Diferenciabilidad de funciones de dos variables

Diferenciabilidad de funciones de dos variables
1.- Sea z = f(x,y) una función real de variable real, se verifica que:
… a) Si f admite derivada direccional en un punto P 0 en cualquier dirección, entonces f
es diferenciable en P0.
X b) Si f es diferenciable en P0, entonces f es continua en P0.
… c) Si f es continua en P 0, entonces f adm ite derivada direccional en P 0 en cualquier
dirección.
⎧ x = sent
es la ecuación de una curva
⎩ y = cos t
dz
plana contenida en Domz, entonces la derivada
(de la función a lo largo de la curva)
dt
2.- Sea la s uperficie de ecuación z = x 2y2. Si ⎨
es:
X a) sen(2t) cos(2t).
… b) 4sent cost.
… c) 0.
3.- Si una f unción z = f(x, y) ti ene plano tangente en un punto (a, b ) ∈ R 2 , puede
asegurarse que:
X a) f es diferenciable en (a, b).
□ b) f es una función acotada en R 2 .
□ c) Las derivadas parciales de f son continuas en (a, b).
4.- Sea una función z = f(x,y). La derivada parcial de f respecto de
x en un punto
cualquiera (x, y), cuando existe, es:
‰ a) lím f ( x + h, y ) .
h →0
f ( x + h, y ) − f ( x, y )
h→0
h
f ( x , y + h ) − f ( x, y )
c) lím
h→0
h
X b) lím
‰
5.- Sea F(x, y, z) = 0 una expresión algebraica que define de forma implícita la función
→
z = f(x, y). Entonces, el vector gradiente ∇f viene dado por:
⎛ ∂ F ∂ F ∂ F⎞
⎟⎟
,
,
a) ⎜⎜
⎝∂ x ∂ y ∂z⎠
∂F⎞
⎛ ∂F
⎟
⎜
∂y⎟
∂
x
⎜
X b) −
, −
⎜ ∂F
∂F⎟
⎟
⎜
∂z⎠
⎝ ∂z
⎛∂F ∂F⎞
⎟
⎜
∂y⎟
∂
x
⎜
c)
,
⎜∂F ∂F⎟
⎟
⎜
⎝ ∂z ∂z⎠
6.- Sea z = f(x, y) una funci
ón diferenciable en un punto
(x 0 , y 0 )
de su dom inio
D ⊂ R 2 , se verifica, entonces, que:
Unidad docente de Matemáticas
1
→
X a)
lim
f (x, y ) − f (x 0 , y 0 ) − ∇f (x 0 , y 0 )(x − x 0 , y − y 0 )
(x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 )2
( x , y )→( x 0 , y 0 )
=0
→
b) f (x , y ) = f (x 0 , y 0 ) + ∇f (x 0 , y 0 )(x − x 0 , y − y 0 )
c) Ninguna de las anteriores.
7.- Sea la función z = xy y el cambio de variables x = 2 sent , y = cos t , entonces:
dz
= 2y cost – x sent = 2 cos(2t).
X a)
dt
dz
b)
= 2y sent – x cost = 0.
dt
dz
= cos(2t).
c)
dt
8.- La expresión z = x − y − z define a z como función implícita de x e y. La derivada
parcial de z respecto de x en el punto (1, -1) vale:
1
a)
2
1
b) −
3
1
X c)
3
9.- ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es la verdadera?
a) Una función z = f(x, y) puede ser diferenciable en un punto y no ser continua en él.
X b) Una función z = f(x, y) puede tener derivadas direccionales en un punto y no ser
continua en él.
c) Una función z = f(x, y) puede ser diferenciable en un punto y no tener derivadas
parciales en él.
10.- Sea N el núm ero de alum nos matriculados en una Universidad, p el cos te de
mantenimiento y t el coste de la m atrícula. Supongamos que N es una función de p y t
∂N
∂N
tal que
<0 y
< 0 . ¿Qué se puede concluir del hecho de ser am bas derivadas
∂p
∂t
parciales negativas?
X a) N disminuye al aumentar p y t.
b) N disminuye al disminuir p y t.
c) N aumenta al aumentar p y t.
11.- La ecuación x 2 z 2 − xyz 3 = 0 define a z como función implícita de x e y. La curva
de nivel para z = 1 es:
a) Una parábola.
b) Una hipérbola.
X c) Dos rectas secantes.
12.- La función f (x, y ) = e − xy verifica:
a) Es creciente en x para cada y > 0 fijo.
X b) Es decreciente en x para cada y > 0 fijo.
c) Sus curvas de nivel son elipses.
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2
13.- Sea z= f(x,y) una función diferenciabl e. Con el cam bio a coordenadas polares
⎧ x = rsenα
, se verifica que:
⎨
⎩ y = r cos α
∂z
∂x
∂y
a)
= − rsenα
+ r cos α
∂α
∂α
∂α
∂z
∂z
∂z
b)
= cos α
+ s enα
∂r
∂x
∂y
X c) Ninguna de las anteriores.
14.- Sea z=f(x,y) una función real de dos variables reales, se verifica:
X a) Si f es diferenciable en un punto P, entonces f es derivable en cualquier dirección y
es continua en P.
b) Si f es continua en un punto P y existen las derivadas parciales de f en dicho punto,
entonces f es diferenciable en P.
c) La existencia de derivadas parciales de f en P ⇒ f es continua en P ⇒ f es
diferenciable en P.
15.- Si y2-x=1 es una curva de nivel de la superficie z=f(x,y), se verifica:
X a) Los puntos de la parábola de vértice (-1,0) y el eje OX tienen igual cota.
b) f(x,y)=1 para cualquier punto ( x, y ) ∈ Domf .
c) Ninguna de las anteriores.
16.- Sea z = f(x,y) una función real de variable real, se verifica que:
∂f
∂f
a) f es c ontinua en (a,b) ⇒ Existen
( a, b ) y ( a, b ) ⇒ f es diferenciab le en
∂x
∂y
(a,b).
∂f
∂f
X b) f es diferenciable en (a,b) ⇒ f es continua en (a,b) y existen
( a, b ) y ( a, b ) .
∂x
∂y
c) Ninguna de las anteriores.
17.- Sea z=f(x,y) una función real de dos variables reales. Se verifica:
a) Si f es continua en un punto P, entonces admite derivada direccional en P en
cualquier dirección.
b) Si f admite derivadas direccionales en P en cualquier dirección, entonces f es
continua en P.
X c) Si f es diferenciable en P, entonces, en dicho punto f es continua y admite
derivadas direccionales en cualquier dirección.
18.- Sea z= f(x,y) una superficie
cualquiera diferenciable en P 0(x0,y0,z0), y sea
P1(x1,y1,z1) otro punto de dicha superficie próximo a P0. Entonces:
JJG
JJJJG
a) Δz = f (P1 ) − f (P0 ) ≈ ∇f ( P1 ) ⋅ P0 P1
JJG
JJJJG
X b) Δz = f (P1 ) − f (P0 ) ≈ ∇f ( P0 ) ⋅ P0 P1
c) Δz = f (P1 ) − f (P0 ) = df PJJJJGP ( P0 )
0 1
19.- La ecuación del plano tangente a una superficie z=f(x,y) en un punto P 0=(3,4,-5) de
JJG
la misma, sabiendo que ∇f ( P0 ) = (1, 2) , es:
a) x+2y+z-16=0.
X b) x+2y-z-16=0.
c) x+2y-z-6=0.
20.- La derivada direccional de un a función z= f(x,y) en un punto P
G
dirección de un vector u se obtiene mediante la expresión:
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(x0,y0) y en l a
3
JJG
G
a) ∇f ( P ) ⋅ u
G
JJG
u
X b) ∇f ( P ) ⋅ G
u
JJG
∇f ( P ) G
c) JJG
⋅u
∇f ( P )
21.- Sea z=f(x,y) una función real de dos variables reales. Se verifica:
a) f continua ⇒ f diferenciable ⇒ f derivable en cualquier dirección.
X b) f diferenciable ⇒ f derivable en cualquier dirección y f continua.
c) f continua ⇒ f derivable en cualquier dirección ⇒ f diferenciable.
22.- Sea z= f(x,y) una función continua en (x 0,y0) y que admite derivadas parciales en
dicho punto. Se verifica:
a) f es diferenciable en (x0,y0).
b) Existe el plano tangente en (x0,y0,z0) y su ecuación es
⎛ ∂f ⎞
⎛ ∂f ⎞
z − z0 = ⎜ ⎟
( x − x0 ) + ⎜ ⎟
( y − y0 )
⎝ ∂x ⎠( x 0 ,y0 )
⎝ ∂y ⎠( x 0 ,y0 )
X c)
lim
( x,y )→( x 0 ,y0 )
f ( x, y ) = f (x 0 , y 0 )
ex + y
G
, y sea u = ( 2, 0 ) . La derivada direccional de f en el punto (0,0)
x
1+ e
G
según la dirección de u vale:
a) 1/2
X b) 1/4
c) ¾
24.- Sea z= f(x,y) una función real de dos
variables reales. Señ alar cuál de las
afirmaciones siguientes es FALSA:
∂f
∂f
X a) f es continua en (a,b) ⇒ Existen
( a, b ) y ( a, b ) ⇒ f es di ferenciable en
∂x
∂y
(a,b).
∂f
∂f
b) f es diferenciable en (a,b) ⇒ f es continua en (a,b) y existen
( a, b ) y ( a, b ) .
∂x
∂y
∂f
∂f
c)
y
continuas en (a,b) ⇒ f es diferenciable en (a,b).
∂y
∂x
25.- ¿Cuál de las siguientes in terpretaciones geométrica es FALSA para una función
z=f(x,y)?
a) Si f es diferenciable en (a,b), entonces , existe el plano ta ngente en dicho punto y
está próximo a f(x,y) en un entorno de (a,b).
∂f
b) La derivada direccional G ( a, b ) muestra cómo varía la función f a lo largo de la
∂u
G
recta que pasa por (a,b) y tiene la dirección del vector u .
X c) El gradiente de f en (a,b) es un vector paralelo a la curva de nivel que pasa por
dicho punto.
26.- Sea z=f(x,y) una función que cumple las hipótesis del teorema de Swartz NO
podemos afirmar que:
a) f es diferenciable.
23.- Sea z=f(x,y)=
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4
b f xy'' − f yx'' = 0
∂2f ∂2f
+
=0
∂x 2 ∂y 2
27.- Sea z = f(x, y) una función diferenciable en un punto P (x 0 , y 0 ) ∈ Domf , entonces:
X c)
→
X a)
lim
f ( x, y ) − f ( x 0 , y 0 ) − ∇f ( P )( x − x 0 , y − y 0 )
( x,y )→( x 0 ,y0 )
( x − x0 )
2
+ ( y − y0 )
2
=0
b) Existen las derivadas parciales de la función y son continuas.
c) el plano tangente a la función en P es perpendicular al eje z.
28.- Si la ecuación F(x,y,z)=0 define a z como función implícita de x e y, entonces:
∂z ∂F / ∂x
∂z ∂F / ∂y
a)
y
=
.
=
∂y ∂F / ∂z
∂x ∂F / ∂z
∂z
∂F / ∂x
∂z
∂F / ∂y
y
=−
.
X b)
=−
∂F / ∂z
∂x
∂F / ∂z ∂y
∂z
∂F / ∂z
∂z
∂F / ∂z
c)
y
=−
.
=−
∂F / ∂y
∂x
∂F / ∂x ∂y
29.- Sea z = f(x, y) una función que adm ite derivada direccional en cualquier dirección
en un punto P. Entonces, la dirección de máximo crecimiento de f en P viene dada por:
→
⎛∂z
(P ), ∂ z (P )⎞⎟⎟
X a) u = ⎜⎜
∂y ⎠
⎝∂x
→
⎛ ∂z
(P ), ∂ z (P )⎞⎟⎟
b) u = ⎜⎜ −
∂x ⎠
⎝ ∂y
→
⎛ ∂z
(P ), − ∂ z (P )⎞⎟⎟
c) u = ⎜⎜ −
∂y ⎠
⎝ ∂x
30.- Cuando existe la derivada direccional en un punto P de una superficie z = f(x, y), se
→
verifica que es máxima en la dirección del gradiente ∇f (P) y
→
→
a) su valor es ∇f (P) y es nula en la dirección opuesta - ∇f (P) .
→
→
X b) su valor es ∇f (P) y es mínima en la dirección opuesta - ∇f (P) con valor
→
- ∇f ( P ) .
c) su valor coincide con él.
31.- ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es la verdadera?
a) Una función z = f(x, y) puede ser diferenciable en un punto y no ser continua en él.
X b) Una función z = f(x, y) puede tener derivadas direccionales en un punto y no ser
continua en él.
c) Una función z = f(x, y) puede ser diferenciable en un punto y no tener derivadas
parciales en él.
G
32.- Sea z = f(x, y) una función con derivadas parciales continuas en P y sea u un
vector unitario de R2, entonces:
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5
→
G
a) El valor de la derivada direccional f ’(P, u ) es ∇f (P ) .
G →
G
b) Si u ⊥ ∇f (P ) , el valor de la derivada direccional f ’(P, u ) es mínimo.
→
G
G
X
c) Si u ⏐⏐ ∇f (P ) , el valor de la derivada direccional f ’(P, u ) es, o bien
máximo, o bien mínimo.
33.- Sea z = f(x, y) una función diferenciable en P. Entonces:
→
X a) Existe ∇f (P )
b) f posee derivadas parciales continuas en P.
c) f xy (P ) = f yx (P )
34.- Sea z = f(x,y) una función diferenciable con gradiente no nulo en un punto
G
P(a,b)∈Domf. La derivada direccional de f en P y en la dirección de un vector u es
nula si verifica:
JJJJJJG G
‰ a) Los vectores ∇f ( P) y u son paralelos.
JJJJJJG G
X
b) ∇f ( P ) ⊥ u .
JJJJJJG G
‰ c) Los vectores ∇f ( P) y u son unitarios.
35.- Sea z = f(x,y) una función con derivadas parciales continuas hasta el orden 3 en un
punto P0. Se verifica que:
a) f es diferenciable en P0.
X
‰
b) f xx ( P0 ) = f yy ( P0 ) .
‰
c) f puede ser discontinua en P0.
G
36.- Si u es tangente a la curva de nivel en un punto P de una superficie diferenciable
z = f ( x, y ) , entonces
JJJJJJG G
X a) ∇f ( P)·u = 0
JJJJJJG G
‰ b) ∇f ( P)·u = 1
JJJJJJG G
‰ c) ∇f ( P) y u son paralelos
37.- Sea z = f (x, y) una función diferenciable en el punto P(a, b). Se verifica que:
→
→
X a) Si ∇f (a , b ) = 0 , entonces la derivada direccional de f en P en cualquier dirección
vale 0.
→
b) La dirección de la curva de nivel en P es la del vector ∇f (a , b ) .
c) Ninguna de las anteriores.
38.- Sea z = f(x,y) una función con derivadas parciales continuas en P(x 0,y0), entonces,
la dirección de la curva de nivel de f que pasa por P viene dada, en dicho punto P, por:
JJJJJJJG
a) La dirección del vector ∇f (P )· .
JJJJJJJG
b) La dirección del vector - ∇f (P )· .
JJJJJJJG
G
X c) La dirección de cualquier vector u ortogonal a ∇f (P )· .
39.- Sea z = f(x, y) una función que admite derivadas parciales en un punto P. Se
verifica:
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6
a) f admite derivada direccional en P en cualquier dirección.
b) f es continua en P.
X c) Ninguna de las anteriores.
⎧x = g(u , v )
en la función difere nciable z = f (x, y),
40.- Un cambio de variables ⎨
⎩ y = h (u , v )
verifica:
∂z ∂z ∂g ∂z ∂h
X a)
=
⋅
+
⋅
.
∂u ∂x ∂u ∂y ∂u
∂z ∂z ∂g ∂z ∂h
=
⋅
+
⋅
.
… b)
∂x ∂u ∂x ∂v ∂y
… c) Ninguna de las anteriores.
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