Problemas de Geometr´ıa diferencial Clásica

Problemas de Geometrı́a diferencial Clásica
Grupos A y B.
Curso 2004/2005. Hoja 1
1.1 Dibujar y hallar la longitud de la curva plana r = a sen 3 (θ/3), 0 ≤ θ ≤ 3π, a > 0.
1.2 Parametrizar una circunferencia de radio R, hallar la base de Frenet y su curvatura.
1.3 Estudiar la catenaria (en coordenadas cartesianas) y = b[cosh(x/b − a) − cosh a] donde
b = T /(ρg) y a = ρgd/(2T ). (ρ es la densidad lineal de la cuerda, g la aceleración de la
gravedad, T la tensión en el punto más bajo y d la distancia entre puntos de sujeción).
1.4 Determinar expresiones explı́citas para la base de Frenet, la curvatura y la torsión de una
curva con una parametrización arbitraria.
1.5 Hallar la curvatura de las siguientes curvas:
a) y = sen x, b) y 2 = 2px, c) x = a cos t, y = b sen t d) x = a cosh t, y = b senh t
1.6 Un punto P se mueve a lo largo de la generatriz de un cilindro circular con velocidad
proporcional al camino recorrido. A su vez el cilindro gira en torno a su eje con velocidad
angular constante.Hallar las ecuaciones paramétricas de esa curva.
1.7 La curva de Viviani es la intersección de la esfera de radio R con el cilindro circular de
radio R/2, cuya generatriz pasa por el centro de la esfera. Estudiar dicha curva
1.8 Los ejes de dos cilindros circulares de radios a y b se cortan en un ángulo recto. Hallar
ecuaciones paramétricas para la curva intersección (curva bicilı́ndrica). ¿ Qué ocurre cuando
a=b?
1.9 Determinar las ecuaciones de la recta tangente y del plano normal de una curva intersección
de dos superficies F (x, y, z) = 0, G(x, y, z) = 0, donde
rango
Fx Fy Fz
Gx Gy Gz
!
=2
1.10 Estudiar la hélice (R cos t, R sen t, a t), R > 0, a > 0.
1.11 Demostrar que una curva es plana si y sólo si su torsión es cero.
1.12 (Interpretación de la dinámica Newtoniana desde la geometrı́a diferencial) Dada una
curva ~x(t) en el espacio, determinar sus vectores velocidad y aceleración en términos de la
base de Frenet. Determinar también la curvatura y la torsión en términos de la velocidad y de
la aceleración.
1.13 Estudiar la curva p(t) = (t + 1, t2 + 2, t3 ). Estudiar en particular el punto (1, 2, 0).
1.14 Estudiar las curvas: a) y = f (x), z = g(x), b) ~x(t) = (a(t − sen t), a(1 − cos t), bt).
1.15 Demostrar que una curva es una recta si: a) Todas sus tangentes pasan por un punto
fijo, o también si b) todas sus tangentes son paralelas a una dada.
1.16 Hallar una representación paramétrica de una curva cuya torsión es constante y negativa
y tal que su vector binormal es b̂(t) = cos2 t êx + sin t cos t êy + sin t êz .
1.17 Sea α(t) una parametrización regular cuyas funciones torsión y curvatura no se anulan
en ningún punto. α es una hélice con eje en la dirección del vector unitario ê y ángulo θ si
todos los vectores tangentes a α forman un ángulo θ con ê.
1. Probar que si α es una hélice caracterizada por (ê, θ), entonces ê es combinación lineal
de t̂ y b̂ ∀t. Calcular los coeficientes de la combinación lineal.
2. Probar que α es una hélice si y sólo si κ/τ es constante. Expresar este cociente en
función del ángulo θ de la hélice.
3. Demostrar que una parametrización natural α es una hélice si y sólo si (∂ t2 α×∂t3 α)·∂t4 α =
0.
√
√
√
4. Estudiar la parametrización [cos(t/ 2), sin(t/ 2), t/ 2]. Demostrar que es una hélice,
calcular su eje y su ángulo.
1.18 Sea α una parametrización natural de una curva cuya torsión no se anula y que está
contenida en una esfera. Demostrar que dicha curva no tiene puntos de inflexión y que la
función
!2
1
∂t κ
+
κ2
τ κ2
es constante. Calcular su valor.
1.19 Determinar la función ϕ tal que la curva
α
~ (t) =
Z
t
ds ϕ(s) sin s,
0
Z
t
ds ϕ(s) cos s,
0
Z
t
ds ϕ(s) tan s ,
0
tiene radio de curvatura constante. Calcular el plano rectificante.
2
t ∈ (0, π/2)