Integral doble.
Definición 1. Sea f (x, y) una función de dos variables definida en una región
RR cerrada R,
del plano xy. Entonces la doble integral de f sobre R , denotada por R f (x, y)dA,
se define como
ZZ
m,n
m,n
X
X
X
X
∗ ∗
f (x∗i , yj∗ )∆Ak
f (x, y)dA = lı́m lı́m
f (xi , yj )(xi −xi−1 )(yj −yj−1 ) = lı́m lı́m
R
||P1 ||,||P2 ||→0
i,j=1
m,n→∞
i,j=1
Donde (x∗i , yj∗ ) es un punto en la región rectangular Rij = {(x, y)|xi−1 ≤ x ≤ xi ; yj−1 ≤
y ≤ yj } y P1 y P2 son particiones en x y y de la región R.
Si el límite existe, afirmamos que f es integrable sobre R , y que R es la región de
integración.
Figura 0.1: Suma de Riemann
Si f (x, y) ≥ 0 para toda (x, y) en R el volumen bajo la superficie
z = f (x, y) sobre
RR
la región R es la integral doble, es decir, V olumen = V = R f (x, y)dA.
Ejemplo: 1. Integral indefinida que contiene más variables. Evalúe las siguientes integrales indefinidas
R
.) 6xy 2 dy
R
..) 6xy 2 dx
Solución: 1. Resolviendo
.) La integral es sobre la variable y lo que permite mantener a x fija, es decir, x es una
constante, entonces
3
Z
Z
y
2
2
+ C1 (x) = 2xy 3 + C1 (x)
6xy dy = 6x y dy = 6x
3
1
..) Ahora la integral es sobre la variable x lo que permite mantener a y fija, es decir, y
es una constante, entonces
2
Z
Z
x
2
2
6xy dx = 6y
xdx = 6y
+ C2 (y) = 3x2 y + C2 (y)
2
Observe que las constantes pueden ser números o funciones que dependen de la variable
o variables que nos son la variable de integración.
Ejemplo: 2. Integral definida. Evalúe la siguientes integrales definidas.
Rx
.) x2 sen(xy)dy
..)
R √y
y
sen(xy)dx
Solución: 2. Resolviendo
.) La variable de integración es y, entonces x es una constante.
Haciendo
R
R el cambio
de variable u = xy ⇒ du = xdy ⇒ du
=
dy
se
tiene
sen(xy)dy
=
sen u du
=
x
x
R
cos(xy)
1
1
cos u
sen udu = x (− cos u) + C(x) = − x + C(x) = − x + C(x) por lo que
x
Z
x
sen(xy)dy = −
x2
cos(xy)
x
x
=−
x2
cos(x2 ) cos(x3 )
+
x
x
..) Ahora, la integral es con respecto de x, entonces y es una constante.
Haciendo
R
du
el cambio de variable u = xy ⇒ du = ydx ⇒ y = dx se tiene sen(xy)dx =
R
R
sen u du
= y1 sen udu = y1 (− cos u) + C(y) = − cosy u + C(y) = − cos(xy)
+ C(y) por
y
y
lo que
Z
y
√
y
√
cos(xy)
sen(xy)dx = −
y
y
y
√
cos( yy) cos(yy)
cos(y 3/2 ) cos(y 2 )
=−
+
=−
+
y
y
y
y
Nótese que las integrales ahora fueron definidas y por tanto no hay términos constantes
en el resultado, como en el ejemplo 1.
Una doble integral de una función z = f (x, y) se realiza sobre una región R del plano
xy. Para determinar los límites y el orden de integración se necesita describir la región R.
Regiones de integración tipo I y II
Teorema: 1. (Teorema de fubini) Sea f (x, y) continua en una región R
.) REGIÓN DEL TIPO I. Si R está definida como R = {(x, y)|a ≤ x ≤ b y g1 (x) ≤
y ≤ g2 (x)} con g1 y g2 continuas en [a, b], entonces
Z bZ
ZZ
g2 (x)
f (x, y)dA =
R
2
f (x, y)dydx
a
g1 (x)
eje y
y=g2 (x)
y=g1 (x)
a
b
eje x
Figura 0.2: Región I
..) REGIÓN DEL TIPO II. Si R está definida como R = {(x, y)|c ≤ y ≤ d y h1 (y) ≤
x ≤ h2 (y)} con g1 y g2 continuas en [c, d], entonces
ZZ
Z d Z h2 (y)
f (x, y)dA =
f (x, y)dxdy
R
c
h1 (y)
Figura 0.3: Región II
Lo que nos dice el Teorema de Fubini es que si una región R se puede describir como
región del tipo I y del tipo II, entonces resultan iguales las integrales en los dos órdenes
de integración
Z b Z g2 (x)
Z d Z h2 (y)
ZZ
f (x, y)dxdy
f (x, y)dydx =
f (x, y)dA =
R
a
g1 (x)
c
h1 (y)
Para describir regiones del tipo I, donde x es la variable independiente y y es la variable
dependiente, hay que imaginar rectas verticales que atraviesan la región R de abajo hacia
arriba, entonces las rectas entran a la región en y = g1 (x) y salen de la región en y = g2 (x)
y todas estas rectas varian de x = a a x = b. Entonces la región se describe como
R : a ≤ x ≤ b;
y la integral se escribe como
ZZ
g1 (x) ≤ y ≤ g2 (x)
Z bZ
g2 (x)
f (x, y) dA =
R
f (x, y) dydx
a
g1 (x)
3
Figura 0.4: Región del tipo I
Para describir regiones del tipo II, donde y es la variable independiente y x es la variable
dependiente, hay que imaginar rectas horizontales que pasen por la región R de izquierda
a derecha, entonces las rectas entran a la región en x = h1 (y) y salen de la región en
x = h2 (y) y todas estas rectas varian de y = c a y = d. Entonces la región se describe
como
R : c ≤ y ≤ d; h1 (y) ≤ x ≤ h2 (y)
y la integral se escribe de la siguiente forma
ZZ
Z dZ
f (x, y) dA =
R
c
h2 (y)
f (x, y) dxdy
h1 (y)
Figura 0.5: Región del tipo II
Ejemplo: 3. Integral iterada. Evaluar la doble integral iterada de f (x, y) = 2xy sobre
la región que se muestra en la figura donde las curvas son y = x y y = x2 + 1, con x entre
−1 y 2.
Figura 0.6: Ejemplo 3
4
Solución: 3. La región es del tipo I, entonces de acuerdo al Teorema 1, −1 ≤ x ≤ 2 y
x ≤ y ≤ x2 + 1, de donde se tiene que
#
Z 2 Z x2 +1
Z 2 "Z x2 +1
Z 2
x2 +1
2
2xydydx =
2xydy dx
=
xy
dx
−1
−1
x
Z
2
=
−1
x
h
2
x x +1
2 − xx
2
i
Z
5
3
x5 + 2x3 + x − x3 dx
x6 x4 x2
=
+
+
6
4
2
x + x + x dx
−1
=
−1
2
=
2
dx =
−1
Z
x
2
−1
63
4
Ejemplo: 4. Integral iterada. Evalúe la integral iterada
R 4 R 2y
y
0
(8x + ey ) dxdy
Solución: 4. Esta integral tiene orden de integración del tipo II, entonces se tiene 0 ≤
y ≤ 4 y y ≤ x ≤ 2y y la región bosquejada en el plano es
Figura 0.7: Ejemplo 4
entonces
Z 4 Z 2y
4
Z
y
Z
2y
Z
(8x + e ) dx dy =
(8x + e ) dxdy =
0
y
0
y
4
h
2
4x +
0
y
2y
xey y
i
dy
4
Z
=
4 (2y)2 + (2y)ey − 4 (y)2 + yey dy
0
4
Z
12y 2 + yey dy = 4y 3 + yey − ey
=
0
=
4
0
4(4)3 + 4e4 − e4 − 4(0)3 + 0e0 − e0 = 257 + 3e4
Teorema: 2. Propiedades de la integral doble. Si f (x, y) y g(x, y) son funciones
integrales sobre la región R del plano xy, entonces
ZZ
ZZ
.)
kf (x, y)dA = k
f (x, y)dA
R
R
ZZ
ZZ
ZZ
(f (x, y) ± g(x, y)) dA =
..)
R
f (x, y)dA ±
R
g(x, y)dA
R
5
ZZ
f (x, y)dA ≥ 0 si
...)
f (x, y) ≥ 0 en R
R
ZZ
ZZ
f (x, y)dA ≥
....)
g(x, y)dA si
R
ZZ
ZZ
ZZ
f (x, y)dA =
_)
f (x, y) ≥ g(x, y) en R
R
R
f (x, y)dA +
R1
f (x, y)dA
R2
si R es la unión de dos regiones R1 y R2 que no se traslapan.
Volúmenes
Si f (x, y) es positiva y continua sobre una región R, se define el volumen bajo la
superficie,
como el volúmen de la región sólida entre R y la superficie z = f (x, y) como
RR
f
(x,
y)dA.
R
Figura 0.8: El volumen bajo la gráfica de una superficie z = f (x, y)
Un ejemplo para calcular el volumen bajo la gráfica de una superficie es el siguiente.
Ejemplo:
5. Calcular el volumen de una superficie bajo una región rectangular. Calcule
RR
f (x, y)dA para f (x, y) = 100 − 6x2 y donde R es la región, 0 ≤ x ≤ 2, −1 ≤ y ≤ 1.
R
Solución: 5. La figura 9a muestra el volumen bajo la superficie z = 100 − 6x2 y como
región del tipo I.
(a) Como región del tipo I.
(b) Como región del tipo II.
Figura 0.9: Volumen bajo la superficie z = 100 − 6x2 y.
6
Entonces el volumen está dado por la doble integral
ZZ
Z 2Z 1
Z
2
2
V =
100 − 6x y dA =
100 − 6x y dydx =
R
Z
2
=
100y −
0
Z
−1
0
y=1
3x2 y 2 y=−1
2
0
Z
1
2
100 − 6x y dy dx
−1
2
Z
dx =
100 − 3x2 − −100 − 3x2 dx
0
2
200 dx = 200x]x=2
x=0 = 400.
=
0
La figura 9b muestra el volumen bajo la superficie z = 100 − x2 y como región del tipo
II. Entonces el volumen está dado por la integral
ZZ
Z 1Z 2
Z 1 Z 2
2
2
2
V =
100 − 6x y dA =
100 − 6x y dxdy =
100 − 6x y dx dy
−1
R
Z
1
=
100x − 2x3 y
−1
= 200y − 8y 2
y=1
y=−1
x=2
dx =
x=0
−1
0
Z
0
1
(200 − 16y) dy
−1
= (200 − 8) − (−200 − 8) = 400.
Los resultados son iguales, como se debe ocurrir.
Observe que al intercambiar los órdenes de integración las integrales sólo se intercambiaron, esto ocurre solamente cuando los límite de integración son constantes.
Cuando los límites de integración no todos son constantes al invertir el orden de interación los límites cambian, como se verá más adelante.
Ejemplo: 6. Calcular el volumen de una superficie bajo una región rectangular. Determien
el volumen de la región acotada arriba por el paraboloide elíptico z = 10 + x2 + 3y 2 y
abajo por el rectángulo R: 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2.
Solución: 6. La figura 10a muestra el volumen bajo la superficie z = 10 + x2 + 3y 2 como
región del tipo I.
(a) Como región del tipo I.
(b) Como región del tipo II.
Figura 0.10: Volumen bajo la superficie z = 10 + x2 + 3y 2 , regiones I y II.
7
Entonces el volumen está dado por la integral doble
Z 1 Z 2
Z 1Z 2
2
2
2
2
10 + x + 3y dy dx
10 + x + 3y dydx =
V =
0
Z
0
0
1
=
2
10y + x y +
0
2
= 28x + x3
3
y=2
y 3 y=0
x=1
= 28 +
x=0
0
1
Z
2
Z
20 + 2x + 8 dx =
dx =
1
28 + 2x2 dx
0
0
2
86
= .
3
3
La región del tipo II está en la figura 10b. Entonces el volumen en el otro orden de
integración es
Z 2 Z 1
Z 2Z 1
2
2
2
2
10 + x + 3y dx dy
10 + x + 3y dxdy =
V =
0
0
0
2
x=1
x3
=
10x +
dx =
+ 3xy 2
3
0
x=0
y=2
31
62
86
3
=
y+y
=
+8= .
3
3
3
y=0
Z
Z
0
0
2
Z 2
1
31
2
2
10 + + 3y dx =
+ 3y dy
3
3
0
Que resultan otra vez iguales como debe de ser.
Ejemplo: 7. Integral doble con límites de integración no todos constantes. Determine el
volumen del prisma cuya base es el triángulo en el plano xy acotado por el eje x y las
rectas y = x y x = 1, y cuya parte superior se encuentra en el plano z = 3 − x − y.
Solución: 7. Haciendo z = f (x, y) = 3 − x − y y la gráfica de la región en el plano xy se
tiene
(a) Como región del tipo I.
(b) Como región del tipo II.
Figura 0.11: Ejemplo 7.
Observando la figura 11a, la región se describe como del tipo I como 0 ≤ x ≤ 1,
0 ≤ y ≤ x. Por lo tanto el volumen se obtiene como
y=x
Z 1Z x
Z 1
y2
V =
(3 − x − y) dydx =
3y − xy −
dx
2 y=0
0
0
0
2
x=1
Z 1
3x2
3x
x3
=
3x −
dx =
−
= 1.
2
2
2 x=0
0
8
Cuando la región se describe como región del tipo II, como en la figura 11b, se tiene
0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ x ≤ y. Por lo tanto el volumen es
x=1
1 2
(3 − x − y) dxdy =
3x − x − xy
=
dx
2
0
y
0
x=y
Z 1 1
1 2
2
dy
3 − − y − 3y − y − y
=
2
2
0
Z 1
Z 1
1
5
1 2
3 2
2
3 − − y − 3y + y + y dy =
=
− 4y + y dy = 1.
2
2
2
2
0
0
Z
V
1
Z
1
Z
1
Las dos integrales son iguales, como debe de ocurrir.
Observe que los distintos órdenes de integración tienen diferentes límites de integración. No solamente se intercambian las integrales para obtener los distintos órdenes de
integración. Es decir, al cambiar el orden de integración los límites de las integrales pueden
cambiar.
Figura 0.12: Volumen bajo el plano z = 3 − x − y, arriba de la región triangular.
El Teorema de Fubini garantiza que una integral doble se puede calcular como una
integral iterada en cualquiera de los dos órdenes de integración, aunque tal vez sea más
sencillo calcular una de las integrales que la otra o incluso no se pueda calcular en un
orden de integración o en ninguno de los dos órdenes de integración, recurriendo en este
último caso a métodos numéricos.
Ejemplo: 8. Integral doble donde se puede integrar en un orden de integración pero no
en el otro. Calcule la integral doble
ZZ
R
sen x
dA,
x
donde R es el triángulo en el plano xy acotado por el eje x, la recta y = x y la recta x = 1.
9
Solución: 8. La región es la misma que el ejemplo anterior. Por lo que las integrales
quedan como
Z 1Z x
Z 1Z 1
sen x
sen x
dydx,
dxdy,
x
x
0
y
0
0
resolviendo la primera integral se tiene
Z 1 Z x
Z 1
Z 1Z x
sen x
sen x iy=x
sen x
y
dydx =
dy dx =
dx
x
x
x y=0
0
0
0
0
0
Z 1
=
sen x dx = − cos x]x=1
x=0 = − cos(1) + 1 ≈ 0.46.
0
Si se intenta calcular la otra integral
Z 1Z
y
0
1
sen x
dxdy,
x
se tiene un problema, ya que primero se tiene que integral con respecto de x y la integral
Z
sen x
dx
x
no tiene una primitiva o antiderivada en términos de funciones elementales. Por lo que no
se puede resolver.
No hay una regla para predecir el orden de integración más adecuado. Si el orden elegido
no funciona, intente con el otro orden.
Ejemplo: 9. Cambio de orden de integración. Trace la región de integración para evaluar
la integral
Z 2 Z 2x
(4x + 2) dydx
0
x2
y escriba y resuelva una integral equivalente con el orden de integración inverso.
Solución: 9. La región de integración es del tipo I y está dada por las desigualdades
0 ≤ x ≤ 2 y x2 ≤ y ≤ 2x. Por lo tanto, la región R está acotada por las curvas y = x2 ,
por abajo, y y = 2x, por arriba, entre x = 0 y x = 1. La región al ser del tipo I está
sombreada de manera vertical, es decir, x es la variable independiente y y la variable
dependiente. Imaginando una recta vertical que pasa por la región, la recta entra en
y = x2 y sale en y = 2x y todas esta rectas varias de x = 0 a x = 2
Figura 0.13: Región 0 ≤ x ≤ 2 y x2 ≤ y ≤ 2x.
10
Para obtener los límites de integración en orden inverso, la región la describimos como
del tipo II, esto es x es la varible dependiente y y la variable independiente. Imaginamos
rectas horizontales que pasen por la región de izquierda a derecha. En este caso, las rectas
entran en y = 2x, que despejando a x se tiene x = y/2 y las rectas salen en y = x2 , es
√
decir, x = y y todas estas rectas varian de y = 0 a y = 4.
Figura 0.14: Región 0 ≤ y ≤ 4 y y/2 ≤ x ≤
√
y.
Entonces la integral es
Z
4
Z
√
y
Z
4
(4x + 2) dxdy =
0
y/2
2x2 + 2x
0
4
√y
y/2
dy
y y 2
√ √ 2
+2
dy
=
2( y) + 2 y − 2
2
2
0
Z 4
Z 4
y2
y2
√
√
=
2y + 2 y −
− y dy =
y+2 y−
dx
2
2
0
0
4
y 2 4 3/2 y 3
16 4
64
32 32
+ y −
=
+ (8) −
=8+
−
=8
=
2
3
6 0
2
3
6
3
3
Z
Es claro que la integral anterior se puede evaluar directamente sin hacer un cambio de
integración, pero algunas integrales iteradas que quizá sea imposible evaluar utilizando un
orden de integración puedan, tal vez, evaluarse utilizando el orden de integración inverso.
RR
2
Ejemplo: 10. Cambio de orden de integración. Evalúe R xey dA sobre la región R en
el primer cuadrante acotado por las gráfica de y = x2 , x = 0, y = 4.
11
(a) Como región del tipo
I.
(b) Como región del tipo II.
Figura 0.15: Región de integración del ejemplo 10.
Solución: 10. Cuando la región R se observa como región del tipo I, se tiene la figura
15a, entonces R se describe como 0 ≤ x ≤ 2, x2 ≤ y ≤ 4; la integral es
ZZ
Z 2Z 4
2
y2
xe dA =
xey dydx
R
0
x2
R4
2
La dificultad de esta integral es que la integral x2 xey dy no puede evaluarse debido a que
2
la función ey no tiene primitiva o antiderivada con funciones elementales con respecto
de y. Ahora bien, al ver a R como región del tipo II, figura 15b, R se describe como
√
0 ≤ y ≤ 4, 0 ≤ x ≤ y, por lo tanto la integral se convierte en
ZZ
Z
y2
4
Z
√
xe dA =
R
Z
y2
xe dxdy =
0
=
y
1 y2
e
4
0
0
4
0
4
x2 y 2
e
2
√ y
Z
dy =
0
0
4
y y2
e dy
2
1
1
= e16 − .
4
4
La integral doble también puede usarse para calcular el área de regiones planas acotadas.
Definición 2. (Área de una región R) Si f (x, y) = 1 entonces la integral doble dará
simplemente el área A = A(R) de la región cerrada y acotada R
ZZ
ZZ
A = A(R) =
1dA =
dA
R
R
Ejemplo: 11. Calcule el área de la región R acotada por y = x y y = x2 en el primer
cuadrante.
Solución: 11. Para describir la región R como región del tipo I en el plano xy se calculan
las intersecciones de las curvas, es decir se igualan las funciones, lo que da x2 = x ⇒
12
x2 − x = 0 ⇒ x = 0 y x = 1. La región R se describe como 0 ≤ x ≤ 1 y x2 ≤ y ≤ x y el
área se calcula como
Figura 0.16: Ejemplo 11, región del tipo I
Z
1
Z
x
dydx
A =
Z
1
Z
x
x2
0
x2 x
x − x2 dx =
−
2
3
0
y]xx2 dx
0
3 1
=
1
Z
dy dx =
=
x2
0
1
Z
=
0
1
6
Esta región R también se puede describir como región del tipo II, para lo cual se despeja
a y para tenerla como variable independiente y x como variable dependiente y se calculan
√
√
las intersecciones ahora de y, entonces x = y y x = y igualando se tiene y = y ⇒ y 2 =
√
y ⇒ y 2 − y = 0 ⇒ y = 0 y y = 1. La región queda descrita como 0 ≤ y ≤ 1 y y ≤ x ≤ y
Figura 0.17: Ejemplo 11, región del tipo II
y el área se calcula como
Z
1
Z
A =
√
y
Z
dxdy
0
Z
=
0
Z
=
√
y
Z
1
dx dx =
y
1
1
0
y
√
x]y y dy
0
2 1
y
2
√
( y − y) dy = y 3/2 −
3
2
=
0
1
6
Ejemplo: 12. Calcule el área de la región R encerrada por la parábola y = x2 y la recta
y = x + 2.
Solución: 12. Describiendo la región R como del tipo I se tiene
13
Figura 0.18: Ejemplo 12, región del tipo I
−1 ≤ x ≤ 2 y x2 ≤ y ≤ x + 2. El área se calcula como
Z 2 Z x+2 Z 2 Z x+2
dy dx
dydx
=
A =
−1
Z
−1
2
=
−1
=
x2
(x + 2) − x2 dx =
Z
x2
x+2−x
2
=
−1
2
−1
Z
2
y|x+2
x2 dx
x2
x3
dx =
+ 2x −
2
3
2
−1
9
2
Si la región R se describe como región del tipo II, la región R se tiene que dividir en dos
regiones que no se traslapen y el área se calcula con la suma de dos integrales.
Figura 0.19: Ejemplo 12, región del tipo II
La región R se describe como la unión de las regiones R1 (en azúl) y R2 (en amarillo).
Como se quiere que y sea la variable independiente y x la dependiente, entonces de las
√
√
ecuaciones se despeja x quedando x = y − 2 y x = ± y, donde x = − y corresponde a la
√
parte izquierda de la parábola y x = y a la parte derecha de la parábola. Encontrando la
√
intersección de las curvas con respecto a y se tiene que y −2 = ± y, elevando al cuadrado
se obtiene (y − 2)2 = y, simplificando y 2 − 5y + 4 = 0, factorizando (y − 1) (y − 4) = 0
por lo que las intersecciones son y = 1 y y = 4. La región R1 se describe como 0 ≤ y ≤ 1
√
√
√
y − y ≤ x ≤ y y la región R2 es 1 ≤ y ≤ 4 y y − 2 ≤ x ≤ y, entonces el área se
calcula como
ZZ
ZZ
Z 1 Z √y
Z 4 Z √y
9
A=
dA +
dA =
dxdy +
dxdy =
√
2
R1
R2
0
− y
1
y−2
Aunque cualquier región R se puede describir como región del tipo I o tipo II, hay que
saber decidir cuál es el orden que mejor conviene.
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El valor promedio de una función integrable de una variable en un intervalo cerrado es
la integral de la función en el intervalo, dividida entre la longitud del intervalo. Para una
función integrable de dos variables, definida en una región acotada en el plano, el valor
promedio es la integral de la función sobre la región dividida entre la región. Por ejemplo,
si f es la temperatura de una placa delgada que cubre a R, entonces, la integral doble de
f dividida entre el área de R es la temperatura promedio de la placa.
Definición 3. (Valor promedio) El valor promedio de una función f integrable sobre
una región R es
ZZ
1
Valor promedio de f sobre R =
f (x, y)dA
área de R R
Ejemplo: 13. Valor promedio. Calcule el valor promedio de f (x, y) = x cos(xy) sobre el
rectángulo R: 0 ≤ x ≤ π, 0 ≤ y ≤ 1.
Solución: 13. La integral de f sobre R es
Z π
Z π
Z πZ 1
1
x cos(xy)dydx =
sen(xy)]0 =
(sen(x) − 0)dx
0
0
0
Z
=
0
π
sen(x)dx = − cos(x)]π0 = 1 + 1 = 2.
0
El área de R es A(R) =
2/π.
RπR1
0
0
dydx = π. Por lo tanto, el valor promedio de f sobre R es
Figura 0.20: Valor promedio de la función f (x, y) = x cos(xy) sobre la región R.
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