 0
2
t
1
3. Algo de vectores: Realice los ejercicios de las páginas 573 y 574 del libro “Cálculo con
Geometría Analítica” , Purcell y Varberg.1
4. Algo de polares:
a) Estudie los ejemplos 1 al 6 (sección 12.6 del mismo libro).
b) Realice los ejercicios 17 a 36 de la página 541.
1
El alumno que considere que estos ejercicios son “simples” puede obviarlos.
1
5. Encuentre una ecuación cartesiana para los siguientes planos:
a) Determinado por los puntos A(2,3,4), B(-1,2,0) y C(0,5,4)
b) Pasa por P (2; 1; 3) y contiene a los vectores !
u = ( 2; 1; 1) y !
v = (0; 2; 1):
c) Pasa por Q(1; 2; 0) y contiene determinada paramétricamente por
: (t) = (2 + t; 2
3t; 2t)
6. (parte del examen de julio de 2008)
Sean las curvas 1 : 1 (t) = (6 t; 3; t) y 2 : 2 ( ) = ( ; 6 + ; 9)
Pruebe que no son secantes y que tampoco son coplanares.
En los siguientes ejercicios usaremos básicamente los siguientes resultados:2
2
!
d2 s
dt2
y
!
!
!
!
a(t) = (t) = ddt2s T + ds
N donde T y N son los versores tangencial y normal a
dt
la curva y es la curvatura.
Los escalares
ds
dt
son denotados por aT y aN respectivamente y pueden
calcularse de la siguiente manera: aT =
=
3
y aN =
y por lo tanto
.
Para calcular la torsión usaremos la expresión
=
2
Para terminar, los vectores T , N y B (donde B = T N ) determinan una terna de
vectores ortonormales que de…nen un triedro trirrectángulo conocido como triedro
de Frenet.
7. Suponga que las siguientes funciones representan la posición de una partícula en función
del tiempo y a partir de ellas, calcule la velocidad y la aceleración en el instante indicado:
a)
: (t) = (3t; 4(t2
1); 2t3 ) , en t = 1
b)
: (t) = (4t2 ; 9t; t4 ) , en t = 2
c)
: (t) = (tsen (t) ; et ; cos (t)) , en t = 0
2
Los alumnos interesados pueden encontrar justi…caciones interesantes en el libro “Cálculo Vectorial ”, Pita
Ruiz , pags. 519-534).
2
8. Ídem anterior, pero en este caso encuentre aN y aT :
a)
: (t) = (t; t2 ; t3 ) , en t = 1
b)
: (t) = (e t ; 2t; et ) , en cualquier instante t
9. Ídem anterior, pero en este caso encuentre , , T , N y B:
a)
: (t) = (t2
b)
: (t) = (sen (3t) ; cos (3t) ; t) , en t =
p
: (t) = e 2t ; e2t ; 2 2t , en t = 0
c)
1; 2t + 3; t2
10. Considere la hélice
4t) , en t = 2
9
: (t) = (a cos (t) ; asen (t) ; bt) . Demuestre que:
a) el ángulo que forma la tangente con el eje z es constante
b) la recta normal en cualquier punto es perpendicular al eje z
c) el ángulo que forma la binormal con el eje z es constante
d) el cociente entre
11. Considere la curva
y
es constante.
: (t) = ( t cos (t) ; tsen (t) ; t) : Demuestre que:
a) la curva está contenida en el cono de ecuación z 2 = x2 + y 2 :
b) el ángulo que forma la tangente con el eje z es constante
c) la recta normal en cualquier punto es perpendicular al eje z
d) el ángulo que forma la binormal con el eje z es constante
e) el cociente entre
y
es constante.
12. (*) Se considera la curva de ecuación
: (t) = (t2
1; 2t + 3; t2
4t).
a) Encuentre aT y aN en el instante t = 1:
b) Encuentre las componentes del triedro de Frenet en t = 1 y realice una interpretación
grá…ca de los resultados.
3
13. (*) Sea
la curva paramétrica dada por (t) = (4t; 3sen (2t) ; 3 cos (2t))
a) Parametrice a la curva respecto a s, la longitud del arco de curva. Tome (0)
como primer punto de la curva.
b) Encuentre T , N , B,
ciones de Frenet.
y
en función de s y compruebe que se satisfacen las ecua-
14. (*) La posición de una partícula en función del tiempo está dada por la expresión:
(t) = (2sen (t) ; 3 cos (t) ; 3t) .
a) Calcule la curvatura
y la torsión
en función de t.
b) Determine las componentes T, N y B del triedro de Frenet en el instante t =
realice una interpretación grá…ca del resultado.
15. De una función se conoce que
y que (0) = 1; 23 ; 0 .
y
(t) = (4t; 3tsen (t2 ) ; 3t cos (t2 )), t 2 [0; +1)
a) Encuentre la longitud del recorrido de , en tanto t recorre el intervalo [0; ].
b) Veri…que que se satisfacen las igualdades conocidas como ecuaciones de Frenet en
cualquier punto del recorrido de :
4
0
