Integrales Dobles sobre Regiones Generales

83
Unidad 5 : INTEGRALES MÚLTIPLES
Tema 5.3 : Integrales Dobles en Regiones Generales
(Estudiar la Sección 15.3 en el Stewart 5ª Edición; Hacer la Tarea No. 20)
Cuando se va a calcular una integral doble en una región general, no
rectangular, debemos de distinguir dos casos diferentes: (a) Regiones Tipo I,
en las que debe integrarse primero la variable y, y (b) Regiones Tipo 2, en las
que debe integrarse primero la variable x.
Ambas regiones se ilustran gráficamente, y simbólicamente, en la Tabla de la
página 81. Esta tabla debe estudiarse detenidamente antes de proceder a
resolver los ejercicios siguientes.
Ejemplo 1 Evalúe la integral doble
y=1+x2
∫∫ (x + 2 y )dA , en donde D es la
D
2
región limitada por las parábolas
2
y = 2x ;
y = 1+ x
y=2x2
2
Para determinar cual variable
conviene integrar primero, debemos
de dibujar la región de integración y
determinar si es del Tipo I o es del
Tipo II.
1
1+ x 2
1
−1
2 x2
−1
-1
1
∫ ∫ (x + 2 y )dy dx = ∫ [xy + y ] dx
= {[x(1 + x ) + (1 + x ) ]− [x(2 x ) + (2 x ) ]}dx
∫
= {[x + x + 1 + 2 x + x ] − [2 x + 4 x ]}dx
∫
1
2
2 1+ x
2 x2
2 2
2
2 2
2
−1
1
3
2
4
3
4
−1
1
 − 3x 5 x 4 2 x 3 x 2

=
− 3x − x + 2 x + x + 1 dx = 
−
+
+
+ x
4
3
2
−1
 5
 −1
1
∫[
4
3
2
]
6 4
− 18 + 20 + 30 32
 − 3 1 2 1  3 1 2 1 
=
− + + + 1 −  − − + − 1 = − + + 2 =
=
5 3
15
15
 5 4 3 2  5 4 3 2 
84
Ejemplo 2 Encuentre el volumen del sólido debajo del paraboloide z = x 2 + y 2 y

sobre la región ℜ = ( x, y )

0≤ x≤2 
 . (a) Haga el cálculo tomando la región
x2 ≤ y ≤ 2x 
como Tipo II, (b) haga el cálculo tomando la región como Tipo I.
Si integramos primero la variable y, los
límites de y van del valor inferior y = x 2 al
valor superior y = 2 x
y = 2x
y
x=
2
2
V=
2x
∫ ∫ (x
0
x
2
2
)
+ y 2 dy dx = L =
216
35
Si integramos primero la variable x, los
límites de x van del valor inferior x =
y = x2
x=
valor superior x =
y
4
V=
∫∫
0
Ejemplo 3. Evalúe la integral
y
y
2
(x
2
y
al
2
y
)
+ y 2 dx dy = L =
216
35
∫∫ xy dA en donde D es la región limitada por la
D
2
recta y = x − 1 , y la parábola y = 2 x + 6
y = ± 2x + 6
(5,4)
y2 − 6
x=
2
(-1,-2)
y = x −1
x = y +1
85
y1 = y 2
x − 1 = 2x + 6
x 2 − 2x + 1 = 2x + 6
x 2 − 4x − 5 = 0
(x − 5)( x + 1) = 0
x1 = −1 ; y1 = −2
y +1
−2
y 2 −6
2
∫∫ xy dA = ∫ ∫
D
x 2 = +5 ;
y 2 = +4
(− 1,−2)
(5,4)
y
4
1
Ejemplo 4: Evalúe la integral
∫∫
0
1
xy dx dy = L = 36
( )
x 3 sen y 3 dy dx , invirtiendo el orden de
x
2
integración.
1
∫∫
y = 1
y = x
x =
0
2
y
y
( )
x 3 sen y 3 dx dy =
0
y
 x4
3 
 sen y  dy =
0 4
0
∫
1
( )
1 1 2
1
y sen y 3 dy =
− cos y 3
4 0
12
−1
[cos(1) − 1] = 1 − cos(1)
12
12
∫[
( )]
Para la próxima clase estudiar las secciones
15.3 Integrales Dobles sobre Regiones Generales
15.4 Integrales Dobles en Coordenadas Polares
Tarea para entregar la próxima clase
Tarea No. 20 Integrales Dobles sobre Regiones Generales
[
( )]
1
0
=
86
Ejercicios para la clase de cambio de orden de integración en integrales
dobles.
Trace la región de integración y cambie el orden de integración
Ejercicio 5:
2
∫∫
1
y=ln(x)
x=exp(y)
0
0
0
2− y
y
2
f ( x, y )dxdy
ey
2
1
x+y=2
∫∫
∫ ∫
f ( x, y )dydx
Ejercicio 6:
1
ln 2
ln(2)
ln x
1
2
x
∫∫
+
∫ ∫ f (x, y )dydx
f ( x, y )dydx
2
x=y
y=x1/2
0
f ( x, y )dxdy
0
2
2
1
1
2
2− x
0
Evalúe la integral invirtiendo el orden de integración
3
∫∫
Ejercicio 7:
0
1
3
0
3y
∫∫
∫∫
0
e dydx
(e − 1) 6
9
R:
π 2
∫ ∫
π 2
x =sen-1y
y=senx
cos x 1 + cos 2 x dy dx
R:
2
∫∫
0
4
y
x3
∫∫
0
R:
(e
0
e x dx dy
3
1
0
sin −1 y
Ejercicio 9:
3
sin x
cos x 1 + cos 2 x dx dy
2
1
0
e dxdy
0
8
x =3y
y=x/3
x2
x2
Ejercicio 8:
1
x 3
(2
)
2 −1 3
4
e x dydx
16
π/2
8
x=y1/3
y=x3
)
−1 4
2
87
Integrales Dobles en Coordenadas Cartesianas
x=a
x=b
b
y=d
Región
Rectangular
y=c

 ( x, y )

a≤ x≤b
c≤ y≤d



d
∫ ∫ f (x, y ) dydx
∫ ∫ f (x, y ) dxdy
a
c
d
b
c
x=a
x=b
y=g2(x)
Región
Tipo 1
y=g1(x)
x=h1(y)
Región
Tipo 2
a

 ( x, y )

g1 ( x ) ≤ y ≤ g 2 ( x )

a≤ x≤b

∫∫
y= g2 (x)
h1 ( y ) ≤ x ≤ h2 ( y ) 

c≤ y≤d

d
x = h2 ( y )
b
a
f ( x, y ) dydx
y = g1 ( x )
x=h2(y)
y=d
y=c

 ( x, y )

∫∫
c
f ( x, y ) dxdy
x = h1 ( y )
88
Ma-817 : MATEMÁTICAS III PARA INGENIERIA
Tarea No 20 : Integrales Dobles en Regiones Generales
(Sección 15.3 del Stewart 5ª Edición)
En los problemas 1 al 2 evalúe la integral doble:
∫∫
P1 :
D

0≤ x≤2 
x 3 y 2 dA ; D = ( x, y )

− x ≤ y ≤ x

∫∫
P2 :
x
e
y
D

1≤ y ≤ 2 
dA ; D = ( x, y )

y ≤ x ≤ y3 

R1 :
256
21
R2 :
1 4
e − 2e
2
R3 :
6
35
En los problemas 3 y 4 halle el volumen del sólido dado:
P3: Debajo del paraboloide z = x 2 + y 2 y arriba de la
región limitada por las parábolas y = x
2
; x= y
2
P4: Limitado por el cilindro x 2 + z 2 = 9 y los planos
x = 0 , y = 0 , z = 0 , x + 2 y = 2 en el primer octante
R4 :
P5: Trace la región de integración y cambie el orden
de integración, para la integral doble:
4
∫∫
0
f ( x, y ) dxdy
y
(
2
R5 :
2
1
11 5 − 27
6
9
 2
+ sen −1  
2
 3
)
2x
∫ ∫ f (x, y ) dydx
0
0
2
P6: Evalúe la integral invirtiendo el orden de
3
integración:
∫∫
0
9
( )
y cos x 2 dxdy
y2
R6 :
1
sen(81)
4