Formulario Curvas Rn - U

Departamento de Ingenierı́a Matemática
MA1002-6 / Cálculo Diferencial e Integral
Semestre Primavera 2014
Formulario Curvas Rn
Profesor: Raúl Uribe S.
Auxiliares: Patricio Santis T.
Noviembre de 2014
Parametrizaciones importantes
Coordenadas Polares
→
−
r (ρ, θ) = (ρ cos(θ), ρ sin(θ))
ρ ∈ [0, +∞[,
θ ∈ [0, 2π[
ρ ∈ [0, +∞[,
θ ∈ [0, 2π[,
Coordenadas Cilı́ndricas
→
−
r (ρ, θ, z) = (ρ cos(θ), ρ sin(θ), z(ρ, θ))
z∈R
Coordenadas Esféricas
→
−
r (r, φ, θ) = (r sin(φ) cos(θ), r sin(φ) sin(θ), r cos(φ))
r ∈ [0, +∞[,
φ ∈ [0, π],
θ ∈ [0, 2π[
−
Sea la curva en Rn parametrizada por →
r (t) = (x1 (t), x2 (t), ..., xn (t)), se define la norma euclidiana
como:
p
−
||→
r (t)|| = x1 (t)2 + x2 (t)2 + ... + xn (t)2
Se definen los siguientes conceptos para curvas en Rn :
Longitud de una curva Γ entre t0 y tf
Z
tf
L=
t0
→
d−
r
(τ
)
dt dτ
Vectores unitarios Tangente (T̂ ), Normal (N̂ ) y Binormal (B̂)
T̂ =
→
d−
r (t)
dt −
d→
r (t) dt dT̂ (t)
N̂ = dt dT̂ (t) dt Curvatura (κ), Torsión (τ ) y Radio de Curvatura (R)
dT̂ (t) −N̂ · ddtB̂
dt κ(t) = τ (t) = →
→
d−
d−
r (t) r (t) dt dt 1
B̂ = T̂ × N̂
R(t) =
1
κ(t)
Otra forma de calcular algunos vectores:
→
−
−
r (t)0 × →
r (t)00
B̂ = →
−
→
−
0
|| r (t) × r (t)00 ||
−
−
||→
r (t)0 × →
r (t)00 ||
κ=
−
||→
r (t)0 ||3
−
−
−
(→
r (t)0 × →
r (t)00 ) × →
r (t)0
→
−
→
−
→
−
0
00
||( r (t) × r (t) ) × r (t)0 ||
−
−
−
(→
r (t)0 × →
r (t)00 ) · →
r (t)000
τ=
−
−
||→
r (t)0 × →
r (t)00 ||2
N̂ =
−
Para encontrar la parametrización en longitud de arco σ(s) de una curva parametrizada por →
r (t):
Z t →
d−
r
(τ
)
i) Calcular la longitud de arco s = s(t) =
dt dτ , ası́ se obtiene s en función de t.
a
ii) Despejar t en función de s. No siempre se va a poder despejar.
−
−
iii) Reemplazar el valor de t en la parametrización →
r (t(s)) = →
σ (s)
Para la parametrización en longitud de arco se tiene:
Vectores unitarios Tangente (T̂ ), Normal (N̂ ) y Binormal (B̂)
−
d→
σ
T̂ =
ds
N̂ =
dT̂ (s)
ds dT̂ (s) ds B̂ = T̂ × N̂
Curvatura (κ), Torsión (τ ) y Radio de Curvatura (R)
!
dT̂ d
B̂
κ(t) = τ (t) = −N̂ (s) ·
ds ds
R(s) =
1
κ(s)
Fórmulas de Frenet
dT̂
= κN̂
ds
dN̂
= −κT̂ + τ B̂
ds
dB̂
= −τ N̂
ds
Integral sobre una curva
Z
Z
b
f dl =
Γ
a
→
d−
r (t) →
−
dt
f ( r (t)) dt −
−
Para calcular masa de un cuerpo de densidad ρ(x, y, z) se tiene que f (→
r (t)) = ρ(→
r (t))
→
Z b
d−
r
(t)
→
−
M=
ρ( r (t)) dt dt
a
Centro de masa
→
Z b
d−
1
r
→
−
dt
XG =
xr · ρ( r ) M a
dt 1
YG =
M
Z
a
b
→
d−
r
→
−
dt
yr · ρ( r ) dt 2
1
ZG =
M
Z
a
b
→
d−
r
→
−
dt
zr · ρ( r ) dt Cálculo Vectorial
T̂ · N̂ = T̂ · B̂ = N̂ · B̂ = 0
(Vectores perpendiculares)
T̂ · T̂ = N̂ · N̂ = B̂ · B̂ = 1
T̂ × T̂ = N̂ × N̂ = B̂ × B̂ = 0
T̂ × N̂ = B̂, N̂ × B̂ = T̂ , B̂ × T̂ = N̂
 
 
y1
x1
→
−
→
−



Sea x = x2 y y = y2 , se define el producto interno como:
y3
x3
→
−
−
x ·→
y = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3
y el producto cruz:


x 2 y3 − x 3 y2
→
−
−
x ×→
y =  x 3 y1 − x 1 y3 
x 1 y2 − x 2 y1
Cada fracaso enseña al hombre algo que necesitaba aprender.
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