Auxiliar 2"MA26B: Matemáticas Aplicadas - U

Universidad de Chile
Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas
Departamento de Ingeniería Matemática
Auxiliar 2-MA26B: Matemáticas Aplicadas
Profesor: Héctor Ramírez
Profesor Auxiliar: Omar Larré
1. En la auxiliar anterior estudiamos una curva parametrizada en polares por:
!
r ( ) = e b + he b
k ,
2 [0; 2 ]
de la cual se podía deducir que:
d!
r( )
d
= e b + e b + he b
k
Z
Z
!
p
dr( )
s( ) =
d =
e 2 + h2 d = (e
d
0
0
s
(s) = ln p
+1
2 + h2
p
1) 2 + h2
luego la parametrización natural está dada por:
!
r 1 (s) =
p
s
+ 1 b( (s)) + h
2 + h2
Además, encontramos los vectores:
T( ) =
d!
r( )
d
d!
r( )
d
b + b + hb
k
= p
2 + h2
;
dT ( )
d
dT ( )
d
N( ) =
p
s
+1 b
k
2 + h2
b b
= p
2
;
2b
k hb hb
B( ) = p p
2 2 + h2
De lo cual se deduce que:
:
:
dT (s)
=
=
ds
=
dT ( )
d
1
dB
N = ds
ds
d
ds
d
=
e
b
p b
2+h2
p
dB
N
d
2+
h2
=
p
2
= ( )
e (2 + h2 )
1
= p
e 2 + h2
La conclusión es que:
=
hb + hb
p p
2 2 + h2
!
b b
p
2
!
=
h
= ( )
e (2 + h2 )
p
2
h
Ejercicio: Si la densidad de masa lineal descrita en polares tiene la forma f ( ; ; z) = z
2
) 4
muestre que la masa de la curva es M = h(2+h
(e
1) . Calcule además el centro de
2
masa.
!
2. Considere una curva
R3 con la siguiente propiedad : existe un punto P 0 por el cual
pasan todas las rectas normales a (note que todo arco de circunferencia satisface esta
propiedad). Sea !
r (s) : [0; `( )] ! R3 una parametrización de en longitud de arco.
!
(a) Justi…que la existencia de una función escalar ' : [0; `( )] ! R tal que P 0 =
!
b (s) donde N
b (s) denota el vector normal.
r (s) + '(s)N
1
(b) Demuestre que se cumplen las siguientes igualdades
1
(s)'(s) = 0
'0(s) = 0
(s)'(s) = 0
donde (s); (s) son la curvatura y la torsión de , respectivamente.
(c) Concluya que
es una curva plana.
(d) Demuestre …nalmente que
es un arco de circunferencia.
3. Calcular rf en coordenadas cilíndricas, donde
p
arccos(z= x2 + y 2 + z 2 )
f (x; y; z) =
x2 + y 2 + z 2
Recuerde que
rf =
1 @f
1 @f
1 @f
vb +
u
b+
w
b
hv @v
hu @u
hw @w
4. Considere las coordenadas toroidales:
!
r ( ; '; r) = ((R+rsen')cos ; (R+rsen')sen ; rcos');
2 [0; 2 ); ' 2 [0; 2 ); r 2 [0; a]:
(a) Encuentre los factores escalares y describa el gradiente de una función diferenciable
F : R3 ! R en estas coordenadas.
(b) Calcule la integral
ZZZ
V
1
p
dxdydz
2
x + y2
donde V representa el volumen de un toro de radio mayor R y radio menor a:
5. Muestre que si una super…cie S simple y regular se parametriza por !
r : D R2 ! R3 ,
!
!
!
r =!
r (u; v) y tal que el sistema de coordenadas es ortogonal (i.e. @@ur ? @@vr ) entonces
dA = hu hv dudv
6. Considere la super…cie del semi-toro parametrizada por:
!
r ( ; ') = ((R + asen')cos ; (R + asen')sen ; acos');
3
2 [0; 2 ); ' 2 [ ;
):
2 2
Suponga que la densidad de masa super…cial es constante e igual a
de la super…cie y el centro de masa.
2
0:
Calcule la masa