Rabinowitz1

Solución
Cambio la p
notación para los vértices por comodidad (…gura de la derecha).Dado el cuadrado ABCD de lado a,sus diagonales
AC = BD = a 2
p
Sea E el incentro del 4ABD cuyos lados son AB = BC = a ; BD = a 2,
El semiperímetro p y el área del 4ABD es
p
a2
(2 + 2)
p=
a y S4ABD =
2
2
Por lo que su radio es
a2
p
1
S4ABC
2
p
= a 2
r1 =
=
2
(2+
2)
p
2
a
2
p
2
Como E es el incentro del 4ABD y G es su punto de tangencia con el lado AD; entonces GE = 21 a 2
p
p
El segmento EF = a 2GE = a a 2
2 =
2 1 a
q
p p
p
p 2
p
2
6 ( 2 1)
2
a
Aplicando Pitágoras en 4GEF rectángulo en E. GF = GE 2 + EF 2 = a4 2
2 +
2 1 a2 =
2
Vamos a determinar el radio del incírculo del 4GE F_ Su semiperímetro, s, y su super…cie S4GE F_ son
1
s=
2
p
6
p
!
p
p
p
1
1
a+
2 1 a+ a 2
2
= a 2 3+ 2
2
4
p
p
1
p
a 2
2
2 1 a
GE EF
1
=
= 2
= a2 3 2 4
2
2
4
2
2
S4GE F_
p
1
p
6
El radio, r2 , del incirculo de dicho triángulo es
r2 =
S4GE F_
s
p
3 2 4
1 p
p
p
p = a
= 1
2
4
2
6
4a 2 3 +
1 2
4a
p
p
2 3+ 6
Calculemos ahora el inradio, r3 ; del 4AGC
p
p
[ = 45o podemos determinar el lado GC aplicando el teorema del
2 ,AC = a 2 y CAG
Como AG = GE = 12 a 2
coseno
r
p
p 2
p
p p p2
a 6
a2 (2
2)
2
2
o
2
2
GC = AG + AC
2AG AC cos 45 =
+ 2a
a 2
2 2 2 =
4
2
En dicho triángulo su semiperímetro, t; y su super…cie S4AGC son
p !
p
p
p
1 1
a 6
a p
GA CD
t=
a 2
2 +a 2+
=
2 + 6 + 2 y S4AGC =
=
2 2
2
4
2
Por lo que el inradio del 4AGC es r3 =
S4AGC
t
=
1 2
4a
a
4
p
(
p
(2 p 2)
2+ 6+2)
= 41 a
p
2
p
p
2 3+ 6
Como r2 = r3 los íncírculos de los triángulos 4AGC y 4GE F_ son congruentes
1
1
2a
p
2
2
2 a
=
1 2
a 2
4
p
2