Tema 10: Derivada y diferencial en campos escalares y vectoriales

MATEMÁTICAS II. EJERCICIOS TEMA 10
DERIVADA Y DIFERENCIAL EN CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES
1.- Calcular continuidad, existencia de derivadas parciales por la definición, y
diferenciabilidad, en el punto (0,0), de las siguientes funciones:
1

 x.sen 2
a) f ( x, y ) = 
x + y2

0
 x. y

b) f ( x, y ) =  x 2 + y 2
 0
si ( x, y ) ≠ (0,0)
si ( x, y ) = (0,0)
si ( x, y ) ≠ (0,0)
si ( x, y ) = (0,0)
c) f ( x, y ) = x 2 . y 3
2.- Calcular la diferencial de las siguientes funciones:
a)f(x,y)= sen2 x + cos2 y
b)f(x,y,z)= ln(x2 + y2 +z2 )
3.- Demostrar, por la definición, que la función
c)f(x,y)= x3 +y2-3xy
f(x,y)=2x+2y+1 es diferenciable.
4.- a) Calcular la máxima derivada direccional de la función f(x,y)= ex+y en el punto (1,1).
b) Calcular la dirección en la que es máxima la derivada direccional de la función
f(x,y)=x3+3y2+3 en el punto (2,1).
5.- Sean f:R2→R2 / f(x,y)=(x2+y,y) y g:R2→R
/
g(s,t)=s+t. Calcular h=gof
y dh
utilizando la regla de la cadena.
6.- Dada la siguiente función de producción agrícola F(K,L,T)=A.Ka.Lb.Tc (A,a,b,c son
constantes), siendo K el capital invertido, L el trabajo y T la superficie de tierra para
cultivo. Hallar las productividades marginales e interpretar sus signos.
7.- En un período de tiempo, se ha estimado que la demanda de un país sigue la siguiente
función D=0,14Y+76,03(r-2)-0,84
(r>2) donde Y es la renta nacional anual y r el tipo de
interés en porcentaje anual. Calcular ∂D/∂Y y
∂D/∂r interpretando sus signos.