AMPLIACI´ON DE C´ALCULO

AMPLIACIÓN DE CÁLCULO
Práctica 4.1
Curvas y Superficies
Curso 2011-2012
1. Hallar una representación paramétrica regular de la curva intersección del cilindro x2 + y 2 = 1
con el plano x + y + z = 1.
2. Dada una curva α
~ (s) parametrizada por el arco, obtener sus evolventes, es decir las curvas
contenidas en la superficie generada por las rectas tangentes a α
~ con dirección ortogonal a las
tangentes a α
~ . Hallar el triedro de Frenet y la curvatura de las evolventes en función de los de
α
~ (s).
3. ¿En qué puntos de la curva dada por x = 3t − t3 , y = 3t2 − 2, z = 3t + t3 su recta tangente es
paralela al plano π : 3x + y + z + 2 = 0?
4. Calcular la longitud de arco de la curva:
x3 = 3a2 y
entre los planos y = a/2 e y = 9a.
2xz = a2
5. Introducir la longitud de arco como parámetro a lo largo de α
~ (t) = (et cos t, et sen t, et )
6. Obtener el triedro de Frenet en los puntos de la curva α
~ (t) = (3t − t3 , 3t2 , 3t + t3 )
7. Demostrar que la curva α
~ (t) = (t,
1 + t 1 − t2
,
) está contenida en un plano y obtenerlo.
t
t
n
o
8. Sea ~t, ~n, ~b el triedro de Frenet asociado a una curva α
~ (s) de torsión (τ ) constante parametrizaR
~ = −1 ~n + ~bds es constante.
da por el arco. Demostrar que la curvatura de la curva β
τ
9. Hallar la curva formada por los centros de curvatura de la curva α
~ (t) = (a cos(t), a sen(t), bt) con
+
a, b ∈ R
10. Sabemos que la torsión de α
~ es 1 en todos los puntos y su binormal es
−1 p
~b = − √
(+ 1 − t2 , t, −1)
2
Hallar los restantes elementos del triedro de Frenet.
11. ¿Cómo debe ser f (u) para que las curvas coordenadas de la superficie
~x(u, v) = (ueav cos(v), ueav sen(v), f (u)eav )
sean ortogonales?
12. Consideremos la superficie
~x(u, v) = (u2 + v 2 , u2 − v 2 , uv)
definida en U = (u, v) ∈ R2 : u2 ≤ v, u ≥ 1, v ≤ 4 . Hallar, para todos los valores de a, las
longitudes de las curvas contenidas en la superficie para las que v = au
13. Dada una curva α
~ (t) = (f (t), 0, g(t)) con t ∈ (a, b) (f 0 (t) y g 0 (t) no se anulan simultáneamente
y f (t) > 0 ∀t ∈ (a, b)) se puede construir la parametrización
~x(θ, t) = (f (t) cos(θ), f (t) sen(θ), g(t))
definida en U = {(θ, t) : 0 ≤ θ < 2π, a ≤ t ≤ b}. A la superficie parametrizada por ~x se le denomina superficie de revolución. Obtener sus formas fundamentales y sus curvaturas normal,
total y media para el caso en el que f (t) = 2 + cos t y g(t) = sen t que corresponden a un toro
circular que se obtiene al girar la circunferencia de radio 1 centrada en (2, 0, 0).
14. Se denomina superficie reglada a aquella parametrizada por
~x(t, λ) = α
~ (t) + λw(t)
~
Consideremos en particular los conoides rectos con generatrices paralelas a z = 0 y directriz
el eje OZ:
~x(t, λ) = (0, 0, f (t)) + λ(cos(t), sen(t), 0)
Hallar f (t) de modo que las curvas asintóticas sean ortogonales.
15. Consideremos la superficie:
√
1
~x(t, θ) = (t cos(θ), t sen(θ), 3t)
2
Hallar los ángulos que forma la curva que sobre ella verifica t = 7eθ/2 con las curvas coordenadas.
16. Hallar el área del paraboloide z = x2 + y 2 para (x, y) ∈ D = (x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 1
17. Consideremos la superficie
~x(u, v) = (u, v,
Se pide:
a) Clasificar los puntos de la superficie
b) Hallar las curvas asintóticas
u3 v 2
− )
3
2
con u, v ∈ R
18. Sean F~ (x, y, z) = (2xz 2 , 1, xy 3 z) y f (x, y, z) = x2 y. Calcular:
a) ∇f
b) rot(F~ )
c) F~ × ∇f
d ) F~ · ∇f
e) rot(F~ × ∇f
19. Dados f (x, y, z) = xyz 2 y F~ (x, y, z) = (xy, yz, yz), comprobar que se cumple la igualdad:
rot (f F~ ) = f rotF~ + ∇f × F~
20. Hallar las lı́neas de flujo del campo vectorial F~ (x, y, z) = (y, −x, z).
Problemas para entregar: siendo a la antepenúltima cifra de tu dni.
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