Demostración de que la expresión dada para la normal es una

Demostración de que la expresión dada para la normal
es una función de densidad
f (x) = √
(x−µ)2
1
e− 2σ2 ,
2π σ
−∞ < x < ∞
Para que sea función de densidad debe verificar:
1. f (x) ≥ 0, lo cual se deduce de la propia definición.
Z +∞
2.
f (x)dx = 1. En efecto, llamando I a la integral anterior y haciendo el cambio
−∞
de variable
z=
se tiene
Z
1
I=√
2π
+∞
e
2
− z2
−∞
x−µ
,
σ
dx
σ
dz =
2
dz = √
2π
Z
+∞
z2
2
e− 2 dz = √
I1 .
2π
0
Calculemos el valor de I1 . Para ello, tengamos en cuenta lo siguiente:
Z
I1 I1 =
I12
Z
+∞
=
e
−y 2 /2
dy
0
Z
+∞
e
−x2 /2
+∞
Z
+∞
dx =
e
0
0
−(x2 +y 2 )
2
dxdy = (∗)
0
realizando un cambio a polares
2
2
2
¯ x +y =r
¯ cos θ −rsenθ
|J| = ¯¯
senθ r cos θ
x = r cos θ dx = cos θdr − rsenθdθ
y = rsenθ dy = senθdr + r cos θdθ
¯
¯
¯=r
¯
resulta
Z
π/2
Z
(∗) =
re
0
Z
π/2
=
Por tanto, I1 =
I = 1.
π
=
2
−r2 /2
dr dθ =
Z
i+∞
h
−r2 /2
dθ =
−e
π/2
0
√
+∞
dθ
0
0
Z
π/2
0
0
r
Z
+∞
r e−r
2 /2
dr =
0
π/2
dθ = [θ]0
=
π
.
2
2π
, de donde, finalmente, se tiene que la integral buscada,
2
1