cálculo diferencial e integral - Tecnológico de Estudios Superiores

TECNOLÓGICO DE ESTUDIOS SUPERIORES DE ECATEPEC
DIVISIÓN DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA Y TELEMÁTICA
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
CON PRÁCTICAS DE LABORATORIO
EN SCIENTIFIC WORKPLACE
Material de Apoyo para los cursos de
Matemáticas I y II
M. en C. Antonio Silva Martínez
2008
1
TECNÓLÓGICO DE ESTUDIOS SUPERIORES DE ECATEPEC
DIVISIÓN DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA Y TELEMÁTICA
ÍNDICE
Página
I. Introducción
1.
2.
5
Scientific WorkPlace.
1.1 Una Breve descripción del programa
6
1.2 Herramientas de Scientific WorkPlace
6
1.2.1
Editor de Scientific WorkPlace
7
1.2.2
Sintaxis de Scientific WorkPlace
8
1.2.3
Exportación y importación de contenidos y figuras
11
1.3 Presentación de resultados.
11
1.4 Scientific Workplace. Una sesión de trabajo
12
La Función de una variable real
2.1 Definición de función
2.1.1
Funciones elementales
2.1.2
Propiedades de funciones
2.2 Gráficas de funciones con Scientific WorkPlace
3.
14
15
16
El Límite de una función de una variable real
3.1 Idea intuitiva de límite
3.1.1. Límites laterales
18
3.1.2. Propiedades de los límites
18
3.1.3. Límite de una función en un punto
19
3.1.4. Límites infinitos
19
3.1.5. Operaciones con límites
21
3.1.6. Ejemplos
21
2
3.2. Límites de funciones con Scientific WorkPlace
4.
La Derivada de una función de una variable real
4.1. Definiciones de la derivada de una función
28
4.1.2. Operaciones con la derivada de una función
30
4.1.3. Ejemplos
31
32
El Diferencial de una función de una variable real
5.1. Definición de diferencial de una función
5.1.1. Ejemplos
5.2. Diferenciales de funciones con Scientific WorkPlace
6.
26
4.1.1. Propiedades de la derivada de una función
4.2. Derivadas de funciones con Scientific WorkPlace
5.
24
34
35
37
La Integral indefinida de una función de una variable real
6.1 Definición de integral indefinida
6.1.1 Primitiva de una función
38
6.1.2 Propiedades de la integral indefinida
39
6.1.3 Ejemplos
41
6.2 Integrales Indefinidas con Scientific WorkPlace
7.
42
La Integral definida de una función de una variable real
7.1 Definición de integral definida
8.
7.1.1 Propiedades de la integral definida
45
7.1.2 Ejemplos
46
7.2 Integrales definidas con Scientific WorkPlace
48
7.3 Aplicaciones. Área bajo una curva
49
Prácticas de Cálculo Diferencial e Integral con Scientific WorkPlace
Práctica No. 1 Gráficas de Funciones
58
Práctica No. 2 Límites de Funciones
59
Práctica No. 3 Derivadas de Funciones
60
3
9.
Práctica No. 4 Diferenciales de Funciones
61
Práctica No. 5 Integrales Indefinidas de Funciones
62
Práctica No. 6 Integrales Definidas de Funciones
63
Práctica No.7 Aplicaciones. Área Bajo una Curva
64
Apéndice
Apéndice A. Factorización de expresiones Algebraicas con Scientific WorkPlace
65
Apéndice B. Tablas de Derivadas e Integrales
66
Apéndice C. Reporte de práctica
69
10. Bibliografía
71
4
TECNÓLÓGICO DE ESTUDIOS SUPERIORES DE ECATEPEC
DIVISIÓN DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA Y TELEMÁTICA
INTRODUCCIÓN
Este material es de apoyo para los cursos de Cálculo Diferencial e Integral de funciones
de una variable, con aplicaciones, correspondiente a la carrera de Ingeniería Electrónica,
del Tecnológico de Estudios Superiores de Ecatepec. Como resultado mi compromiso
profesional hacia la institución, y que espero que contribuya en una sólida formación
académica de los estudiantes de Ingeniería Electrónica.
Como herramienta necesaria en la modelación y solución de problemas de ingeniería en
general, las matemáticas merecen un especial apoyo con material didáctico detallado
para la buena comprensión y motivación de los estudiantes. Para lo cual se ha preparado
este trabajo para la solución de problemas de Cálculo Diferencial e Integral y sus
aplicaciones, mediante un programa de actualidad y facilidad de manejo, denominado
Scientific WorkPlace, en su versión 5.5. Tal herramienta debe motivar al estudiante de
Ingeniería Electrónica sobre la importancia de las Matemáticas y sus consecuentes retos
para resolver problemas prácticos. Complementándose este trabajo con prácticas que
ejerciten, motiven y refuercen al estudiante a lo aprendido en el aula.
Las Matemáticas en general no pueden estudiarse en forma contemplativa o pasiva, al
contrario, requieren una actitud dinámica y participativa. Bajo este punto de vista, se
espera que el alumno se anime a analizar, comprender y realizar con este apoyo, la
mayor cantidad de ejercicios y problemas aplicados posibles. Adquiriendo así las bases
cognitivas para asignaturas posteriores de la carrera, donde se analicen fenómenos
eléctricos y electrónicos mediante esta importante herramienta.
Finalmente, este trabajo lo presento ante la coordinación de Material Didáctico y la
Academia de Ciencias Básicas de la División de Ingeniería Electrónica y Telemática del
TESE, el cual ha sido avalado por las mismas para su difusión y uso del mismo por parte
de los profesores y estudiantes de la División.
M. EN C. ANTONIO SILVA MARTÍNEZ
DOCENTE DIET
5
1. SCIENTIFIC WORKPLACE
1.1 Una Breve descripción del programa
Scientific Workplace es un software creado en la Universidad de New México, E.E. U.U.,
con antecedentes desde 1984, formalizado y patentado por MacKichan Software, Inc., en
el año de 1994. Con este software se pueden editar textos, graficar ecuaciones y resolver
problemas matemáticos de gran variedad y con notable facilidad. El programa está
basado en un sencillo procesador de textos que integra completamente matemáticas
complejas y textos técnicos en un único entorno de trabajo. Además, con el sistema de
álgebra computacional integrado en el propio programa, puede también realizarse
cálculos precisos desde el mismo editor. Finalmente, el software cuenta con tópicos
relevantes de Física y Química en una librería al final de la sección que describe el
contenido del software.
Scientific WorkPlace combina la facilidad de edición de expresiones matemáticas en su
notación natural, sin notaciones complejas, con la posibilidad de realizar cálculos desde
el mismo entorno de trabajo, gracias a la inclusión del potente motor de álgebra
computacional MuPAD 2.5, mediante el cual se pueden editar documentos y realizar
cálculos sin la necesidad de utilizar algún programa externo. Las prestaciones y
capacidades disponibles son muy amplias.
Con Scientific WorkPlace se pueden realizar cálculos simbólicos y numéricos, integrar,
diferenciar funciones, resolver ecuaciones diferenciales y algebraicas, resolver problemas
de álgebra matricial, Transformadas y Transformadas Inversas de Laplace y Fourier, etc.
Además, sencillas instrucciones, es posible crear gráficas en dos dimensiones y en tres
dimensiones en varios estilos, en sistemas de coordenadas rectangulares, cilíndricas y
esféricas, y en diferentes orientaciones.
Scientific WorkPlace permite además componer complejos documentos técnicos con
LaTex, la aplicación estándar en composición matemática. Gracias a su enorme precisión
y calidad, se puede utilizar de manera confiable en el desarrollo de trabajos de
investigación y profesionales. En su versión 5.5, Scientific WorkPlace exporta documentos
a formatos RTF para ser importados a Microsoft Word. De este modo, las matemáticas
incluidas en sus documentos pueden convertirse a formato Microsoft Editor o Math Type
5. Además se pueden generar presentaciones en formatos PDF.
6
1.2 Herramientas de Scientific WorkPlace
1.2.1 Editor de Scientific WorkPlace
La intención de los creadores de Scientific WorkPlace es la de poder usar la computadora
para cálculos matemáticos de forma casi natural, con notación matemática estándar, sin
la necesidad de otro lenguaje más complejo. Por ejemplo, permite graficar una ecuación
en dos dimensiones o en tres dimensiones, editar una expresión matemática, simplificarla
o factorizarla. Resolver un sistema de ecuaciones, evaluar límites, derivadas e integrales
de funciones, etc.
Con Scientific WorkPlace se puede editar y realizar cálculos matemáticos de manera casi
familiar a como lo realiza un editor de texto actualidad. Con la ayuda del mouse de la
computadora, para elegir los símbolos del panel principal del editor, haciendo un “clic”
sobre los necesarios para el documento, figura 1.
“clic” mouse,
botón izquierdo
Figura 1. Panel principal del editor Scientific WorkPlace
7
1.2.2 Sintaxis de Scientific WorkPlace
En ciertos sistemas y programas de cómputo, es necesario determinado arreglo de
comandos y notaciones para representar una entrada para un cálculo o evaluación
matemáticos. En algunos de ellos, se necesitan más de 2000 operadores, por ejemplo,
para integrar la expresión:
Se necesita editar, en un sistema tradicional de computación, la expresión:
int(x^2/sqrt(x^2-9),x)
La cual es de forma más compleja, lo que puede generar con mayor posibilidad, un error
en su sintaxis y resultado, lo cual se evita obviamente con la sencilla notación que utiliza
Scientific WorkPlace, como se verá en seguida con los siguientes ejemplos:
1. Para la edición de una integral a evaluar mediante Scientific WorkPlace, como la
anterior, se lleva a cabo mediante los siguientes pasos:
Paso
1
2
3
4
Acción
Resultado
Clic
Clic
Clic
, después
Clic en el denominador
5
Repetir el #3
6
Escribir
7
Escribir
, en la raíz
Finalmente, se pueden adicionar límites a la integral, aplicando subscript y superscript al
operador .
8
2. Se puede escribir una expresión matemática con Scientific WorkPlace y obtener sus
factores. Mostrando su resultado, de la siguiente forma:
Editar la expresión:
Elegir la operación factor del menú compute, dando como resultado:
3.
Para graficar expresiones como la anterior, elegir plot 2D del menú compute.
Scientific WorkPlace creará una gráfica como la siguiente:
Para variar los rangos de x y y de la gráfica, (
hacer “clic” en Edit / Properties.
y
) de la gráfica
4. Para expresiones matemáticas más complejas, se pueden utilizar radicales, paréntesis y
corchetes, contenidos en la siguiente ventana, figura 2:
Figura 2. Ventana de corchetes para expresiones matemáticas
9
5. Para operadores matemáticos más complejos, por ejemplo de integración, se pueden
utilizar los contenidos en la siguiente ventana figura 3:
Figura 3. Ventana de operadores para expresiones matemáticas
6. Para aplicar decoraciones a una expresión matemática, se tiene la siguiente ventana,
figura 4:
Figura 4. Ventana de decoraciones para expresiones matemáticas
10
1.2.3 Exportación e importación de contenidos y figuras.
Debido a su compatibilidad con Windows, textos, ecuaciones y gráficas y cálculos
matemáticos en general, creados en Scientific WorkPlace, se pueden importar y exportar
directamente a otros programas de Windows.
1.3 Presentación de resultados
Se puede editar e imprimir su trabajo en pantalla e impresión con una gran variedad de
colores, con ayuda de la siguiente ventana, figura 5:
Figura 5. Ventana de colores para expresiones del Scientific WorkPlace
Estas aplicaciones son sólo algunas de la gran versatilidad que ofrece el Scientific
WorkPlace, las cuales se pueden ir conociendo en detalle y profundizando a medida que
se practique en el mismo.
En su versión 5.5, Scientific WorkPlace exporta documentos a formatos RTF para ser
importados a Microsoft Word. De este modo, las matemáticas incluidas en sus
documentos pueden convertirse a formato Microsoft Editor o Math Type 5. Además se
pueden generar presentaciones en formatos PDF.
11
Como se puede apreciar, la sencillez y utilidad del Scientific WorkPlace es muy notoria, lo
que genera un alto grado de confianza y satisfacción en el estudiante. Mediante
instrucciones sencillas y prácticamente iguales al lenguaje matemático común y corriente
que se utiliza desde cursos básicos de matemáticas. Como se verá a detalle en las
aplicaciones que se le den al programa en los ejemplos y ejercicios a tratar en este
trabajo.
Finalmente, para imprimir un documento del Scientific WorkPlace, el programa utiliza
prácticamente la misma rutina que un programa en Windows.
1.4 Scientific Workplace. Una sesión de trabajo
Para comenzar a trabajar en el Scientific WorkPlace, se deben llevar a cabo los siguientes
pasos:
1. Activar Scientific WorkPlace del menú de programas, o bien del escritorio de su PC
2. Hacer “clic” el ícono New de la barra:
New
Save
Open
Preview
Print
Spelling
Cut
Copy
Paste
Properties Math/Text
Undo
Show/Hide
Zoom Factor
Table
Del menú principal para generar una sesión de trabajo
3. Del menú principal de Scientific WorkPlace, elegir la sección view y activar las
siguientes barras de trabajo:
12
Fraction Superscript Parentheses Sum
Radical Subscript Square Integral
Brackets
Math Templates
Unit
Name
Big
Operators Matrix Binomial Decoration
Display Brackets Math Label
Name
Math Objects
Lowercase Binary Negated Miscellaneous General
Greek Operations Relations Symbols Latin-1 Punctuation
Uppercase Binary Arrows Special Latin
Greek Relations
Delimiters Extended-A
Evaluate
Solve
Exact
Plot 3D
Show
Expand Rectangular Definitions
Evaluate Simplify Plot 2D
New
Numerically
Rectangular Definition
4. En la sección view del menú principal se localizan más barras, que se podrán activar
de acuerdo a las necesidades de trabajo, siendo las anteriores las más elementales.
13
2. FUNCIÓN DE UNA VARIABLE REAL
2.1 Definición de función
"Una función real de variable real es una aplicación f de un subconjunto no vacío D de R
en R”
Se llama función real porque su recorrido es R y de variable real porque el dominio
pertenece a R
f(x)=y es la ley de la función dada a través de una fórmula matemática y como viene
despejada la variable se dice que está escrita de forma explícita y que esta expresión
depende de x, ya que los valores de y se obtienen dando valores a x:
2.1.1 Funciones Elementales
1. Función constante:
f(x)=c; donde c perteneciente a R se llama constante para todo x perteneciente a R
Las gráficas de una función constante son rectas paralelas al eje de las x o abscisas
2. Función lineal:
f(x)= ax; para todo a perteneciente a y x pertenecientes a R
Casos particulares:
Si a = 1 entonces se obtiene la función identidad en R y su gráfica es la bisectriz de el
primer y tercer cuadrante
Si a = -1 entonces la gráfica será la bisectriz del segundo y cuarto cuadrante
3. Función valor absoluto:
f(x)=ǀxǀ, para todo x perteneciente a R
La gráfica en valor absoluto nunca puede ir por debajo del eje de las x o abscisas y se
obtiene a partir de la función identidad subiendo la parte que se encuentra por debajo
del eje de las x haciéndolo simétrico a la parte que se encuentra por encima del eje x.
14
4. Función afín:
f(x)= ax + b; a, b y x pertenecientes a R.
La gráfica de las funciones afines son gráficas que no pasan por el origen de
coordenadas, la constante b indica el punto donde corta al eje de las y, por encima o por
debajo del eje x
Relación entre las gráficas de la función afín y la función lineal: Una función afín siempre
tiene asociada una función lineal haciendo b igual a 0
2.1.2 Propiedades de funciones
Conmutativa: (fig.)(x)= (g+f)(x)
Asociativa: [f(x)+g(x)]+h(x) = f(x)+ [g(x)+h(x)]
Elemento neutro: Para la suma de funciones es la constante 0
Opuesto de f(x)= -f(x), ya que f(x)+(-f(x))= 0
Conmutativa: f(x).g(x)= g(x).f(x) para todo f, g
Asociativa: [f(x).g(x)].h(x)= f(x).[g(x).h(x)] para todo f, g, h
Elemento neutro: Se llama elemento unidad y es la función constante 1
f(x).u(x)= u(x).f(x)= f(x) para todo f
Propiedad distributiva del producto respecto de la suma:
f(x).(g(x)+h(x))= (f(x).g(x)) + (f(x).h(x))
Simetría de funciones:
Hay dos tipos de simetrías:
1. Simetría con respecto al eje y: función par
Función par: una función real de variable reales par y su gráfica es simétrica al eje y si
para todo x:
f(x) = f(-x)
2. Simetría con respecto al origen de coordenadas: función impar
Función impar: una función real de variable real es impar y su gráfica es simétrica
respecto al origen de coordenadas si para todo x:
f(x) = -f(-x)
15
2.2 Gráficas de funciones con Scientific WorkPlace
Para graficar una función en dos dimensiones, seguir el siguiente procedimiento:
a) Escribir y=f(x) , sombreando la expresión y pulsar sobre el icono:
Editándose la función en forma matemática (color rojo), indicado con el ícono:
b) Hacer “clic” en el ícono
para graficar la función deseada
Para graficar una función en tres dimensiones, seguir el siguiente procedimiento:
a) Escribir z=f(x,) , sombreando la expresión hacer clic en el icono:
Editándose la función en forma matemática (color rojo), indicado con el
ícono:
b) Hacer “clic” en el ícono
para graficar la función deseada
16
En el caso de las gráficas en dos y tres dimensiones de una función, se les puede agregar
título a las mismas y nombres a los respectivos ejes. Así como modificar estilos, colores,
escalas e intervalos a los mismos, haciendo doble clic en los extremos derecho, superior
e inferior, de dichas gráficas.
En seguida se muestran varios ejemplos de gráficas en dos y tres dimensiones. Haciendo
doble “clic” con el botón izquierdo del mouse en el siguiente ícono:
:
GRAFICAS DE FUNCIONES (SWP 5.5).tex
17
3. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN DE UNA VARIABLE REAL
3.1 Idea intuitiva de límite
El límite de una función y = f(x) en un punto x0 es el valor al que tiende la función en
puntos muy próximos a x0.
Por ejemplo, considérese la función lineal y = 2 x + 1. ¿A qué valor se aproxima la
función, cuando x se aproxima al valor 3?
Solución:
Si se quiere estudiar el límite de esta función cuando x tiende a 3, hay que ver los
valores que toma la función en puntos muy próximos a 3.
Se observa que al tomar valores de x muy próximos a 3, ya sean mayores o menores
que él, sus imágenes se aproximan al valor 7. Cuanto mayor es la proximidad de x a 3,
mayor es la proximidad de f(x) a 7.
Esto se expresa diciendo que, cuando x tiende a 3, el límite de la función y = 2 x + 1 es 7,
y se escribe
lim( 2 x  1 )  7
x 3
3.1.1 Límites laterales
El límite por la izquierda de una función y = f(x), cuando x → x0, es el valor al que tiende
la función para puntos muy próximos a x0 y menores que x0.
Para expresar el límite por izquierda se escribe lim xx  f ( x )
0
El límite por la derecha de una función y = f(x), cuando x → x0, es el valor al que tiende la
función para puntos muy próximos a x0 y mayores que x0.
Para expresar el límite por derecha se escribe lim x  x  f ( x )
0
La relación entre el límite y los límites laterales de una función es la siguiente:
El límite de una función y = f(x) en un punto x0 existe si y solo si existen los límites
laterales y coinciden:
lim xx  f ( x ) = lim x  x  f ( x ) =L
0
0
Si se verifica esto, y L es un número finito, se dice que la función es convergente.
En el ejemplo anterior los límites por la derecha y por la izquierda coinciden:
lim ( 2 x  1 )  lim ( 2 x  1 )  7
x 3 
x 3
3.1.2 Propiedades de los límites
Si una función f(x) tiene límite cuando x → x0, el límite es único.
18
Esto se puede escribir también así:
Si
lim x  x f ( x )  L
lim x  x f ( x )  L´  L = L´
y
0
0
Ejemplo. Sea la función definida por
 x 2 ,si x  2
f(x)  
7 ,si x  2
¿Cuál es su límite cuando x tiende a 2?
Solución:
Para calcular el límite de la función cuando x tiende a 2, puede hacerse una tabla de
valores para puntos de abscisa próximos a 2:
Se observa que cuando x tiende a 2, tanto por la derecha como por la izquierda, la
función tiende al valor 4. Por lo tanto,
limx  x 2  f ( x )  limx  x 2  f ( x )  limx  x 2 f ( x )  4
3.1.3 Límite de una función en un punto
1. Se dice que una función f(x) converge, en el punto x0, hacia el valor L, o que su límite
en x0 es L y se escribe lim x  x f ( x )  L , cuando a valores muy próximos a x0 corresponden
0
valores de la función muy próximos a L.
La definición anterior se puede concretar más:
2. Una función f(x) converge hacia L en x0, o tiene por límite L en x0, cuando para todo
entorno de L de radio ε, E(L, ε) = (L- ε , L+ ε), hay un entorno de x0 de radio δ, E(x0,δ)=
(x0 - δ,x0 + δ), tal que para cualquier x de E(x0, δ), su imagen f(x ) está en E(L, ε).
O bien:
3. Una función f(x) converge hacia l en x0, o tiene por límite L en x0, cuando para
cualquier ε > 0, existe un δ > 0 tal que si 0 < | x - x0 | < δ
3.1.4 Límites infinitos
Una función es divergente cuando su límite es +∞ ó -∞
Se estudiarán los siguientes casos sobre límites:
Caso 1. lim x  x f ( x )  
0
Ejemplo. Sea la función f(x) = 1 / x ².
19
Para calcular el límite de esta función en el punto x0 = 0, hay que estudiar los valores que
toman las imágenes de puntos próximos a 0. De la observación de la gráfica de la
función se deduce que:
Para valores próximos a 0 y menores que 0, la función toma valores cada vez mayores.
Esto significa que lim
x 0

1
x2
 
Para valores próximos a 0 y mayores que 0, la función toma valores cada vez mayores.
Esto significa que lim
Puesto que lim
x 0


x 0
1
x2
1
x2
 lim
 
x 0

1
x2
  entonces lim x0 1
x2
En el caso de la función g(x) = -1/x ², el límite de la función cuando x → 0 es -∞.
Para valores próximos a 0 y distintos de 0, tanto por la derecha como por la izquierda,
los valores que toma la función son cada vez menores.
Caso 2. lim x  x   f ( x )  L
Sea la función y = x / (x - 1).
Observando la gráfica de la función, se ve como a medida que x toma valores cada vez
mayores, la función se aproxima más a 1. Por lo tanto, el límite de la función cuando x
tiende a infinito es 1.
lim x x
x 1
1
De la observación de la gráfica se deduce que a medida que x toma valores cada vez
menores, la función se aproxima más a 1. Por lo tanto, el límite de la función cuando x
tiende a -∞ es también 1.
lim x  x
x 1
1
Caso 3. lim x f ( x )  
Sea la función f(x) = x + 5.
Observando la gráfica se ve claramente que cuando x tiende a más infinito, la función
también tiende a más infinito. Es decir, a valores cada vez mayores de x, corresponden
valores cada vez mayores de la función. Por lo tanto,
lim x x  5  
Cuando x toma valores cada vez menores, la función también toma valores cada vez
menores. Por lo tanto,
lim x x  5  
Si se estudian los límites en el infinito de g(x) = -(x + 5), se tiene:
lim x  x  5  
y
lim x  x  5  
20
Es decir, cuando x toma valores cada vez mayores, x →+∞, la función toma valores cada
vez menores, g(x) →-∞
Y cuando x toma valores cada vez menores, x →+∞, la función toma valores cada vez
mayores, g(x) →+∞
3.1.5 Operaciones con límites
Sean f y g dos funciones tales que: lim x  x f ( x )  A y lim x  x g( x )  B
0
0
a) Límite de una suma de funciones
El límite de una suma de dos funciones convergentes, es igual a la suma de los límites
de cada una de ellas:
limx  x0  f  g ( x )  limx  x0 f ( x )  limx  x0 g( x )  A  B
b) Límite de una resta de funciones
El límite de una resta de dos funciones convergentes, es igual a la diferencia de los
límites de cada una de ellas:
limx  x0  f  g ( x )  limx  x0 f ( x )  limx  x0 g( x )  A  B
c) Límite de un producto de funciones
El límite de un producto de dos funciones convergentes, es igual al producto de los
límites de cada una de ellas:
limx  x0  f .g ( x )  limx  x0 f ( x ).limx  x0 g( x )  A.B
d) Límite de un cociente de funciones
El límite de un cociente de dos funciones convergentes es igual al cociente de los límites
de cada una de ellas, si el denominador no es nulo:
limx  x0  f / g ( x )  limx  x0 f ( x ) / limx  x0 g( x )  A / B (B ≠ 0)
3.1.6 Ejemplos. Evaluar los límites de las siguientes funciones.
1)
f(x) = x ² + 2 y g(x) = 1/x
a ) lim x 3  f  g ( x ) b ) lim x 3  f  g ( x )
c ) lim x 3  f .g ( x )
d ) lim x 3  f / g ( x )
Solución:
Sean lim x3 f ( x )  22  2  11 y lim x3 g( x )  13
a) limx3 ( f  g )( x )  limx3 f ( x )  lim x3 g( x )  11  13  343
b) limx 3 ( f  g )( x )  lim x 3 f ( x )  limx 3 g( x )  11  13  323
21
c) lim x3 ( f .g )( x )  lim x3 f ( x ).lim x3 g( x )  11 13  113
d) lim x3 ( f / g )( x )  lim x3 f ( x ) / lim x3 g( x )  11 / 13  33
4  x  15
lím
x  1 x2 1
Multiplicando por el conjugado:
2)
16  ( x  15 )
4  x  15 4  x  15

 lím
2
2
4  x  15 x  1 ( x  1 )( 4  x  15 )
x 1
1 x
 lím
(
x

1
)(
x

1 )( 4  x  15 )
x1
lím
x 1
1
lim (x  1) lím x  lím 15
x1
x1
x1
1

 1  1
2( 8 )
16
2( 4  1  15 )

x2
lím
x  2 x3  8
Factorizando :
3)
(x2)
1
 lím
 lím

2
2
x  2 ( x  2 )( x  2 x  4 ) x  2 x  2 x  4
lím 1
x2
2
lím x  lím 2 x  lím 4
x2
x2
x2
1
1

 1
2
4

4

4
12
2  2( 2 )  4
x  16
lím
x  16 x  4
Multiplicando por el conjugado:
4)




 x  16  
x  4 


x  16  x  4 
 lím
x 4
lím
lím
x  16
x  16 x  4 x  4 x  16
x  16

lím x  lím 4  16 4 4 4 8
x  16
x  16
22
x3  8 ,
lím
x  2 x 4  16
Factorizando :
5)
( x  2 )( x 2  2 x  4 )
x3  8
 lím
lím
x  2 ( x  2 )( x  2 )( x 2  4 ) x  2 ( x  2 )( x  2 )( x 2  4 )
x 2  2x  4
 lím
x  2 ( x  2 )( x 2  4 )
2
lím x  lím 2 x  lím 4
 2 2  2( 2 )  4
x  2
x  2
x  2

  12   3



2
32
8



( 2  2 )( 2  4 )

x  lím 2   lím x 2  lím 4 

lím



x  2   x  2
x  2 
 x  2
4  16  x
lím
x
x 0
Multiplicando por el conjugado:
6)
4  16  x 4  16  x
16  16  x 
x

 lím
lím
x
4  16  x x  0 x( 4  16  x ) x  0 x( 4  16  x )
lím 1
x
0
1
1
 lím


 1 1
lím 4 
lím 16  lím x 4  16  0 4  4 8
x  0 4  16  x
x 0
x 0
x 0
lím
x 0
x 1 1
lim
,
x
x 0
Multiplicando por el conjugado:
7)
x1 1
x 11
 lim
x  1  1 x  0 x( x  1  1 )
lím 1
x
0
1
 lim

lím x  lím 1  lím 1
x 0 x 1 1
x 0
x 0
x 0
1
1


01 1 2
 lim
x 0
x 1 1

x
23
3.2 Límites de Funciones con Scientific WorkPlace
1)
a) limx3 
x 2 2 1x  34
3
b) limx3 
x 2 2  1x  32
3
Para evaluar el límite de una función con Scientific WorkPlace,
seguir el siguiente procedimiento:
a) Escribir limx→a f(x) , sombreando la expresión hacer clic
en el icono:
c) limx3 
x 2 2
1x  11
3
d) limx3
x 2
2
1
x
2) limx1
4 x
15
3) limx2
x2
x 3 8
x 2 1
Editándose el límite en forma matemática (color rojo),
indicado con el ícono:
33
1
  16
b) Hacer “clic” en el ícono
1
 12
4) limx16
x16
x 4
8
5) limx2
x 3
8
x 4 16
  38
Para evaluar el límite deseado
O también de la sección Compute del menú, hacer clic en
evaluate para evaluar dicho límite.
6) limx0
4 16x
x
7) limx0
x
1 1
x
Los ejemplos resueltos de la sección anterior, se pueden
comprobar con Scientific WorkPlace, tal como se muestra en
seguida:
 18
 12
Las evaluaciones anteriores están contenidas en el archivo:
EJEMPLOS LIMITES DE FUNCIONES.tex
Al que se puede tener acceso directamente haciendo doble “clic” con el botón izquierdo del mouse
sobre el ícono anterior.
En seguida se muestran más ejemplos resueltos de límites de funciones. Haciendo doble “clic” con el
botón izquierdo del mouse en el siguiente ícono:
:
LÏMITES DE FUNCIONES. (SWP) 5.5.tex
24
4. LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN DE UNA VARIABLE REAL
Históricamente el concepto de derivada es debido a Newton y a Leibnitz. Sus definiciones surgen a
raíz del concepto de límite.
Sin embargo, son varias las formas en que se ha generado el concepto de derivada, los comunes son
los siguientes:
4.1 Definiciones de Derivada.
a) Pendiente de una curva: La pendiente del gráfico de la función f en el punto (x , f(x) ) es la
derivada de f en x.
b) Tangente a una curva: La recta tangente al gráfico de la función f en el punto
P = (x , f(x) ) es la recta que pasa por P con pendiente igual a la derivada de f en x.
c) Velocidad de una partícula que se mueve sobre una línea recta: La velocidad en el instante t de un
objeto, cuya posición sobre una recta viene dada por f(t) en el instante t, es la derivada de f en el
punto t. El valor absoluto de la velocidad es el módulo de esa cantidad.
d) Amplificación de una proyección entre rectas. La amplificación en x de una lente que proyecta el
punto x de una recta sobre el punto f(x) de otra recta es la derivada de f en x.
Una forma clásica de construir el concepto de derivada es la segunda definición, la de recta
tangente a una curva, se podría iniciar por tomar una línea que corta a la gráfica de la función en más
de un punto, como se muestra a continuación:
25
A medida que los intervalos de posición en x son más pequeños como el esquema que se muestra a
continuación, la línea recta tiende a ser más semejante a una línea tangente que a una línea recta
secante:
Analizando esta línea tangente, se puede ver que:
El triángulo rectángulo que se forma puede conducir a analizar cuál es la ecuación de la pendiente de
la línea recta tangente. Nótese la hipotenusa dentro del triangulo rectángulo corresponde a la línea
recta.
Como se puede apreciar, la ecuación que relaciona la línea recta está dada por la tangente:
26
Pero, se sabe para la línea recta dicha relación, da la pendiente de una línea recta:
Como se ha dicho, esta relación, de recta tangente se logra solo cuando los intervalos:
son pequeños, lo que equivale a decir que se genera el límite cuando
, o lo que equivale a decir que se genera el límite:
Fue a ese límite al que se le dio el nombre de derivada:
Donde,
es una notación para indicar el operador de derivada.
4.1.1 Propiedades de la derivada de una función
a) Derivada de una función constante:
Sea una función constante f(x) = C.
Su gráfica es, como se sabe, una recta paralela al eje de abscisas. Puesto que para cualquier valor
de la abscisa su ordenada correspondiente es, constantemente, igual a C, si a es un punto cualquiera
del campo de definición de f(x),
f(a + h) - f(a) = C - C = 0,
Por lo que:
Por lo tanto, la derivada de una constante es siempre cero.
b) Derivada de la función lineal f(x)=mx + b
27
Sea una función lineal cualquiera f(x)=mx+b. Para un punto cualquiera x,
Lo que significa que la derivada de una recta coincide con la pendiente de ella misma y, en
consecuencia, la tangente en un punto a una recta es la propia recta.
c) Derivada de una constante por una función, k · f(x)
Si k es una constante y f(x) una función, la derivada de la nueva función k. f(x) será:
Se ha demostrado que (k · f(x))' = k · f'(x) Así, para derivar una expresión de la forma k · f(x), basta
derivar la función f(x) y multiplicar después por la constante k.
d) Derivada de la función potencia xm (m un número natural)
Ejemplo. Calcular la derivada de f(x) = x2 en el punto de abscisa x= - 1.
f '(x) = 2 · x2 - 1 = 2 x
f '(- 1) = 2 · (- 1) = - 2
Entonces, la pendiente de la tangente a la parábola y = x2 en x = - 1 es - 2.
e) Derivadas de funciones trigonométricas sen x y cos x
La derivada de la función f(x) = sen x es f '(x) = cos x
La derivada de la función g(x) = cos x es g '(x) = - sen x
f)
Derivada de la función logaritmo neperiano ln |x|
La derivada de la función f(x) = ln |x| es f '(x)= 1/x
g) Derivadas de las funciones exponenciales f(x)=ax y f(x)=ex
28
Sea la función f(x) = ax, siendo a una constante positiva distinta de 1. La derivada de esta función en
un punto x es:
f ´(x) =ax .ln a
En particular, cuando la constante a es el número e, la derivada de la función f(x)=ex es
f ´(x) = ex
Hasta el momento se saben derivar algunas funciones elementales pero no hay nada que permita
encontrar las derivadas de una suma, un producto o un cociente de estas derivadas; se requiere, por
consiguiente, seguir avanzando en la obtención de propiedades encaminadas a este fin.
4.1.2 Operaciones con derivada de una función
a) Derivada de una suma de funciones
Si f y g son dos funciones derivables en un mismo punto x de un intervalo, la derivada de la función
suma en dicho punto, es:
[f(x) + g(x)]' = f '(x) + g '(x)
b) Derivada de una diferencia de funciones
[f(x) - g(x)}] '=f '(x)-g(x)'
c) Derivada de un producto de funciones
[f(x) . g(x)]'=f(x).g'(x)+f(x)'.g(x)
d) Derivada de un cociente de funciones
[f(x) / g(x)]'=[f´´(x).g(x)-f(x).g´(x)] / g(x)2, g(x)≠0
29
4.1.3 Ejemplos. Calcular las derivadas de las siguientes funciones.
1)
f ( x )  ( 3x
2
 7x  1)
5
df
 d ( 3 x 2  7 x  1 ) 5  5( 3 x 2  7 x  1 ) 4 ( 6 x  7 )
dx dx
2) f(x)(x
5
7
 4x  8 )
df
 d ( x 5  4 x  8 )7  7( x 5  4 x  8 )6 ( 5 x 4  4 )
dx dx
3) f ( x )  ( x
2
 3x  8 )
3
df
 d ( x 2  3 x  8 ) 3  3( x 2  3 x  8 ) 2 ( 2 x  3 )
dx dx
f ( x )  x 3 cos 1
x
df
 d  x 3 cos 1 
dx dx 
x
df
 x 3 d (cos 1 )  (cos 1 ) d x 3
dx
dx
x
x dx
df
 x 3  12 sen 1    3 x 2 cos 1
dx
x
 x 
x
df
 xsen 1  3 x 2 cos 1
dx
x
x
4)
f(x)
5)
df
dx
df
dx
df
dx
df
dx
df
dx


cos 4 x
1  sen4 x
d ( cos4 x )( cos4 x ) d ( 1 sen4 x )
1  sen4 x dx
dx
( 1 sen4 x )2
( 1 sen4 x )( 4 sen4 x )( cos4 x )( 4 cos 4 x )
( 1 sen4 x )2
2
2
 4 sen4 x 4 sen 4 x24 cos 4 x
( 1 senx )

4 sen4 x 4( sen2 4 x cos2 4 x )
( 1 sen4 x )2
4( 1  sen4 x )
4
4
 4 sen4 x 42 


( 1 sen4 x )
2
1

sen
4
x
sen
4
x 1
( 1  sen4 x )
30
6)
df
dx
df
dx
df
dx
df
dx
f(x)
 d (
dx

e
e
cos 2 x
e
cos 2 x
)
cos 2 x
e
cos 2 x
 d cos 2 x 
dx
( 2 sen 2 x )
 2 sen 2 x 
e
 2 sen 2 x 
cos 2 x
e

cos 2 x
x 2 1
7)
f(x)
2
df
x 2 1  d
 d  x  1  
x2 1
dx dx 
dx

df
x 2  1  1 ( x 2  1 ) 1 / 2 ( 2 x ) 



dx
2

2 1
df
2
1 / 2
x
 x( x  1 )
dx
x 2 1
df
x
dx
x2 1
e
e
e


e
e
e
4.2 Derivadas funciones con Scientific WorkPlace
Para evaluar una derivada de una función con Scientific WorkPlace, seguir el siguiente procedimiento:
a) Escribir
d
dx
f (x ) , sombreando la expresión y hacer “clic” en el icono:
Editándose la derivada en forma matemática (color rojo), indicado con el ícono:
b) Hacer “clic” en el ícono
Para evaluar la derivada deseada
O también de la sección Compute del menú, elegir evaluate para evaluar dicha derivada.
31
Los ejemplos resueltos de la sección anterior, se pueden comprobar con Scientific WorkPlace, tal
como se muestra en seguida:
1)
d

3x 2
dx
4

7x 15 5
6x 7
3x 2 7x 1
6
2)
d

x5
dx

4x 87 7
5x 4 4
x 5 4x 8
3)
d

x2
dx

3x 83 3
2x 3
x 2 3x 8
4)
d

x 3 cos 1x
dx
5)
d
cos 4x 
dx 1sin 4x
6)
d cos 2x
e
dx
7)
2
d
e x 1
dx
2
x sin 1x 3x 2 cos 1x
4
 sin 4x
1
 2
sin2x 
e cos 2x
x
e
x 2
1
x 2
1
Las evaluaciones anteriores están contenidas en el archivo:
EJEMPLOS DERIVADAS DE FUNCIONES.tex
Al que se puede tener acceso directamente haciendo doble “clic” con el botón izquierdo del mouse
sobre el ícono anterior.
Enseguida se muestran varios ejemplos resueltos de derivadas de funciones. Haciendo doble “clic”
con el botón izquierdo del mouse en el siguiente ícono:
32
DERIVADAS DE FUNCIONES (SWP 5.5).tex
5. EL DIFERENCIAL DE UNA FUNCION DE UNA VARIABLE REAL
5.1 Definición de diferencial.
Sea f(x) una función derivable. Entonces la diferencial de de una función correspondiente al
incremento h de la variable independiente, es el producto f ´(x).h. Se representa por df ó dy. Es decir:
df=dy= f ´(x).h
ó
df=
df
dx = f ´(x)dx
dx
para incrementos diferenciales de h (h=dx)
Donde la diferencial en un punto representa el incremento de la ordenada de la tangente, correspondiente a
un incremento de la variable (ver figura)
f ´( x )  tg 
QR QR

PR H
33
5.1.1 Ejemplos. Calcular las diferenciales de las siguientes funciones.
1)
f ( x )  (6x
df

dx
4
 2x
2
 3)
2
4
2
2
4
2
3
d
dx ( 6 x  2 x  3 )  2( 6 x  2 x  3 )( 24 x  4 x )
 288x
7
 144x
5
 160x
3
 24 x
donde :
df
df 
dx
dx
entonces :
df  2( 6 x 4
2)
 2x
2
 3 )( 24 x
3
 4 x )dx
3
f ( x )  cos ( 3 x  2 )
df

dx
3
2
d
dx cos ( 3 x  2 )  3 cos ( 3 x  2 )3 sen  2
x
1  x2
( 3x  2 )
df
 9 cos 2 ( 3 x  2 )sen( 3 x  2 )
dx
donde :
df
df 
dx
dx
entonces :
df  9 cos 2 ( 3 x  2 )sen( 3 x  2 )dx
3)
df

dx
f(x) 
d 
dx 
1
1  x2


2
1 x 
1
 
d
2
dx 1  x
df
 2 x( 1  x 2 )  2
dx
 2
1
 ( 1  x 2 )
2
2x
x
1  x2
donde :
df
df 
dx
dx
entonces :
df  2
x
1  x2
dx
34
f ( x )  x ln( x  1 )
4)
df
d ln( x  1 )  ln( x  1 ) d ( x )
 d ( x ln( x  1 ))  x dx
dx
dx dx
x
1
df
 1 
 x
 ln( x  1 ) 
( x  ln( x  1 )  x ln( x  1 ))
  ln( x  1 ) 
dx
x 1
x 1
 x  1
donde :
df
df 
dx
dx
entonces :
 x

df  
 ln( x  1 ) dx
 x 1

5)
f(x)  e
df

dx
1  2x


d 1  2x 
dx e
e 1 2 x
d
( 1  2 x )  2e 1 2 x
dx
donde :
df
df 
dx
dx
entonces :
df  2e 1 2 x dx
6)
f(x) 
df

dx
x4
x2  1


 1
d
d  x4   d 
 dx  x  1 x 2  1   x  1
dx  2
dx
 x  1




 x
2
 1  x 2  1
1
1
d
( x  1)
dx
1
df
2
1
 x 2  8 x  1
 ( x  1 )x 2  1 2 x   x 2  1  2
dx
x  12
donde :
df
df 
dx
dx
entonces :
1
 x 2  8 x  1dx
df  2
x  12
35
5.2 Diferenciales de funciones con Scientific WorkPlace
Como se ve en la definición de diferencial, se utiliza la definición y propiedades de la derivada. Por lo
tanto y como en la sección anterior, las rutinas y dinámicas de cálculo con Scientific WorkPlace para
las diferenciales de una función serán las mismas que en la sección 4.2.
Los ejemplos resueltos de la sección anterior, se pueden comprobar con Scientific WorkPlace, tal
como se muestra en seguida:
1)
d
6x 4 2x 2 32 
288x 7 144x 5 160x 3 24x 
dx
2)
d
cos
3x 2
 3 sin
3x 2
dx
3)
d 1 2 2
4)
d
x ln
x 1

5)
d
e 12x 2e 12x dx
6)
4
dx

2
x
x 2
1
1
x
x 
1
dx
1
x1
1
x 2
1
2
2

x ln
x 1x ln
x 1 dx

x 2 8x 1
dx
Las evaluaciones anteriores están contenidas en el archivo:
EJEMPLOS DIFERENCIALES DE FUNCIONES.tex
Al que se puede tener acceso directamente haciendo doble “clic” con el botón izquierdo del mouse
sobre el ícono anterior
Enseguida se muestran varios ejemplos resueltos de diferenciales de funciones. Haciendo doble “clic”
con el botón izquierdo del mouse en el siguiente ícono.
DIFERENCIALES DE FUNCIONES.tex
36
6. LA INTEGRAL INDEFINIDA DE UNA FUNCIÓN DE UNA VARIABLE REAL
6.1. Definición de integral indefinida
La integral Indefinida o antiderivada es el nombre que recibe la operación inversa a la derivada. Es
decir, dada una función F aquella consiste en encontrar una función f tal que Df = F.
Definición. Si f es derivable, se define al diferencial de una función df, como el producto de la derivada
de f por un incremento de la variable Δx. Es decir:
Por ejemplo:
De lo anterior, se puede deducir la siguiente expresión:
6.1.1 Primitiva de una función
Definición: Dada f de dominio (a;b), se dice que P es primitiva de f en (a;b), si y sólo si
P'(x) = f(x) en ese intervalo. Es decir, f es "hija" de P, que surgió gracias a un proceso de derivación.
Por lo tanto, el encontrar la función P es un proceso inverso o contrario a la derivación, y se lo conoce
como integración o antiderivación. Entonces:
P es primitiva de f en (a;b), sí y sólo si P'(x) = f(x)
Extiendo este teorema se puede afirmar que si P es primitiva de f, en realidad f tiene infinitas
primitivas, y que todo par de primitivas de esa función difieren en una constante arbitraria real C. A
este conjunto de infinitas primitivas de f, [P(x) + C], se le denomina Integral Indefinida de f.
Donde: ʃ es el símbolo integral, f la función integrando y C la constante de integración.
Por ejemplo:
37
6.1.2 Propiedades de la Integral indefinida
1)
2)
, con f integrable.
, con f derivable
Nota: De lo anterior, se puede deducir que al integrar y derivar una misma función de manera
simultánea, estos dos procedimientos se anulan. Es decir no tienen efecto alguno sobre la función.
3)
Esta última propiedad se la conoce como Propiedad Lineal de la Integral Indefinida
38
Principales funciones primitivas:
Función
: primitiva de
función : derivada de
Por ejemplo, al buscar una primitiva de x(2-3x). Como no se conoce primitivas de un producto, se
desarrolla la expresión: x(2-3x)= 2x - 3x2. 2x es la derivada de x2, 3x2 es la de x3, por lo tanto 2x - 3x2
tiene como primitiva x2 - x3 + k.
39
6.1.2 Ejemplos. Calcular las integrales Indefinidas de las siguientes funciones.
1)
  x  x dx
  x dx   x
2
1/ 2
2
dx
3/ 2
x3
x

C
3/ 2 3
2
 x3 / 2  1 x3  C
3
3
1
  x 3 / 2 x 3 / 2  2 
3
2)
3)
x 3 dx
4
1
  x 3 dx
4
 1 1 x4  C
44
 1 x4  C
16

 2 x
3
 1 x 2 dx
7
u  2 x 3  1, du  6 x 2 dx  1 du  x 2 dx
6
7
1

u du
6
8
 1 u C
6 8
8
 u C
48
1

( 2 x 3  1 )8  C
48

40
x
x dx
1
2
u  x  1, du  2 xdx, 21 du  xdx
4)

1
2
2
 u du
1
 21 ln u  C
 21 ln x 2  1  C
x 2 dx
x 2
u  x 3  2 , du  3 x 2 dx, 31 du  x 2 dx

5)

1
3
3
 u du
1
 31 ln u  C
 31 ln x 3  2  C

ln x dx
x
u  ln x , du  1x dx
6)

 udu
2
 u C
c
2
 1 ln x  C
2
6.2 Integrales Indefinidas con Scientific WorkPlace
Para evaluar una integral indefinida de una función con Scientific WorkPlace, seguir el siguiente
procedimiento:
a) Escribir
 f ( x ) dx , sombreando la expresión y hacer clic en el icono:
Editándose la derivada en forma matemática (color rojo), indicado con el ícono:
41
b) Hacer “clic” en el ícono
Para evaluar la integral deseada
O también de la sección Compute del menú, elegir evaluate para evaluar dicha integral.
Los ejemplos resueltos de la sección anterior, se pueden comprobar con Scientific WorkPlace, tal
como se muestra en seguida:
1)
 x x 2 dx   13 x 2 x 2 2
2)
x4 dx  161 x 4
3)
2x 3 17 x 2 dx  163 x 24 643 x 21 112
x 18 112
x 15 70
x 12 28
x 9 73 x 6 13 x 3
3
3
3
3
4)
x 2x1 dx  12 lnx 2 1
5)
x 3x2 dx  13 lnx 3 2
6)
lnxx dx  12 ln2 x
3
3
3
2
Las evaluaciones anteriores están contenidas en el archivo:
EJEMPLOS INTEGRALES DE FUNCIONES.tex
42
Al que se puede tener acceso directamente haciendo doble “clic” con el botón izquierdo del mouse
sobre el ícono anterior.
Enseguida se muestran varios ejemplos resueltos de integrales de funciones. Haciendo doble “clic”
con el botón izquierdo del mouse en el siguiente ícono:
INTEGRALES DE FUNCIONES (SWP 5.5).tex
43
7. LA INTEGRAL DEFINIDA DE UNA FUNCION DE UNA VARIABLE REAL
7.1 Definición de Integral definida
Al diferir las primitivas de una misma función f de una constante solamente, resulta que la diferencia
F(b) - F(a) tiene un valor que no depende de la primitiva escogida. Es por lo tanto lógico notarla sin
mencionar a F, sino solamente a f:
Se llama integral de f entre a y b este valor. La integral tiene un significado muy concreto en el campo
de la geometría: es el área entre la curva de f, el eje de las x, y dos rectas verticales x = a y x = b: éste
es el teorema fundamental del análisis.
Por linealidad, cuando f es negativa en un intervalo también lo es su integral. Por lo tanto el área de la
que hemos hablado es algebraica y no geométrica. Si una función es alternadamente positiva y
negativa, su integral será la suma de las áreas positivas y negativas entre la curva de f y el eje de las
x.
7.1.1 Propiedades de la Integral definida
Integral definida: Proceso de cálculo de áreas encerrada entre una curva y un eje cartesiano
Función Primitiva: Relación dependiente de datos sobre uno (o más) valores, que declaran los límites
de un área. Es la razón del por qué se le llama función primitiva, al ser la base del cálculo integral.
Sean F y f dos funciones definidas sobre el mismo intervalo (o, más generalmente, dominio).
F es una primitiva de f si y sólo si f es la derivada de F: F' = f.
Mientras que la derivada de una función, cuando existe, es única, no es el caso de la primitiva, pues
si F es una primitiva de f, también lo es F + k, donde k es cualquier constante real.
44
Para encontrar una primitiva de una función dada, basta con descomponerla (escribirla bajo forma de
una combinación lineal) en funciones elementales cuyas primitivas son conocidas o se pueden
obtener leyendo al revés una tabla de derivadas, y luego aplicar la linealidad de la integral:
7.1.2 Ejemplos. Calcular las integrales definidas de las siguientes funciones.
2
1 )  ( 2  x 2 )dx
5
2
2
5
5
 2  dx   x 2 dx
1 3 2
x 5
3
1
3
 22   5  2 3   5
3
1
 27   8  125
3
133
 14  3
42  133
91


3
3
 2x 5 
2


1
e
2)
x2
dx
2
u  x  2 , du  dx
1

u
 e du  e
1
u
2
e
x2
2
1
 e3  e0
2
 e 1
3
45
2 .5

3)
4  x dx
4
2 .5
 4  x 

1/ 2
dx
4
u  4  x , du   dx , dx   du
2 .5
u

1/ 2
du   23 u 3 / 2
4

 23 4 x 
  13.86
 8
 1.5
3/ 2

2.5

2
3 / 2  83 / 2
3 1.5

4
3/ 2
2
3
3/ 2
2
 4  senx dx
4)
 /2
 4 x  cos x  / 2
 8  cos 2   2  cos 2 
 8  1  2
 6  1
2
 x
4
5)
2
 3 x dx
4
4

4
2
 x dx  3  xdx
4
 x  x
1
3

3
3
2
4
2

4
4
 
 4   4   13  4  
  643  24    643  24 
 136  8  128
3
3
3
1
3
3
3
2
2
3
3
2
 4
2

46
2
6)  e -4x dx
0
u  4 x , du  4dx ,  14 du  dx
8
 e du  e 
  1  e 
  14  e u du 

1
4
e
0
0
e
8
0
u 0
8
u
1
4
8
8
1
4
 14  14 e 8
e x dx
1 x
4
7)
u  x 
1/ 2
, du  12 x 1 / 2 dx , 2du  x 1 / 2 dx
 2  e u du  2e u 1
2
2
1
 2e 2  e1 
 2e 2  2e  2e( e  1 )
7.2 Integrales definidas con Scientific WorkPlace
Para evaluar una integral definida de una función con Scientific WorkPlace, seguir el mismo
procedimiento utilizado para evaluar integrales indefinidas, con la variante de agregar superíndice y
subíndice a la integral a evaluar, con los límites superior e inferior a evaluar, respectivamente.
Los ejemplos resueltos de la sección anterior, se pueden comprobar con Scientific WorkPlace, tal
como se muestra en seguida:
47
1)
5 2 x 2 dx   913
2)
2 e x2 dx e 3 1
3)
4 4 x dx 13. 86
4)
 4 sinxdx 61
2
1
2.5
2
2
5)
4 x 2 3xdx  128
3
6)
0 e 4x dx  14  14 e 8
7)
1
4
2
4 e
x
x
dx 2e
e 1
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sobre el ícono anterior.
Enseguida se muestran varios ejemplos resueltos de integrales de funciones. Haga doble “clic” con el
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48
7.3. Aplicaciones de la integral definida. Área bajo una curva con Scientific WorkPlace
A continuación se presenta el cálculo del área bajo una función, utilizando Scientific WorkPlace.
1)
1 x 2 10dx 10. 125
2.5
Graficando a:
y x 2 10
10
y
8
6
4
2
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
-2
-4
-6
-8
-10
2)
0 sin xdx 0. 318 31
0.5
Graficando a:
y sin 
x
y
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0
x
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
49
3)
1 lnx 1dx 3 ln3
3
Graficando a:
y lnx 1
y
2
1
0
1
2
3
4
5
x
-1
4)
2 x 2 x 2 2 dx  73 7  23 2
3
Graficando a:
y x 2 x 2 2
y
10
8
6
4
2
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
-2
-4
-6
-8
-10
5)

/2
0 sinx cos 2 xdx  13
Graficando a:
y sinx cos 2 x
y
0.3
0.2
0.1
-3
-2
-1
1
2
3
x
-0.1
-0.2
-0.3
50
6)
3
9 xx 43 dx  9777
2
320
8
2
2
2
yx
x 43
Graficando a:
y
30
20
10
0
3
7)
4
5
6
7
8
9
10
11
12
x
1 exp x 1dx e 2 e 1 3
2
y exp x 1
Graficando a:
y
10
8
6
4
2
-3.0
-2.5
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
x
-2
-4
-6
-8
-10
8)
0 xe x 2dx  52  12 e 1 
1
Graficando a:
2
2
y xe x 2
y
4
3
2
1
-2
-1
1
2
x
-1
51
9)
1 cos 2 
xdx 1
1
Graficando a:
y cos 2 
x
y
-2
1
-1
1
2
x
-1
10)
1 tanh2xdx  12 lne 12 1 12 lne 4 12
3
Graficando a:
ytanh2x
y
2.0
1.5
1.0
0.5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
-0.5
-1.0
-1.5
-2.0
11)
1 csc 2 2xdx 0. 317 01
1.2
Graficando a:
y csc 2 2x
y
3.0
2.8
2.6
2.4
2.2
2.0
1.8
1.6
1.4
1.2
-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
x
52
12)
1 x 3 3x 2 x 2dx  501
4
4
Graficando a:
y x 3 3x 2 x 2
y
140
120
100
80
60
40
20
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
-20
-40
13)
4
5
1
x3
Graficando a:
dx  ln2
1
y  x
3
y
2
1
-2
-1
1
2
3
4
5
6
x
-1
-2
14)
2 1x 12 dx 2 ln2 94
4
Graficando a:
y 1x 12
y
4
3
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
x
53
15)
2 x 4 3x 2 2dx  1292
5
4
Graficando a:
y x 4 3x 2 2
y
700
600
500
400
300
200
100
-5
16)
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
x
3.5 x exp x 2 dx 4. 338 6 10 6
4
Graficando a:
y x exp x 2
y
4e+8
3e+8
2e+8
1e+8
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
-1e+8
-2e+8
-3e+8
-4e+8
17)
2
4
x
dx
1
x
Graficando a:
 ln3 2
x
y  1
x
y
3
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
-1
54
18)
2 x lnx 2 dx 9 ln3 4 ln2  52
3
Graficando a:
y x lnx 2
16
y
14
12
10
8
6
4
2
-5
-4
-3
-2
-1
1
-2
2
3
4
5
x
-4
-6
-8
-10
-12
-14
-16
19)
2
3
exp x
dx
1
exp x
Graficando a:
 ln
e 3 1ln
e 2 1
exp x
y  1exp x
y
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
-5
20)
0.75 sec 2
x tan 
xdx  0.75
1.00
Graficando a:
1.0
1
cos 2 
x
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
x
tan 
x dx
y sec 
x tan 
x
y
2
1
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.5
1.0
1.5
2.0
x
-1
-2
55
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APLICACIONES DE LA INTEGRAL (SWP 5.5).tex
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56
8. PRÁCTICAS DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL CON SCIENTIFIC WORKPLACE
INSTRUCCIONES. Para prácticas siguientes se recomienda seguir la estructura, formato y detalles
que se dan en el Apéndice C. Reporte de Práctica (página 69) de este trabajo.
PRÁCTICA NO. 1 GRÁFICAS DE FUNCIONES CON SCIENTIFIC WORKPLACE
Objetivo: El alumno graficará funciones algebraicas y trascendentales de una variable en dos y tres
dimensiones mediante Scientific WorkPlace, resaltando la facilidad de manejo y rapidez del mismo.
Así como valorará la excelente presentación de los resultados obtenidos.
1. Ejemplos. Graficar las siguientes funciones:
2)
x 1
2
y  x2  2
3)
y
1)
y
1
3
x
3
 2  x
4 ) y  cos( x  2 )  1
5 ) y  Ln( x  3 )
2. Ejercicios a practicar:
1) y 
x  2
2
4
2 ) y  3x 2  x  3
3 ) y  13 xx 3  1
4 ) y  sen 2 ( 3 x  1 )
sec x
5) y 
x 1
6 ) y  x 3  2 x 2  3x  2
x2
7) y 
x 1
ex ex
8) y 
x
9 ) y  senhx  cosh x
senx  cos x
10 ) y 
1  cos x
3. Ejercicios complementarios:
1)
y
x  2
2)
3
3
y  3x  1
3)
y
1
3
x  2
1
2
x
4 ) y  cos( x  2 )
5 ) y  xLn( 2 x  1 )
57
PRÁCTICA NO. 2 LÍMITES DE FUNCIONES CON SCIENTIFIC WORKPLACE
Objetivo: El alumno evaluará Límites de funciones algebraicas y trascendentales de una variable
mediante Scientific WorkPlace, resaltando la facilidad de manejo y rapidez del mismo. Así como
valorará la excelente presentación de los resultados obtenidos.
1. Ejemplos. Evaluar los límites de las siguientes funciones:
1 ) lim x 2  2 x  1
x2
x2  4
x  2
x2
x3  4 x 2  x  6
3 ) lim
x  1
x 1
x 4  2 x3  x 2
4 ) lim
x0
x2
2 ) lim
x  7 
3
5 ) lim
x7
x7
2. Ejercicios a practicar:
1 ) lim x 4  2 x 3  x 2  x  3
x  3
3x  42 x  2
x  1
3
2 ) lim
2
x 1
x3  4 x 2  x  6
x 1
sen2 x
4 ) lim
x0
4x
5 ) lim cos  1x 
3 ) lim
x  1
x0
x2  x  2
x2
x2
x3  1
7 ) lim
x 1
2x  2  2
6 ) lim
2x  1
x3
2x2  x
9 ) lim
x0
x
10 x 3  26 x 2  22 x  6
10 ) lim
x 1
x  12
8 ) lim
x 3
3. Ejercicios complementarios:
1 ) lim x 2  1
x  1
x 2  4 x  21
x2
x7
3
x  64
3 ) lim
x  8
x 8
x 4  18 x 3  81
4 ) lim
x 3
 x  3 2
2 ) lim
5 ) lim
x 0
2  x 
2
4
x
58
PRÁCTICA NO. 3 DERIVADAS DE FUNCIONES CON SCIENTIFIC WORKPLACE
Objetivo: El alumno evaluará Derivadas de funciones algebraicas y trascendentales de una variable
mediante Scientific WorkPlace, resaltando la facilidad de manejo y rapidez del mismo. Así como
valorará la excelente presentación los resultados.
1. Ejemplos. Evaluar las derivadas de las siguientes funciones:
1) y  x 3  2x 2  x  3
2 ) y  2 x  3x  4 
6x  4
3) y 
4x 1
4)
y  x 3 e x  3
5)
y  x cos 2 ( x 3  8 )
2
2. Ejercicios a practicar:
1 ) y  4 x 4  10 x 3  5 x 2  x  2
2 ) y  cos( x  3 )sen x  5
 x 1 
y  tan 2 

 x5
 1 
4 ) y  ln 

 1  2x 
5 ) y  sec 3 ( x 2  x  3 )
3)
6)
y  sen 1 ( 3 x´ 1 )
7)
y
( x  1)2
( x  1 )3
e x  e x
e x  e x
9 ) y  csx 4 ( 2 x  3 )
( x  2 )( x  3 )
10 ) y 
2x  3
8)
y
3. Ejercicios complementarios:
1)
2)
3)
y  6x 3  x 2  7x 1
y   x  3  x  6 
x5
y
1  3x
2
4)
y  cos( x 3 )e x  1
5)
y  Ln( x 3  1 )
2
59
PRÁCTICA NO. 4 DIFERENCIALES DE FUNCIONES CON SCIENTIFIC WORKPLACE
Objetivo: El alumno evaluará Diferenciales de funciones algebraicas y trascendentales de una
variable mediante Scientific WorkPlace, resaltando la facilidad de manejo y rapidez del mismo. Así
como valorará la excelente presentación de los resultados obtenidos.
1. Ejemplos: Evaluar los diferenciales de las siguientes funciones:
1 ) y  5x 4  x 2  4 x  1
2 ) y  x  1 x  3
1  4x
3) y 
x  51
4 ) y  3x 3 e x  e  x 
5)
y
sen 2 ( x 3  16 )
x4
2. Ejercicios a practicar:
1 ) y  15 x 3  10 x 2  2 x  3
2 ) y  sec( x  3 ) csc x  1
3)
 x3
y  Ln

 x4
1
4)
5)
 x 
y

 3  4x 
y  ( 2 x 2  x  2 )5
ln( x 2´ 4 )
x
( x2)
7) y 
( x  2 )3
1
8 ) y  2x
e  e 2 x
9 ) y  x 2 cos 3 ( x  4 )
6)
10 )
y
y
( x  4 )( x  2 ) 2
x5
3. Ejercicios complementarios:
1)
y  x 3  5 x 2  x  10
y  2x  3 x  5
ln( x  5 )
3) y 
x5
4 ) y  e x ( x 2  x 1)
2)
5)
3
2
y  sen 3 ( Ln( x  2 ))
60
PRÁCTICA NO. 5 INTEGRALES INDEFINIDAS DE FUNCIONES CON SCIENTIFIC WORK PLACE
Objetivo: El alumno evaluará Integrales Indefinidas de funciones algebraicas y trascendentales de
una variable mediante Scientific WorkPlace, resaltando la facilidad de manejo y rapidez del mismo.
Así como valorará la excelente presentación de los resultados obtenidos.
1. Ejemplos. Evaluar las siguientes integrales indefinidas:
1)
( x
 2 x 2  3 x  4 )dx
3
x
dx
4
tan x
3) 
dx
cos 2 x
2)
x
4)
 xe
5)
x
2
2
x
dx
2x  2
dx
 4x  8
2. Ejercicios a practicar:
1)
 ( 3x
 4 x 3  7 x  6 )dx
3
5x  3
dx
 2 x 2  3x
tan x
3) 
dx
cos 2 x
2)
x
4)
 x x  3dx
 x ln xdx
 2 x csc 2 xdx
5)
6)
3
3
2
6e x
7)
 1  e dx
8)

9)
e
10 )
x
senx  cos x
dx
sen
x
x
sec 2 ( e x )dx
2
1
dx
 4x  9
3. Ejercicios complementarios:
1)
2)
3)
 ( 4x
3
 6 x 2  x  13 )dx
e x  e x
 e x  e  x dx
dx
x
dx
2x 2  9
ln 2 x 5
4) 
dx
x2
17 x  3
5)  2
dx
3x  x  2
61
PRÁCTICA NO. 6 INTEGRALES DEFINIDAS DE FUNCIONES CON SCIENTIFIC WORK PLACE
Objetivo: El alumno evaluará Integrales Definidas de funciones algebraicas y trascendentales de una
variable mediante Scientific WorkPlace, resaltando la facilidad de manejo y rapidez del mismo. Así
como valorará la excelente presentación de los resultados obtenidos.
1. Ejemplos. Evaluar las siguientes integrales definidas:
3
1)
 ( 3x
3
 2 x 2  6 x  7 )dx
0
4
x

2)
2x 2 1
0
7
3)
 x( x  3 )
dx
1
3
dx
3

senx

4)
cos 2 x  1
0

dx
2
 senx cos xdx
5)

2
2. Ejercicios a practicar:
4
1)
x
x
dx
1
2
2
4
2)
x
2
ln xdx
1
2
3)
ex
dx
1
e
x
1
4
4)
2
x
x2  3
2

5)
dx
3
 sen x cos xdx
2
0
 2
senx
dx
cos x  senx

6)
0
5
7)
x
2
3
4
8)

1
1
dx
 3x  2
ln x
dx
x
5
9)
x
 x  2x  4dx
3
3
x
dx
1 x

10 )
0
3. Ejercicios complementarios:
4
1)
( x
4
 6 x 2  x  11 )dx
1
7
2)
x
2
4
3)

1
x2
dx
3
3
ln x
dx
x2

4)
 xsenxdx
0
6
5)
x
2
3
x
dx
 4x2  4
62
PRÁCTICA NO. 7 APLICACIONES. ÁREA BAJO UNA CURVA CON SCIENTIFIC WORK PLACE
Objetivo: El alumno calculará áreas bajo curvas de funciones algebraicas y trascendentales de una
variable mediante Scientific WorkPlace, resaltando la facilidad de manejo y rapidez del mismo. Así
como valorará la excelente presentación de los resultados obtenidos.
1. Ejemplos. Graficar la región acotada por las siguientes expresiones algebraicas y encontrar el área
de la región.
1 ) y  13 x 3  2; x  0, x  2
2 ) y  x 2  4 x; x  4; x  1
3 ) y  x 2  2 x  1; x  1 x  4
1
4 ) y  2 ; x  1; x  5
x
5 ) y  cos x; x  8 ; x  4
2. Ejercicios a practicar:
1 ) y   x 2  4; x  1; x  2
1 1
2 ) y  2 e x ; x  0; x  3
x
2
3 ) y  ex ; x  0 x  1
4 ) y  x tan 6 x; x  1; x  2
5 ) y  e  x cos x; x  4; x  3
6 ) y  ln( x  2 ); x   12 ; x  2
1
7) y 
; x  4; x  1
x 1
8 ) y  e x  e  x ; x  2; x  4
9 ) y  x 3  2 x 2  3x  4; x  2; x  4
10 ) y  x 4  1; x  3; x  5
3. Ejercicios complementarios:
1 ) y   14 x 2  1; x  1, x  1
2 ) y  2 x 3  3 x 2  4; x  2; x  4
1
3) y 
; x2 x4
1  x2
4 ) y  3x  20; x  1; x  4
5 ) y  xsenx ; x  1; x  1
63
9. APENDICE
Apéndice A. Factorización de expresiones Algebraicas con Scientific WorkPlace
La factorización de expresiones algebraicas con Scientific WorkPlace es una herramienta útil cuando
éstas requieren simplificarse previamente, para evaluarse en cierto límite, derivada ó integral, según
sea el caso.
Para factorizar una expresión algebraica con Scientific WorkPlace, seguir el siguiente procedimiento:
a) Escribir la expresión a factorizar, sombreando la expresión y hacer “clic” en el icono:
Editándose la expresión en forma matemática (color rojo), indicado con el ícono:
b) Abrir la sección compute de la barra de herramientas
c) Hacer “clic” en factor de la sección compute de la barra de herramientas
Factorizándose la expresión algebraica deseada
Los ejemplos siguientes están contenidos en el archivo:
FACTORIZACION.tex
Al que se puede acceso directo, haciendo doble “clic” con el botón izquierdo del mouse.
64
FACTORIZACION DE EXPRESIONES ALGEBRÁICAS CON SCIENTIFIC WORKPLACE
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
x 5 2x 3 x 3 
x 2 2

x 3 2x 2 3x x
x 3
x 1
2

x 64 
x 8
x 8
2

x 81 
x 9
x 9
2

x 225 
x 15
x 15
3

x 27 
x 3
3x x 2 9

x 3 8 
x 2
2x x 2 4

x 3 64 
x 4
4x x 2 16

x 3 125 
x 5
5x x 2 25

x 3 1000 
x 10
10x x 2 100
1


x 3 0. 001  1000
10. 0x 1. 0
10. 0x 100. 0x 2 1. 0
12)
8
1


x 3 27
 27
3x 2
6x 9x 2 4
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22)
23)
24)
25)
26)
27)
28)
29)
30)
x 2 2x 1 
x 12

x 2 6x 5 
x 5
x 1
2

6x 5x 6 
2x 3
3x 2
2

12x 29x 15 
4x 3
3x 5
2

6x 13x 28 
2x 7
3x 4
4
2


x 16 
x 2
x 2
x 4
8
8



x y 
x y
x y
x 2 y 2 
x 4 y 4 
2x 3 y 2 6xy 3 2xy 2 
3y x 2 
8x 3 y 2 24x 2 xyz 18x 2 z 2 2x 2 
4xy 2 9z 2 12xyz

8x 3 64y 3 8
x 2y
2xy x 2 4y 2 

x 4 x 2 1 
x x 2 1
x x 2 1

x 4 y 4 7x 2 y 2 
3xy x 2 y 2 
3xy x 2 y 2 



8 8x 2 x 3 x 5  
x 1
x 2
x 1
2x x 2 4


x 3 9x 2 26x 24 
x 3
x 4
x 2
4
3
2


x 5x 4x 7x 3 
x 3
x 1
3x x 2 1


x 3 6x 2 11x 6 
x 3
x 1
x 2
3
2


x 2x 5x 6 
x 2
x 3
x 1
4
3
2


x 2x 12x 2x 11 
x 1
x 1
2x x 2 11
65
Apéndice B. Tablas de Identidades, Derivadas e Integrales
I. IDENT IDADES T RIGONOMÉTRICAS.
c.o.
c.a
1. sen 
2. cos 
hip
hip
c.o.
hip
3. tan 
4. csc  
c.a
c.o.
hip
c.a
5. sec 
6. cot 
c.a
c.o.
7. sen 2  cos2  1
8. 1 tan2  sec 2 
9. 1 cot2  csc 2 
co
hip
10. sen 2  1 1-cos2 
2
θ


2
1
11. cos   1 cos2 
ca
2

12. sen    sen cos   cossen
13. cos(   ) cos cos   sensen
tan  tan 
14. tan(   ) 
1 tan tan 
15. sen(   )  sen cos  cossen
16. cos(   ) cos cos  sensen
tan  tan 
17. tan(   ) 
1 tan tan 
18. sen 2  2sen cos
19. cos 2 cos2   sen 2 1 2sen 2  2 cos2  1
2 tan
20. tan 2 
1 tan2 
21. sen cos   1 sen(   )  sen(   )
2
1
22. cossen  sen(   )  sen(   )
2
23. cos cos   1 cos(   )  cos(   )
2
1
24. sensen  cos(   ) cos(   )
2
 
 
25. sen  sen  2sen
cos
2
2
 
 
26. cos  cos   2 cos
cos
2
2
 
 
27. sen  sen  2 cos
sen
2
2
 
 
28. cos cos   2sen
sen
2
2
II. REGLAS DE EXPONENCIACIÓN
Y LOGARIT MICAS.
u
29. a a v  au  v
33.(au )v a uv
37. (ab)n a u bu
30.
au u v
a
av
31. epeq ep q
32. ln e x  x
 a  au
34.   
u
b
b
ep p-q
35.
e
38. (ep )r epr
eq
36. elnx  x x  0.
III. IDENTIDADE S TRIGONOMÉTRICAS
HIPERBÓLICAS.
39. cosh 2   senh 2  1
40. 1  tanh 2   sec h 2
41. coth 2   1  csc h 2
e  e 
42. senh  
2
e  e 
43. cosh  
2
senh  e  e 

cosh  e  e 
cosh  e  e 
45. coth  

senh  e  e 
1
2
46. sec h 

cosh  e  e 
1
2
47. csc h 

senh  e  e 
44. tanh  
IV. REGLAS DE DERIVACIÓN.
f ( x  h)  f ( x) DEFINICIÓN DE
df(x)
48.
 lim 
, LA DERIVADA
dx
h 0
h
49. d x  1
dx
50. d (u  v)  d u  d v
dx
dx
dx
51. d cu  c d u
dx
dx
52. d x n  nx n 1
dx
53. d (uv)  u d v  v d u
dx
dx
dx
d
v u u d v
dx
54. d uv  dx
5dx
v2
55. dx u n  nu n 1 d u
dx
56. d u v  vu v 1 d u  ln u  v v  d v
dx
dx
dx
57. d senu  cos u d u
dx
dx
58. d cos u   senu d u
dx
dx
2
d
59. tan u  sec u d u
dx
dx
2
d
60. cot u   csc u d u
dx
dx
61. d sec u  sec u tan u d u
dx
dx
62. d csc u   csc u cot u d u
dx
dx
d u
63. d arcsenu  1
dx
1u 2 dx



66
64. d arccosu   1 d u
dx
1u 2 dx
65. d arctanu  1 d u
dx
1u 2 dx
66. d arc cot u   1 d u
dx
1u 2 dx
du
1
67. d arc sec u 
dx
u u 2 1 dx
du
1
68. d arc csc u  
dx
dx
2
u u 1
d
du
1
69. loga u 
dx
u ln a dx
70. d au  au ln a d u
dx
dx
71. d eu eu d u
dx
dx
d
DE LA
72. f ( g ( x)) d ( f ( g ( x))) d g ( x) , REGLA
CADENA
dx
dx
 dx

73. d senhucosh u d u
dx
dx
d
74. cosh u  senhu d u
dx
dx
d
2
75. tanhu sec h u d u
dx
dx
76. d cothu   csc h 2u d u
dx
dx
d
77. sec hu  sec hu tanhu d u
dx
dx
d
d
78. csc hucsc hu cothu u
dx
dx

V. REGLAS DE INT EGRACIÓN.
79.  sen udu  cos u  c
80.  cos udu senu  c
81.  sec 2 udu tanu  c
82.  csc 2 udu  cot u  c
83. sec u tanudusec u  c
84.  csc u cot udu  csc u  c
85.  tanuduln sec u  c
89.  senhuducosh u c
90.  cosh udu senhuc
91.  tanhudu ln cosh u c
92.  cothudu ln senhu c
93.  sec hudu tan1 senhu c
94.  csc huduln tanh1 u  c
2
95.  sec h 2udu tanhu c
96.  csc h 2udu cothu c
97.  sec hu tanhudusec huc
98.  csc hu cothuducsc huc

99.  udu  uv   vdu ,

INTEGRACIÓ N
POR PARTES

100.  u n du  1 u n 1  c
n 1
101.  u r du  u r 1  c, r  -1 , ln u  c, r  -1
102.  du  ln u  c
u
103.  eu  eu  c
104.  a u du  1 a u  c
ln a
du
105. 
 sen 1 u  c
a
a2  u 2
106.  2du 2  1 tan1 u  c
a
a
a u
du
107. 
 1 sec 1 u  c
a
u u 2  a2 a
108.  2du 2  1 ln u  a  c
2a u  a
a u
du
109.  2
 1 ln u  a  c
u  a 2 2a u  a
2
110.  a 2  u 2 dx  u a 2  u 2  a arcsen u  c
a
2
2
2

2
2
2
2
u
a
111.  u  a dx 
u a 
ln u  u 2  a 2 
2
2 

du
u
1
112.  2
 arctan  c
a
u  a2 a
b
113. a f ( x)dx  f (b)  f (a)

86.  cot uduln senu  c
87.  sec uduln sec u  tanu  c
88.  csc uduln csc u cot u  c
67
Apéndice C. Reporte de Práctica (1)
Descripción de los puntos a desarrollar en la estructura del reporte de una práctica
de matemáticas
I. CARÁTULA
1. Escribir con mayúscula y negrita el nombre de la institución correspondiente,
centrada y con su logotipo a la izquierda.
2. Escribir en seguida con mayúscula y negrita el nombre de la división
correspondiente, centrada y con su logotipo a la derecha. Al mismo nivel del logotipo
de la institución.
3. Escribir el nombre de la práctica, centrada, a tres interlineados.
4. Escribir el número de la práctica alineado a la izquierda, a tres interlineados.
5. Escribir los integrantes del equipo de alumnos que realizó la práctica, a un
interlineado cada integrante, centrados.
6. Escribir la fecha en que se realizó la práctica (dd/mm/aa) alineada a la izquierda, a
tres interlineados.
7. Escribir el periodo escolar correspondiente (año-semestre) en que se realizó la
práctica, a tres interlineados.
II. OBJETIVOS DE LA PRÁCTICA
1. Describir detalladamente los objetivos generales de la práctica.
2. Describir detalladamente los objetivos específicos de la práctica, si existen.
III. MARCO TEÓRICO.
Desarrollar manera detallada (evitando demostraciones matemáticas) el marco teórico
mediante el cual se sustenta el tema a tratar. Así como la descripción breve del software
utilizado, con las rutinas y librerías del mismo utilizadas específicamente en el tema a
tratar.
IV. MATERIAL Y EQUIPO
Enlistar y describir de manera breve el material y equipo a utilizar (tipo, serie, cantidad,
etc.)
68
V. DESARROLLO
En esta parte, el reporte de la práctica deberá contener de manera detallada los
siguientes puntos:
a) Ejemplos
Realizar junto con el docente y de manera detallada por lo menos 5 ejemplos de inducción
al tema de la práctica correspondiente, con el software propuesto.
b) Ejercicios de práctica
Resolver de manera individual y/o colectiva, en la sesión correspondiente, una serie de 20
ejercicios por lo menos, del tema la práctica correspondiente.
c) Cotejo de resultados
Cotejar algunos de los resultados de algunos ejercicios obtenidos en la práctica
correspondiente, en forma manual (hoja-lápiz), con los obtenidos mediante el software
elegido.
d) Ejercicios complementarios
Con el objetivo de seguir ejercitando, resolver por lo menos 5 ejercicios adicionales de la
práctica correspondiente, mediante las dos formas: manual y mediante el software
propuesto, comparando sus resultados.
Nota: Los problemas resueltos de las secciones anteriores se deberán integrar al reporte
de práctica, exportándolos como dibujos al procesador de texto mediante el cual se edite
la práctica, ya que Scientific WorkPlace es compatible con Microsoft.
VI. CONCLUSIONES
Escribir las conclusiones obtenidas de la práctica correspondiente, analizando las
características y viabilidad de Scientific WorkPlace, describiendo sus ventajas y
desventajas en la solución de problemas de abordados en la práctica correspondiente.
VII. BIBLIOGRAFÍA
Escribir la bibliografía consultada el desarrollo y reporte de la práctica correspondiente.
(1) El formato del reporte será con letra Arial, tamaño 12 e interlineado de 1.5
espacios.
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10. BIBLIOGRAFÍA CONSULTADA
1. SWOKOWSKI EARL W. “CÁLCULO CON GEOMETRÍA ANALÍTICA”, SEGUNDA
EDICIÓN, 1985. GRUPO EDITORIAL IBEROAMÉRICA
2. ZILL, DENNIS G. “CÁLCULO CON GEOMETRÍA ANALÍTICA”, PRIMERA
EDICIÓN, 1987. GRUPO EDITORIAL IBEROAMÉRICA.
3. LARSON, RON, HOSTETLER, ROBERT, BRUCE, EDWARDS. “CÁLCULO CON
GEOMETRÍA ANALÍTICA”, 8ª. EDICIÓN 2006. ED. MC GRAH HIL.
4. SCIENTIFIC WORKPLACE V. 5.50 BUILD 2953. MACKICHAN SOFTWARE, INC.
WEB SITE: http://www.makichan.com
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