ejercicios resueltos

FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS DE LA INGENIERÍA
Ingeriería Técnica Industrial. Especialidad en Mecánica.
Boletin 7. Integración Múltiple
Curso 2003-2004
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Calcular las siguientes integrales iteradas:
Z 2 Z √4−y2
Z 1 Z √1−x2
2
p
(x + y)dydx.
(b)
dxdy.
(a)
4 − y2
0
0
0
0
Solución:
¸√1−x2
¶
·
Z 1µ
√
1 − x2
y2
2
(x + y)dydx =
dx =
dx =
(a)
xy +
x 1−x +
2 0
2
0
0
0
0
1
 q
µ
¶
3
(1 − x2 )3 1
x
 = 2.
+
x−
= −
3
2
3
3
0
#√4−y2
Z 2 Z √4−y2
Z 2"
Z 2 p
Z 2
2x
2
2 4 − y2
p
p
p
(b)
dxdy =
dy =
dy =
2dy = 4.
4 − y2
4 − y2 0
4 − y2
0
0
0
0
0
Z
1
Z
√
1−x2
Z
1
2. Dibuja la región R cuya área representa la integral iterada. Calcular dicha área, cambiando previamente
el orden de integración.
Z 2Z x
Z 4 Z 4−x
Z 1 Z √y
dxdy.
(b)
dydx +
dydx.
(a)
y2
0
Solución:
Z 1Z
(a)
0
0
2
0
¸1
·
¡√
¢
2 √ 3 x3
1
x − x2 dx =
x −
= .
3
3 0 3
0
y2
0
x2
0
0
Z 4 Z 4−x
Z 2 Z 4−y
Z 2
Z 2
Z 2Z x
¤2
£
dydx +
dydx =
dxdy =
[x]4−y
dy =
(4 − 2y) dy = 4y − y 2 0 = 4.
(b)
y
0
√
y
dxdy =
0
Z
1
Z
2
√
x
dydx =
Z
0
1
√
x
[y]x2 dx =
0
Z
1
y
0
0
3. Usar una integral iterada para calcular el área de la región acotada por las gráficas de 2x − 3y = 0, x + y =
5, y = 0.
Solución:
Z 2 Z 5−y
Z
A=
dxdy =
3y
2
0
2
5−y
[x] 3y dy =
2
0
Z
¶
·
¸2
µ
5y 2
3y
dy = 5y −
5−y−
= 5.
2
4 0
0
2
También puede hacerse integrando primero respecto de y y después respecto de x. En este caso hay que
hacer dos integrales.
Z 3 Z 2x
Z 5 Z 5−x
3
A=
dydx +
dydx = 5.
0
0
3
0
4. Para calcular las siguientes integrales iteradas es necesario cambiar previamente el orden de integración:
Z 2Z 2 p
Z 1Z 1
(a)
x 1 + y 3 dydx
(b)
sen x2 dxdy.
0
x
0
y
Solución:
Z 2Z 2 p
Z 2Z y p
Z
(a)
x 1 + y 3 dydx =
x 1 + y 3 dxdy =
0
x
0
0
¸2
· q
Z
1 2 2p
26
1
=
y 1 + y 3 dy =
(1 + y 3 )3 =
.
2 0
9
9
0
1
2
0
·
x2 p
1 + y3
2
¸y
0
dy =
2
Boletín 7. Ejercicios Resueltos. Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería Mecánica. Curso 2003-04
(b)
Z
1
0
Z
1
2
sen x dxdy =
y
1
(1 − cos 1) .
2
Z
Z
1
0
x
2
sen x dydx =
0
Z
1
0
£
¤x
y sen x2 0
dx =
Z
1
x sen x2 dx =
0
¤1
1£
− cos x2 0 =
2
5. Realizar un esbozo de la región R y calcular la integral doble :
ZZ
√
xdA y R: es el sector circular en el primer cuadrante acotado por y = 25 − x2 , 3x − 4y =
(a)
R
0, y = 0.
ZZ
√
(b)
(x2 + y 2 )dA y R: es el semicírculo acotado por y = 4 − x2 , y = 0.
R
Solución:
Z √25−y2
¶
Z µ
£ 2 ¤√25−y2
1 3
16
x 4y
dy =
25 − y 2 − y 2 dy =
4
3
2 0
9
R
0
0
3y
µ
¶
¶3
Z 3µ
25
1
1
25
= 25.
=
y − y3
1 − y 2 dy =
2
9
2
27
0
0
¶√4−x2
Z 2 Z √4−x2
Z 2µ
ZZ
3
y
x2 y +
(x2 + y 2 )dA =
(x2 + y 2 )dydx = 2
dx
(b)
3 0
R
0
−2
0
!
!
Ã
Ã
√
√
¡
¢
¢
¡
Z 2
Z 2
√
4 − x2 4 − x2
4 − 2x2 4 − x2
=2
dx = 2
dx = ... Por este camino
x2 4 − x2 +
3
3
0
0
salen integrales complicadas. Ahora habría que hacer el cambio x = 2 sen t. Es aconsejable hacerlo
en coordenadas polares.
ZZ
Z πZ 2
Z πZ 2
Z π h i2
Z π
r4
(x2 + y 2 )dA =
r2 rdrdθ =
r3 drdθ =
dθ
=
4
dθ = 4π.
4
(a)
ZZ
xdA =
Z
3
xdxdy =
0
R
1
2
Z
0
3
0
0
0
0
0
6. Calcular el volumen del sólido acotado por las gráficas de las ecuaciones:
(a) z = xy, z = 0, y = x, x = 1, primer octante.
(b) x2 + z 2 = 1, y 2 + z 2 = 1, primer octante.
Solución:
¸
· 4 ¸1
1
x
x3
dx =
(a) V =
xydydx =
dx =
=
2
8
8
0
0
0
0
o
0
¸1
·
Z 1
Z 1
Z 1Z x
q
√
√
£ √
¤x
2
2
3
y 1 − x2 0 dx = 2
1 − x2 dydx = 2
x 1 − x2 dx = −
(1 − x2 )
= .
(b) V = 2
3
3
0
0
0
0
0
Z
1
Z
Z
x
1
·
xy 2
2
¸x
Z
1
·
7. Calcular las siguientes integrales dobles, pasando previamente a coordenadas polares.
(a)
(b)
Z
Z
2
0
2
0
Z
Z
√
2x−x2
xydydx
0
x
0
Solución:
(a)
Z
2
0
=4
Z
Z
√
2x−x2
xydydx =
0
π
2
0
√
2 2
Z
p
2
2
x + y dydx +
Z
2
π
2
0
Z
Z
√
8−x2
0
p
x2 + y 2 dydx.
2 cos θ
r3 cos θ sen θdθ =
0
Z
π
2
cos θ sen θ
0
µ
¸π
¶
·
2
2
2 cos6 θ 2
= .
cos θ sen θdθ = −
=0− −
3
3
3
0
5
·
r4
4
¸2 cos θ
0
dθ =
3
Boletín 7. Ejercicios Resueltos. Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería Mecánica. Curso 2003-04
(b)
Z
2
Z
x
√0 0
4 2π
.
3
Z
p
x2 + y 2 dydx +
√
2 2
2
Z
√
8−x2
0
Z
p
x2 + y 2 dydx =
π
4
0
Z
√
2 2
2
r drdθ =
0
Z
π
4
0
·
r3
3
¸2√2
dθ =
0
8. Calcular el volumen del sólido acotado por las gráficas de las ecuaciones
p
(a) z = x2 + y 2 , z = 0, x2 + y 2 = 25.
(b) z = ln(x2 + y 2 ), z = 0, x2 + y 2 ≥ 1, x2 + y 2 ≤ 4.
Solución:
ZZ
Z
Z
√
25−x2
p
x2 + y 2 dydx. En cartesianas es muy difícil. Lo calculamos uti0
D
0
Z 5 Z √25−x2 p
Z 2π Z 5
ZZ
2
2
zdA = 4
x + y dydx =
rrdrdθ =
lizando coordenadas polares. V =
0
0
0
D
0
Z 2π
Z 2π · 3 ¸5
125
250π
r
dθ =
dθ =
.
3
3
3
0
0
0
Z 2 Z √4−x2
ZZ
zdA = 4
ln(x2 + y 2 )dydx. En cartesianas es muy difícil. Lo calculamos uti(b) V =
√
D
1−x2
1
ZZ
Z 2 Z √4−x2
Z 2π Z 2
2
2
lizando coordenadas polares. V =
zdA = 4
ln(x +y )dydx =
ln(r2 )rdrdθ =
√
1
0
1
D
1−x2
Z 2π Z 2
ln(r)rdrdθ =
2
0
1
¸2
¶ Z 2π
¶
µ
µ
Z 2π · 2
3
3
r2
r
.
=2
dθ = 4 ln 2 −
dθ = 2π 4 ln 2 −
ln r −
2
4 1
2
2
0
0
p
9. Calcular el volumen del sólido que es interior al hemisferio z = 16 − x2 − y 2 y al cilíndro x2 +y 2 −4y = 0.
(a) V =
zdA = 4
5
Solución:
Puede hacerse utilizando integrales dobles o triples. El resultado será el mismo.
(a) Utilizando integrales dobles.
Z 4 Z √4y−y2 p
ZZ
zdA = 2
16 − x2 − y 2 dxdy. Es complicado hacerlo en coordenadas carteV =
D
0
0
sianas. Pasamos a coordenadas polares.
ZZ
Z 2 Z √4y−y2 p
Z π2 Z 4 sen θ
√
2
2
V =
zdA = 2
16 − x − y dxdy = 2
r 16 − r2 drdθ =
D
0
0
0
0
4 sen θ
 ¡
3
¢
π
Z
Z π2
i
¢3
− 16 − r2 2
2 2 h¡
3


=2
16 − 16 sen2 θ 2 − 16 2 dθ =
dθ = −
3
3 0
0
2
= − 43
3
Z
0
π
2
0
¡
·
¸ π2
sen3 θ
128
128 3π − 4
64
sen θ −
cos θ − 1 dθ = −
=
−1
=
(3π − 4)
3
3
3
6
9
0
¢
3
(b) Utilizando integrales triples.
ZZZ
Z 4 Z √4y−y2 Z √16−x2 −y2
V =
dV = 2
dzdxdy. Es complicado en cartesianas.
Q
0
0
0
Cambiando a coordenadas cilindricas
tenemos:
ZZZ
Z π2 Z 4 sen θ Z √16−r2
Z
V =
dV = 2
rdzdrdθ = 2
Q
0
0
0
salen las mismas cuentas que antes.
π
2
0
Z
4 sen θ
0
√
r 16 − r2 drdθ. a partir de aquí
4
Boletín 7. Ejercicios Resueltos. Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería Mecánica. Curso 2003-04
10. Determinar a, de modo que el volumen interior al hemisferio z =
x2 + y 2 = a2 sea la mitad del volumen de hemisferio.
Solución:
p
16 − x2 − y 2 y exterior al cilindro
Llamamos VH al volumen del hemisferio y V e al volumen exterior.
1 4 3 128π
VH =
π4 =
(Puede calcularse con integrales pero no es necesario)
23
3
Z π2 Z 4 Z √16−r2
Z π2 Z 4
ZZZ
√
¢3 i π
4 h¡
16 − a2 2
dV = 4
rdzdrdθ = 4
r 16 − r2 drdθ =
.
Ve=
3
2
a
a
Q
0
0
0
1
Como V e = VH , obtenemos que
2
¡
¢3 i π
¢3
2
4 h¡
128π
16 − a2 2
=
⇒ 16 − a2 2 = 32 ⇒ 16 − a2 = (32) 3
3
2
6
q
2
2
⇒ a2 = 16 − 8 (2) 3 ⇒ a = 16 − 8 (2) 3 .
11. Calcular las siguientes integrales triples:
Z 9Z
Z 1 Z x Z xy
x dz dy dx
(b)
(a)
0
0
0
0
y/3
0
Z √y2 −9x2
z dz dx dy.
0
Solución:
Z 1 Z x Z xy
Z 1Z x
Z 1Z x
xy
(a)
x dz dy dx =
[xz]0 dydx =
x2 ydydx
0
0
0
0
0
0
0
Z
Z
1 1 4
1 £ 5 ¤1
1
1 1 £ 2 2 ¤x
x 0=
x y 0 dx =
x dx =
=
.
2 0
2 0
10
10
√
Z Z
Z
Z 9 Z y/3 Z y2 −9x2
√
1 9 y/3 £ 2 ¤ y2 −9x2
1
z 0
z dz dx dy =
dxdy =
(b)
2
2
0
0
Z0
Z 9 · 3 0 03 ¸
£
¤
¤
1
1 9£ 2
1
729
y
y
y/3
9
dy =
y4 0 =
=
y x − 3x3 0 dy =
−
.
2 0
2 0 3
9
36
4
12. Esbozar la región sólida cuyo volumen representa la integral triple
reescribirla en el orden que se indica dz dx dy.
Solución:
Z 4 Z √16−x2 Z
0
0
10−x−y
dz dy dx =
0
Z
4
0
Z √16−y2 Z
0
Z
4
0
9
0
Z
Z
y/3
0
¡ 2
¢
y − 9x2 dxdy
√
16−x2
0
Z
10−x−y
dz dy dx y
0
10−x−y
dz dx dy
0
13. Calcular el volumen del sólido acotado por las gráficas de las ecuaciones:
(a) z = 9 − x2 − y 2 , z = 0
(b) z = 4 − x2 , y = 4 − x2 , primer octante.
Solución:
(a) V =
ZZZ
dV =
Q
Z
3
−3
Z
√
9−x2
√
− 9−x2
Z
9−x2 −y2
dzdydx. La integral en coordenadas cartesianas es difícil.
0
La hacemos en coordenadas cilíndricas.
¸3
Z 2π · 2
Z 2π Z 3 Z 9−r2
Z 2π Z 3
ZZZ
¡
¢
r4
9r
9r − r3 drdθ =
dV =
rdzdrdθ =
dθ =
V =
−
2
4 0
Q
0
0
0
0
0
0
Z
81π
81 2π
dθ =
.
4
2
0
Z 2 Z 4−x2 Z 4−x2
Z 2 Z 4−x2
Z 2 Z 4−x2
ZZZ
¡
¢
4−x2
4 − x2 dydx
dV =
dzdydx =
[z]0
dydx =
(b) V =
=
Z
Q
2
0
0
0
¡
¢
2
4 − x2 [y]4−x
dx =
0
Z
0
2
0
¡
¢2
4 − x2 dx =
Z
0
2
0
0
0
¸2
·
¡
¢
8x3 x5
256
16 − 8x2 + x4 dx = 16x −
=
+
.
3
5
15
0
0
5
Boletín 7. Ejercicios Resueltos. Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería Mecánica. Curso 2003-04
14. Pasar la integral a coordenadas cilíndricas y a coordenadas esféricas. Evaluar la que resulte más sencilla:
Z 4 Z √16−x2 Z √16−x2 −y2 p
Z a Z √a2 −x2 Z a+√a2 −x2 −y2
(a)
x2 + y 2 dz dy dx
(b)
x dz dy dx.
√
0
0
Solución:
(a) a.1.) Coordenadas cilíndricas
Z 4 Z √16−x2 Z √16−x2 −y2 p
Z
2
2
x + y dz dy dx =
0
0
− a2 −x2
−a
0
Z
π
2
0
0
4
0
a
√
16−r2
Z
rrdzdrdθ =
0
Z
Z
π
2
0
4
0
Z
√
16−r2
r2 dzdrdθ.
0
a.2.) Coordenadas esféricas
Z 4 Z √16−x2 Z √16−x2 −y2 p
Z π2 Z π2 Z 4
2
2
x + y dz dy dx =
ρ sen φρ2 sen φdρdφdθ =
0
0
0
0
0
0
Z π Z π2
Z π2 Z π2 Z 4
Z π2 Z π2
£ 4 ¤4
1 2
3
2
2
=
ρ sen φdρdφdθ =
sen φ ρ 0 dφdθ = 64
sen2 φdφdθ =
4 0 0
0
0
0
0
0
¸π
Z π2 ·
Z π2
φ sen 2φ 2
= 64
dθ = 16π
dθ = 8π2
−
2
4
0
0
0
(b) b.1.) Coordenadas cilíndricas
Z a Z √a2 −x2 Z a+√a2 −x2 −y2
=
√
a
− a2 −x2
−a
Z 2π Z a Z √a2 −r2
0
Z
2π
0
k=
√
− a2 −x2
Z
Z
π
4
0
π
4
0
Z
Z
2π
0
Z
a
0
√
a2 −r2
Z
r cos θrdzdrdθ =
a
r2 cos θdzdrdθ
a
0
b.2.) Coordenadas esféricas
Z a Z √a2 −x2 Z a+√a2 −x2 −y2
−a
x dz dy dx =
Z
x dz dy dx =
a
2a cos φ
3
2
ρ sen φ cos θdρdφdθ =
a
cos φ
2a cos φ
Z
Z
2π
0
2π
0
Z
π
4
0
Z
2a cos φ
ρ sen φ cos θρ2 sen φdρdφdθ =
a
cos φ
2π
k cos θdθ = k [− sen θ]0
= 0. Donde hemos puesto
ρ3 sen2 φdρdφ, que no depende de θ.
a
cos φ
15. Hallar el volumen del sólido interior a la esfera x2 + y 2 + z 2 = 4 y por encima del cono x2 + y 2 − z 2 = 0.
Solución:
(a) Coordenadas cilíndricas V =
Z
2π
Z
√
2
Z
√
4−r2
ZZZ
Z
dV =
Q
2π
Z
√
2
Z
√
2
√
− 2
Z
√
2−x2
√
− 2−x2
Z √4−x2 −y2
√
dzdydx =
x2 +y 2
¡√
¢
4 − r2 − r drdθ =
r
0
0
0
0
Ã
√ ! Z 2π
√ !
¸√2
Z 2π ·
q
8
16π
2
2
1
−1
3
(4 − r2 ) − r3
dθ =
dθ =
1−
1−
=
3
3
3
2
3
2
0
0
0
Z
Z
ZZZ
Z 2π Z π4 Z 2
8 2π
(b) Coordenadas esféricas V =
dV =
ρ2 sen φdρdφdθ =
3 0
Q
0
0
0
Ã
√ !
Z 2π
π
16π
2
8
[− cos φ]04 dθ =
1−
.
3 0
3
2
=
rdzdrdθ =
r
Ã
π
4
sen φdφdθ =
0
16. Calcular el volumen del sólido comprendido entre las esferas x2 + y 2 + z 2 = 4 y x2 + y 2 + z 2 = 9 e interior
al cono x2 + y 2 − z 2 = 0.
Solución:
ZZZ
Z
V =
dV = 2
Q
2π
0
Z
π
4
0
Z
3
ρ2 sen φdρdφdθ =
2
38
3
Z
2π
0
Z
π
4
sen φdφdθ =
0
6
Boletín 7. Ejercicios Resueltos. Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería Mecánica. Curso 2003-04
8
3
Z
2π
0
76π
[− cos φ]0 dθ =
3
π
4
Ã
√ !
2
1−
.
2
17. Calcular el volumen del sólido comprendido entre las gráficas de z = x + y, z = 0, y = x, x = 0 y x = 3.
Solución:
ZZZ
V =
dV =
Q
1 £ 3 ¤3 27
x 0=
.
2
2
Z
3
0
Z
x
0
Z
x+y
dzdydx =
0
Z
3
0
Z
x
(x + y) dydx =
0
Z
¸x
·
Z
y2
3
xy +
dx =
2 0
2
0
3
3
x2 dx =
0
18. Calcular el volumen del sólido acotado por la gráficas z = 0 y z = 3, exterior al cilindro x2 + y 2 = 1 e
interior al hiperboloide x2 + y 2 − z 2 = 1.
Solución:
ZZZ
Z
V =
dV =
Q
2π
0
Z
√
10
1
Z
3
√
r2 −1
rdzdrdθ =
√
q
 10
3
Z
Z 2π
2
2
(r − 1)
45

 3r +
dθ =
.
=
2
3
2
0

1
Z
2π
0
Z
√
10
1
2π
dθ = 45π.
0
√
¡
¢
3r − r r2 − 1 drdθ =