Convolución y superposición de agrupaciones.

ANTENAS
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Convolución y superposición de agrupaciones.
Se conocen las expresiones del factor de la agrupación, los
polinomios y los ceros de algunas distribuciones, como la uniforme,
triangular, binómica, etc.
En otros casos es necesario recurrir a evaluar directamente la serie o
tratar de reducir la expresión a la superposición o convolución de
otras distribuciones conocidas.
Se pide obtener el factor de la agrupación, y los ceros del array , por
el procedimiento indicado las siguientes distribuciones
a) p ( z ) = 1 + 2 z + 2 z 2 + z 3
b) p ( z ) = 1 + z + z 2 + z 4 + z 5 + z 6
c) p ( z ) = 1 + 2 z + z 2 + 2 z 3 + 4 z 4 + 2 z 5 + z 6 + 2 z 7 + z 8
p ( z ) = 1 + 2z + 2z 2 + z3
La forma de la distribución recuerda una distribución triangular,
pero en este caso el grado del polinomio es impar, por lo que no
puede ser el cuadrada de una uniforme.
Se puede demostrar fácilmente que este tipo de distribuciones son el
producto de 2 distribuciones uniformes de diferente grado
p ( z ) = 1 + 2 z + 2 z 2 + z 3 = (1 + z ) (1 + z + z 2 )
⎛ Ψ⎞
sin ⎜ 3 ⎟
2⎠
⎛Ψ⎞
FA ( Ψ ) = 2 cos ⎜ ⎟ ⎝
⎝ 2 ⎠ sin ⎛ Ψ ⎞
⎜ ⎟
⎝2⎠
90
120
60
0.8
0.6
150
30
0.4
0.2
180
0
0
210
330
240
300
270
© Miguel Ferrando, Alejandro Valero. Dep. Comunicaciones. Universidad Politécnica de Valencia
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p ( z ) = 1 + z + z 2 + z 4 + z5 + z6
En un polinomio donde falla uno de los coeficientes el Factor de la
agrupación se puede obtener por diferencia
p ( z ) = (1 + z + z 2 + z 3 + z 4 + z 5 + z 6 ) − z 3
El factor de la agrupación es el módulo de dicha función. Interesa
que la fase sea constante, por lo que hay que tomar como referencia
el centro de la agrupación.
En este caso
p1 ( z ) = ( z −3 + z −2 + z −1 + 1 + z + z 2 + z 3 ) − 1
El factor de array se puede obtener a partir de la serie trigonométrica
equivalente
FA ( Ψ ) = (1 + 2 cos Ψ + 2 cos 2Ψ + 2 cos 3Ψ ) − 1
Otra forma de expresar el factor de array es a partir de la suma de la
serie
⎛ ⎛ Ψ⎞⎞
⎜ sin ⎜ 7 2 ⎟ ⎟
⎠ ⎟ −1
FA ( Ψ ) = ⎜ ⎝
⎜ sin ⎛ Ψ ⎞ ⎟
⎜ ⎟ ⎟
⎜
⎝2⎠ ⎠
⎝
p ( z ) = 1 + 2 z + z 2 + 2 z3 + 4z 4 + 2z5 + z 6 + 2 z 7 + z8
Este tipo de distribuciones se pueden escribir como una agrupación
de agrupaciones.
p ( z ) = (1 + 2 z + z 2 ) + 2 ( z 3 + 4 z 4 + 2 z 5 ) + ( z 6 + 2 z 7 + z 8 )
p ( z ) = (1 + 2 z + z 2 )(1 + 2 z 3 + z 6 ) = (1 + z ) (1 + z 3 )
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© Miguel Ferrando, Alejandro Valero. Dep. Comunicaciones. Universidad Politécnica de Valencia
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Los ceros correspondientes a estas agrupaciones son
90
120
60
0.8
0.6
150
30
0.4
0.2
180
0
0
210
330
240
300
270
El Factor de la agrupación es
2
⎛
⎛ Ψ ⎞⎞ ⎛
⎛ 3Ψ ⎞ ⎞
FA ( Ψ ) = ⎜ 2 cos ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ 2 cos ⎜
⎟⎟
⎝ 2 ⎠⎠ ⎝
⎝ 2 ⎠⎠
⎝
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© Miguel Ferrando, Alejandro Valero. Dep. Comunicaciones. Universidad Politécnica de Valencia